Kezdőlap


Cím:	A 1723. feladat keletkezéséről
Szerző(k):	Bakos Tibor
Füzet:	1971/április, 146 - 147. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lapunkban kitűzésre kerülő feladatok, kérdések különböző eredetűek. Némelyeknek ,,nagy'' múltjuk van, több példatárban, tankönyvben, versenyen szerepeltek már, legutóbb pl. többen is rámutattak az $1729$ . feladat és az $1939$ . évi Eötvös Loránd matematikai tanulóverseny $3$ . feladata közti kapcsolatra. Némely feladatokon alkalmilag ,,csavarunk'' egyet, azaz pl. megváltoztatunk számadatokat, vagy több föltétel előírásával szűkebbre szorítjuk a feladatot, másokat viszont éppen ellenkezőleg általánosabban fogalmazunk meg. Esetenként véletlen észrevételből adódik a kérdés, mint pl. az $1715$ . feladat a szerkesztő bizottsági megbeszélés napján lefolyt lottóhúzásból. ‐ Kevésbé alkalmi módon, mégis elég távoli kapcsolatból eredt az $1723$ . feladat^{$^{*}$}, alább ezt mutatjuk be.
Ez a feladat egy ‐ Monge-féle (két képsíkos) rendszerben végrehajtott ‐ ábrázoló geometriai szerkesztésből keletkezett olyan nem lényeges változtatásokkal, mint mellőzhető vonalak elhagyása, az egyik képnek a képsíkrendszer tengelyére merőleges eltolása, szokásos jelöléseknek, továbbá a vonalak megrajzolása időbeli sorrendjének megváltoztatása. E változtatásokat visszaállítva térbeli értelmezését adjuk az ábrának, és az egyszersmind új bizonyítása is lesz az állításnak.
Toljuk el az ottani $O$ , $E_{1}$ , $E_{2}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ pontok együttesét $i$ irányban alkalmas távolságra az $O''$ , $E_{1}''$ , $E_{2}''$ , $Q_{1}''$ , $Q_{2}''$ helyzetbe; rajzoljuk meg $E_{1}''$ körül az $E_{2}''$ -n átmenő (azaz $E_{1}'' E_{2}'' = E_{1} E_{2}$ sugarú) $k_{0}''$ kört és ennek az $O O''$ egyenesre való tükörképét, $k_{00}''$ -t; írjunk $P_{j}$ $(j = 1$ , $2)$ és (az eredeti) $O$ helyére $Q'_{j}$ , $O'$ jelet, $k_{j}$ helyére $k'_{j}$ , az eltolt $E_{j}'' Q_{j}''$ egyenesre $k_{j}''$ jelet; legyenek $k_{0}''$ és $k_{1}''$ metszéspontjai $A''$ , $B''$ , írjunk kört $O'$ körül e két pontnak $O' O''$ -től való távolságával; végül rajzoljuk meg $k_{0}''$ és $k_{00}''$ közös külső érintőinek az érintési pontok közti szakaszát, valamint valahol $O'$ és $O''$ között $i$ -re merőlegesen az $x_{1,2}$ tengelyt.

Ekkor az utóbbi két kör az első képen, a két érintőszakasz, valamint

k_{0}''

-nek és

k_{00}''

-nek

O' O''

-től távolabbi félkörei a második képen annak a gyűrűfelületnek (ún. tórusznak) a képkörrajzát adják, amely úgy áll elő, hogy a térbeli (vagyis az

O'

O''

képekkel meghatározott)

O

ponton átmenő és az

1

. képsíkra merőlegesen álló

t

tengely körül megforgatjuk azt a kört, melynek második képe

k_{0}''

(tehát amelynek síkja párhuzamos a

2

. képsíkkal és magában foglalja a

t

tengelyt). Az egyforma betűvel jelölt és

'

-vel,

''

-vel megkülönböztetett pontpárokat tekinthetjük egy-egy térbeli pont összetartozó első, ill. második képének, hiszen páronkénti összekötő egyeneseik merőlegesek

x_{1,2}

-re. Továbbá

k'_{1}

k_{2}'

egy-egy az első képsíkkal párhuzamos síkban fekvő kör első képének tekinthető,

k''_{1}

és

k''_{2}

pedig ‐ pontosabban ezeknek egy-egy

2 r_{1}

, ill.

2 r_{2}

hosszúságú szakasza, felezőpontjával az

O' O''

egyenesen (amin rajta van a forgástengely

t''

képe) ‐, ugyanezen köröknek második képe.

k_{1}

-et a forgatott

k_{0}

kör középpontja írja le (az

E'_{1}

E''_{1}

képekkel meghatározott, azaz a térbeli

E_{1}

helyzetből kiindulva), ez a tórusz ún. középköre,

k_{2}

-t pedig hasonlóan az

E_{2}

(

E'_{2}

E''_{2}

) pont; és e két forgó pontnak helyzete a mozgás egy bizonyos pillanatában a térbeli

Q_{j}

(

Q'_{j}

Q''_{j}

) pont, mert felvétel folytán az

O P_{1}

, azaz

O' Q'_{1}

félegyenes egy az első képsíkra merőleges sík (ún. első vetítősík) első képe, és e sík tartalmazza

t

-t. (Az ábrán

P

helyett

P_{1}

k_{2}

helyett

k'_{2}

írandó.)
A térbeli

E_{2} E_{1}

egyenes a megindulási helyzetben merőlegesen áll

k_{0}

-nak

E_{2}

-beli érintőjére és így a tórusz

E_{2}

-beli érintősíkjára is, amit

k_{0}

-nak és

k_{2}

nek

E_{2}

-beli érintői határoznak meg; eszerint az

E_{2} E_{1}

egyenes a tórusz

E_{2}

pontbeli ún, normálisa. Másrészt a fentiek szerint

E_{2} E_{1}

metszi

t

-t, ez a pont

O

(

O'

O''

). Ha a forgatás folyamán az érintősíkot és normálisát is forgatjuk, úgy az előbbi minden helyzetében érinti a tóruszt, a normális pedig minden helyzetben ugyanott metszi

t

-t. Ennek a normálisnak egy pillanatban elfoglalt helyzete a (térbeli)

Q_{1} Q_{2}

egyenes, ezért második képe,

Q''_{1} Q''_{2}

átmegy

O''

-n, amint a feladat állítja.
A feladatban leírt ábra tehát úgy keletkezett, hogy egy

t

első vetítőegyenes tengelyű és

k_{1}

középkörű tóruszon felvettünk képeivel egy

k_{2}

párhuzamos kört ‐

E'_{2}

E''_{2}

felhasználásával ‐, e körön egy rendezővonallal kijelöltük

E_{2}

egy pillanatnyi helyzetének,

Q_{2}

-nek képeit. Ezután az

E_{2}

-beli normális második képén megkerestük a

t

-n levő

O

pontjának

2

. képét, és ekkor a

Q_{2}

-beli normális képei

Q''_{2} O''

Q'_{2} O'

(természetesen a

Q_{1}

megfelelő képén át). Végül a két képet

i

irányában úgy toltuk össze; hogy

O'

O''

egybeessenek és a fölösleges vonalakat elhagytuk.
A normális képeinek megszerkesztése egyébként nem öncélú feladat, hanem előkészítője lehet további szerkesztéseknek; ezek azonban már túl messze vezetnének.
Tegyünk végezetül egy olyan megjegyzést, amely szinte majdnem minden efféle szerkesztésre érvényes. Az

x_{1,2}

tengely fölvételét említettük, de nem rajzoltuk, amint még néhány más vonalat sem, az olvasóra hagytuk. Ez a szerkesztésben semmi hiányt nem okozott. Azt mutatja ez, hogy a tengely helyzetének nincs nagyobb jelentősége, sokkal fontosabb a sűrűn felhasznált

i

irány.

^{$^{*}$}Lásd ezen számban,

153

. old.