Cím: Az 1971. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny I. fordulójának feladatai
Füzet: 1972/január, 26. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

x2+yz=5y2+xz=3z2+xy=3.

2. Legyen n≥3 rögzített természetes szám. Bizonyítsuk be az n=3 esetben, hogy
ha  0<x<π2n,akkortgx+tgnx-tg(n-1)x2>tgnxn.

3. Az abcd¯ tízes rendszerbeli szám jegyeire fennáll, hogy a>b>c>d. Ugyanezek a jegyei valamilyen sorrendben az abcd¯-dcba¯ különbségnek is. Melyik ez a négyjegyű szám?
4. Adott egy parabola és a belsejében egy pont. Tekintsük a parabolának az adott ponton átmenő húrjait. Mi a mértani helye e húrok felezőpontjainak?
5. Bizonyítsuk be, hogy ha n 3-mal nem osztható egész szám, akkor n13-n osztható (213-2)-vel.
6. Az ABC háromszög AB oldala rögzített, a C csúcs pedig úgy mozog, hogy közben a háromszög kerülete változatlan marad. C melyik helyzeténél lesz a C csúcshoz tartozó magasságvonal, súlyvonal és az AB egyenes által bezárt háromszög területe a lehető legnagyobb?
7. Egy sorozat első tagja 2, második tagja 3, további tagjait pedig úgy képezzük, hogy minden egyes tag 1-gyel kisebb legyen, mint a másik két szomszédjának a szorzata. Mennyi a sorozat első 1095 tagjának összege?
8. Jelentse a síkban P*Q annak az egyenlő szárú derékszögű háromszögnek a harmadik csúcsát, amelynek átfogója a PQ szakasz, és a háromszög P, Q, P*Q csúcsai az óramutató járásával ellentétes irányban követik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a sík bármely négy A, B, C és D pontjára nézve az (A*B)*(C*D) és az (A*C)*(B*D) ugyanaz a pont.