Cím:	Az 1971. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny II. fordulójának feladatai
Füzet:	1972/február, 75 - 76. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Általános tantervű és szakosított matematika‐fizika osztályok részére   1. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-4x+3}+\sqrt[]{-x^2+3x-2}=\sqrt[]{x^2-x}\mathrm{.}}\end{array}$ 2. $a)$ Legyen $M$ az $ABC$ tetszőleges háromszög ugyancsak tetszőleges belső pontja. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{BCM}\cdot \overrightarrow{MA}+t_{CAM}\cdot \overrightarrow{MB}+t_{ABM}\cdot \overrightarrow{MC}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $t_{BCM}$, $t_{CAM}$ és $t_{ABM}$ rendre a $BCM$, $CAM$, ill. $ABM$ háromszög területét jelenti. $b)$ Legyen $M$ az $ABCD$ tetszőleges tetraéder ugyancsak tetszőleges belső pontja. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle V_{BCDM}\cdot \overrightarrow{MA}+V_{CDAM}\cdot \overrightarrow{MB}+V_{DABM}\cdot \overrightarrow{MC}+V_{ABCM}\cdot \overrightarrow{MD}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $V_{BCDM}$, $V_{CDAM}$, $V_{DABM}$ és $V_{ABCM}$ rendre a $BCDM$, $CDAM$, $DABM$, ill. $ABCM$ tetraéder térfogatát jelenti. 3. Bizonyítsuk be, hogy a sakktábla $63$ mezője lefedhető $21$ darab olyan kartonlemezzel, amelyek mindegyike $3$ egymás melletti vagy egymás alatti mezőt tud lefedni. Mely mezők maradhatnak fedetlenül?   A speciális matematikai tantervű osztályok részére   1. Egy automatánál a játék feltételei a következők. Egy zseton bedobására az automata feldob egy játékkockát, amelynek lapjain az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,6}$ számok vannak; a dobás eredménye látható. A dobás után választhatunk: vagy felvesszük nyereményünket, amely annyi forint, amennyi a kockán dobott szám, és a játék véget ér; vagy újabb zsetont dobunk az automatába. Az utóbbi esetben az automata ismét feldobja a kockát és a nyereményünk annyi forint, amennyi a két dobott szám szorzata. Újabb választási lehetőségünk nincs, a játék legkésőbb a második dobás után véget ér. Van-e olyan játékmód, amely mellett a nyeremény várható értéke pozitív, ha a zseton ára 6 Ft 50 f? 2. Határozzuk meg mindazokat az $n$ természetes számokat, amelyekre igaz a következő állítás: tetszőleges $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ valós számok mellett a $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(x\right)=\prod _{i=1}^n\left(x-x_i\right)}\end{array}$ polinomra teljesül a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p\text{'}\left(x_i\right)\ge 0}\end{array}$ egyenlőtlenség (ahol $p\text{'}\left(x\right)$ a $p\left(x\right)$ polinom deriváltja). 3. A $H_0\mathrm{,}{H}_1\mathrm{,}\text{...}$ halmazsorozatot a következő módon állítjuk elő. Kiindulunk egy tetszőleges $1$-nél nagyobb természetes számból. Ez a $H_0$ egyetlen eleme. Továbbmenve lépésről lépésre definiáljuk a halmazsorozat újabb elemeit. Ha már $H_n$-et definiáltuk, ennek minden $a\in H_n$ eleméből két új számot képezünk: $\left(a+1\right)$-et és $a^2$-et, az így kapott számok lesznek $H_{n+1}$ elemei. Bizonyítsuk be, hogy a $H_k$ halmaz $2^k$ ($k=\mathrm{0,1,2,}\text{...}$) különböző elemből áll.   $*$   A 2. feladat nem különbözik lényegesen a Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 1. feladatától (K. M. L. 43. (1971) 1. old.). Mind a két esetben az illetékes versenybizottság a következő egyenlőtlenséget általánosította: ,,Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ valós számokra érvényes a következő egyenlőtlenség: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-e\right)+\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(b-e\right)+\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(c-d\right)\left(c-e\right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +\left(d-a\right)\left(d-b\right)\left(d-c\right)\left(d-e\right)+\left(e-a\right)\left(e-b\right)\left(e-c\right)\left(e-d\right)\ge 0.\text{''}}\hfill \end{array}}$ Az egyenlőtlenség olimpiára javaslása sajnálatos elnézés folytán jött létre. A magyar versenybizottság az esetet 1971. december 7-i levelében a nemzetközi zsüri elnökének tudomására hozta.