Kezdőlap


Cím:	1971. A XIII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Füzet:	1971/szeptember, 1 - 2. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A versenyt a Szlovák Szocialista Köztársaság rendezte július $10$ és $21$ között Zsolnán $15$ ország (Anglia, Ausztria, Bulgária, Csehszlovákia, Franciaország, Hollandia, Jugoszlávia, Kuba, Lengyelország, Magyarország, Mongólia, Német Demokratikus Köztársaság, Románia, Svédország, Szovjetunió) $115$ versenyzőjének részvételével. Svédországot $7$ , Kubát $4$ , a többi országot $8 - 8$ tagú csapatok képviselték.
A két dolgozatot július $13$ -án és $14$ -én írták.
A dolgozatok hagyományosan $3$ feladatot tartalmaztak. Megoldásukra $4 - 4$ órát fordíthattak a versenyzők.

A feladatok a következők voltak:
Első nap. 1. Bizonyítsuk be, hogy a következő állítás

n = 3

és

n = 5

esetén igaz, minden más

2

-nél nagyobb egész szám esetében pedig hamis:
,,Bármely

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

valós számokra teljesül az

\begin{matrix} (a_{1} - a_{2}) \cdot (a_{1} - a_{3}) \cdot ... \cdot (a_{1} - a_{n}) + (a_{2} - a_{1}) \cdot (a_{2} - a_{3}) \cdot ... \cdot (a_{2} - a_{n}) + ... + \\ + (a_{n} - a_{1}) \cdot (a_{n} - a_{2}) \cdot ... \cdot (a_{n} - a_{n - 1}) \geq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenség.''
2. Adott egy

9

-csúcsú konvex poliéder:

P_{1}

; csúcspontjai legyenek

A_{1}

A_{2}

...

A_{9}

. Jelöljük

P_{i}

-val azt a poliédert, amelyet

P_{1}

-ből az

A_{1} \to A_{i}

eltolással kapunk

(i = 2

3

...

9)

. Bizonyítsuk be, hogy a

P_{1}

P_{2}

...

P_{9}

poliéderek közül legalább kettőnek van közös belső pontja!
3. Bizonyítsuk be, hogy a

{2^{n} - 3}

(n = 2

3

4

...)

sorozat tartalmaz olyan végtelen részsorozatot, amelynek bármely két eleme relatív prím!
Második nap: 4. Az

A B C D

tetraéder minden lapja hegyesszögű háromszög. Legyen

X

Y

Z

T

rendre az

A B

B C

C D

, ill.

D A

él egy-egy belső pontja, és tekintsük az összes

X Y Z T X

zárt törött vonalát. Bizonyítsuk be, hogy
a) ha

D A B ∢ + B C D ∢ \neq A B C ∢ + C D A ∢

, akkor az

X Y Z T X

törött vonalak között nincs legrövidebb;

b) ha

D A B ∢ + B C D ∢ = A B C ∢ + C D A ∢

, akkor az

X Y Z T X

törött vonalak között végtelen sok legrövidebb van; ezek mindegyike

2 \cdot A C \cdot sin \frac{α}{2}

hosszúságú, ahol

\begin{matrix} α = B A C ∢ + C A D ∢ + D A B ∢ . \end{matrix}

5. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen természetes számot jelent is

m

, mindig van a síkban olyan véges és nem üres

S

ponthalmaz, amely a következő tulajdonságú:
Ha

A

S

halmaz valamely tetszőleges pontja, akkor

S

-ben pontosan

n

számú olyan pont van, amely

A

-tól egységnyi távolságra esik.
6. Az

n

sorból és

n

oszlopból álló

\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2 n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n 1} & a_{n 2} & ... & a_{n n} \end{matrix}

négyzetes táblázat elemei nem-negatív egész számok.
Ha a táblázat valamely eleme:

a_{i j} = 0

, akkor erre az

i

-re és

j

-re érvényes az

\begin{matrix} a_{i 1} + a_{i 2} + ... + a_{i n} + a_{1 j} + a_{2 j} + ... + a_{n j} \geq n \end{matrix}

egyenlőtlenség.
Bizonyítsuk be, hogy e táblázat valamennyi elemének az összege nem kisebb

\frac{n^{2}}{2}

-nél!

Az egy-egy feladat megoldásával elérhető maximális pontszám a sorszámnak megfelelően

5

7

9

6

7

8

volt.

A verseny eredménye: I. díjat a

42

és

34

, II. díjat a

33

és

23

, II. díjat a

22

és

11

pont között teljesítő versenyzők kaptak. Első díjat

7

, másodikat

12

, harmadikat

29

versenyző kapott.
A maximális,

42

-es pontszámot egyetlen versenyző, Ruzsa Imre, a budapesti Fazekas Mihály Gyak. Gimn. IV. osztályt végzett tanulója érte el, ezzel egyben a verseny abszolút győztese lett. A négy különdíjból egyet szintén ő kapott a

2

. és

3

. feladat különösen szép megoldásáért.
A további magyar versenyzők eredményei: I. díjat kapott még Göndőcs Ferenc (győri Révai Miklós Gimn., IV. o.)

39

, Komjáth Péter (budapesti Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o.)

38

, Frankl Péter (kaposvári Táncsics M. Gimn. IV. o.),

37

pontos összeredményéért. Frankl Péter a

2

. feladat kiemelkedő megoldásáért külön díjat is kapott.
A többi magyar versenyző második díjat kapott. Bajmóczy Ervin (bp.-i Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o.)

27

, Móri Tamás (bp.-i Berzsenyi Dániel Gimn., III. o.)

25

, Füredi Zoltán (bp.-i Móricz Zsigmond Gimn., III. o.)

24

, Nagy András (bp.-i Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o.)

23

pontos összeredményéért.

A nem hivatalos csapatverseny eredménye. (Az ország neve után következő szám a csapat tagjainak összesített pontszáma. Utána zárójelben, hogy hány első, hány második és harmadik díjat kaptak.)
Magyarország: 255 (4, 4, 0), Szovjetunió: 205 (1, 5, 2), Német Demokratikus Köztársaság: 142 (1, 1, 4), Lengyelország: 118 (1, 0, 4), Anglia: 110 (0, 1, 4), Románia: 110 (0, 1, 4), Ausztria; 82 (0, 0, 4), Jugoszlávia: 71 (0, 0, 2), Csehszlovákia: 55 (0, 0, 1), Hollandia: 48 (0, 0, 2), Svédország: 43 (0, 0, 2), Bulgária: 39 (0, 0, 0), Franciaország: 38 (0, 0; 0), Mongólia: 26 (0, 0, 0), Kuba: 9 (0, 0, 0).
Az 1972. évi, XIV. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát Lengyelország rendezi.