|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A verseny a múlt évi szervezeti rend szerint folyt le. A március 4-én lefolyt I. fordulók alapján 178 kezdő és 212 haladó versenyzőt hívott be a versenybizottság a május 6-án tartott II. fordulóra, közülük 35, illetőleg 50 volt valamelyik szakosított tantervű osztály tanulója. A versenyek feladatai a következők voltak.
I. forduló kezdők (legfeljebb I. osztályosok) részére.
1. Jelölje és az paralelogramma átlójának harmadoló pontjait. Igazoljuk, hogy az négyszög is paralelogramma. Mi a két paralelogramma területének aránya?
2. . Írjunk a jelek helyére olyan számjegyeket, hogy az egyenlőség helyes legyen.
3. Kapsz 6 pontot, ha helyesen válaszolsz a következő kérdésre.
Három könyvszekrényben könyvek vannak. A másodikban kétszer, a harmadikban háromszor annyi, mint az elsőben. Ha a harmadikból 460 könyvet átteszünk az elsőbe, ott 310 könyvvel lesz több, mint a másodikban. Hány könyv lesz ekkor az első szekrényben?
4. Bizonyítsuk be, hogy azok a pontok, amelyekben egy háromszög beírt köre érinti az oldalszakaszokat, egy hegyesszögű háromszög csúcsai.
5. Egy apa három különböző korú fia közt úgy osztott szét 9 db kétforintost és 3 db egyforintost, hogy mindegyik fiú annyi forintot kapott, ahány éves. Mindhárom gyerek ugyanannyi pénzdarabot kapott. Hány évesek a gyerekek?
6. Egy kiránduláson két fiú ugyanazt a távolságot mérte meg egy-egy bottal, amit szemmértéke szerint 1 méter hosszúra vágott le. Mind a ketten egész mértékszámot kaptak, az egyikük 3-mal nagyobbat, mint a másik. Idehaza az egyik bot hosszát 102 cm-nek, a másikét 100,5 cm-nek mérték.
Milyen hosszú a kérdéses távolság?
7. Egy óra két mutatója nem sokkal óra után -os szöget zárt be. Kevéssel 7 óra előtt ismét -os szöget zárnak be a mutatók. Mennyi idő telt el a két állapot között?
8. Az négyzet oldalára befelé, oldalára kifelé , illetve szabályos háromszöget rajzolunk.
Igazoljuk, hogy a , , pontok egy egyenesen vannak.
9. Egy kosárban piros és kék labdák vannak. Sorban kiszedve az első 50 között 49 pirosat találtunk, tovább pedig azt tudjuk, hogy a labdák része volt piros. A másik közlés szerint a labdáknak legalább -a piros. Legfeljebb hány labda lehetett a kosárban?
10. Írjunk le gondolatban a természetes számokat 999-ig. Hányszor írjuk le eközben az 5-ös számjegyet?
11. Legfeljebb hány közös pontja lehet egy háromszög és egy négyszög kerületének, ha nincs a két kerületnek közös egyenesszakasza?
12. Adjuk meg a 15-nek az első három olyan többszörösét, amelyben a számjegyek összege 15.
13. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott egyik oldala, továbbá tudjuk, hogy a vele szemben fekvő szöget a csúcsból kiinduló súlyvonal, a szögfelező és a magasságvonal egyenlő részekre osztja.
14. Bizonyítsuk be, hogy ha 2-nél nagyobb egész szám és , akkor a | |
kifejezés polinomjává alakítható.
15. Jelentse az és számok közül a nagyobbat, pedig a kisebbet. ( és magát -t jelenti.) Azonosságok-e az alábbi egyenlőségek:
(1) ,
(2) .
I. forduló, haladók részére. 1. Az alábbi szorzásban a pontok és a nagybetűk tízes rendszerbeli számok számjegyeit jelentik, különböző betűk különböző jegyeket jelölnek: | |
Mekkora ?
2. Az egyenletben a és együttható az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok valamelyike lehet. Hányféleképpen választhatók meg az együtthatók úgy, hogy az egyenletnek legyen valós gyöke?
3. Két egyenlő kerületű téglalap mindegyik oldalára mint alapra, kifelé olyan téglalapot rajzolunk, melynek a magassága az alap negyedrésze. Bizonyítsuk be, hogy az így keletkező, 5‐5 téglalapból álló idomok területe egyenlő.
4. Oldjuk meg a következő egyenletet: | |
5. Az egyenlő szárú háromszög alapja . Húzzuk meg az oldal és az pontból induló magasságvonal közti szög felezőjét és jelöljük a szögfelező és a háromszög köré írt kör második metszéspontját -vel. Messe a kör pontbeli érintője a egyenest a pontban, a háromszög említett magasságvonalát a pontban. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög húrnégyszög.
6. A tízes rendszerbeli szám és számjegye úgy határozandó meg, hogy a szám osztható legyen 99-cel.
7. Valamely háromszög egyik csúcsából bocsássunk merőleges egyeneseket a másik két csúcsból kiinduló belső és külső szögfelezőre. Bizonyítsuk be, hogy e négy merőleges talppontja egy egyenesen van.
8. Oldjuk meg a következő egyenletet:
9. Egy egyenlő oldalú ötszög három egymás utáni szöge egyenlő. Szabályos-e az ötszög?
10. Legfeljebb hány közös pontja lehet egy háromszög és egy négyszög kerületének, ha nincs a két kerületnek közös egyenesszakasza?
11. Jelölje az és számok közül a nagyobbikat, ha különbözők, közös értéküket, ha egyenlők. Hasonlóképpen jelentse az és számok kisebbikét, ill. közös értéküket, ha egyenlők. Vizsgáljuk meg, hogy igaz-e minden , , (valós) számra a következő egyenlőség:
12. Adott a sík három pontja, , és . Egy négyszög egyik oldala , ezen az oldalon fekvő két szöge egyenlő. A négyszög -vel szemközti oldala az ponton megy át, ezenkívül és . Szerkesztendő a négyszög.
13. Határozzuk meg táblázat felhasználása nélkül, hogy mekkora az hegyesszög, ha
14. Egy ládában piros és kék golyók vannak. A golyóknak legalább a -a piros. Valaki először kivett golyót és ezek között egy kéket talált. A többi golyót úgy lehet kiszedegetni, hogy minden nyolcadik legyen kék.
Legfeljebb hány golyó volt a ládában?
Legfeljebb hány golyót lehet a ládából az előbbi sorrendben egyenként kiszedegetni, ha a golyók szedegetését abba kell hagynunk, mihelyt a kiszedett kék golyók száma eléri az összes kiszedett golyók számának 10%-át?
15. Bizonyítandó, hogy ha és 2-nél nagyobb egész szám, akkor a | |
kifejezés a -nak polinomjává alakítható.
II. forduló, kezdők korcsoportja, általános tantervű és szakosított matematika-fizika tantervű osztályok részére. 1. Az munkás -szer annyi idő alatt végez el egy munkát egyedül, mint és együtt; pedig -szer annyi idő alatt, mint és együtt. Hányszor annyi idő alatt végzi el a munkát egyedül, mint és együtt?
2. Jelöljük az paralelogramma részháromszögének magasságpontjából az , , csúcsokba mutató vektorokat , , -vel, az -ből induló vektor végpontját -vel. Igazoljuk, hogy a egyenes merőleges -re.
3. Egy kétkarú mérleghez tartozó súlysorozat számú pondos (1 pond = 1 gramm tömeg súlya) súlyból és 3 db szabadon választható súlyból áll. Feladatunk a 3 súlyt úgy meghatározni, hogy az összes súllyal 1 pondtól kezdve a lehető legnagyobb mérési határig minden egész pondot meg lehessen mérni. (Mérésnél mind a két serpenyőbe tehetünk súlyokat, a mérleg két karja egyenlő hosszú.) Mennyi lesz a mérési határ?
II. forduló, kezdők korcsoportja, szakosított tantervű matematikai osztályok részére. 1. Azonos az általános tantervű osztályok 1. feladatával.
2. Legyen és egy középpontú kör két pontja, pedig a kör belső pontja. Az és szakaszok felező merőlegesei ‐ , illetve ‐ a pontban metszik egymást. Legyen továbbá és metszéspontja , és metszéspontja . Igazoljuk a következő szögegyenlőségeket: | |
3. Legyenek különböző valós számok. Milyen értékek mellett lesz az | |
függvény értéke minimális?
II. forduló, haladók korcsoportja, általános tantervű és szakosított matematika-fizika tantervű osztályok részére. 1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
2. Egy kétkarú mérleghez, melynek karjai egyenlők, súly áll rendelkezésre; közülük darab 1 grammos, a többi pedig úgy van választva, hogy minden egész grammos súly lemérhető a mérlegen a legnagyobb határig, ameddig ez súly hozzávételével lehetséges. Mekkorák a további súlyok? (Súlyokat mindkét serpenyőbe helyezhetünk.)
3. Az adott szakasz egy belső pontja a pont. és fölé az egyenes ugyanazon oldalán megszerkesztjük az , ill. szabályos háromszöget. Legyen az szakasz felezőpontja , a felezőpontja .
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szabályos.
Szerkesszük meg a pontot úgy, hogy a háromszög oldala adott hosszúságú legyen.
II. forduló, haladók korcsoportja, szakosított tantervű matematikai osztályok részére. 1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
2. Azonos az ált. tantervű osztályok 2. feladatával.
3. Legyen a szabályos hétszög két különböző hosszúságú átlója és . Bizonyítsuk be, hogy
A versenyek eredménye
A) Kezdők versenyei
A.1. általános tantervű és a matematika-fizika tantervű osztályok versenyzői közül mindhárom feladat szép megoldásáért első díjban, 500 Ft jutalomban részesült:
Varga József (Karcag, Gábor Áron Gimn., tanára: Wolf György).
Mindhárom feladat helyes megoldásáért második díjban, 300 Ft jutalomban részesült:
Veress Tibor (Budapest, Radnóti M. Gyak. Gimn., T.: Major Imréné).
Mindhárom feladat lényegében helyes megoldásáért harmadik díjban, 200 Ft jutalomban részesült:
Jászai Péter (Miskolc, Kilián Gy. Gimn., T.: Radics Erzsébet).
Két feladat helyes megoldásáért első dicséretben, 100 Ft könyvutalványban részesültek (betűrendben felsorolva): Balog Ádám (Bp., Kölcsey F. Gimn., T.: Szandi Erika), Bara Tamás (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., T.: Csúri József), Bogsch Imre (Bp., Eötvös J. Gimn., T.: Imrecze Zoltán), Buza Antal (Dunaújváros, Münnich F. Gimn., T.: Baky Ágnes), Csörsz Sándor (Szarvas, Vajda P. Gimn., T.: Sovány Mihály), Csuka Gábor (Bp., Ápáczai Csere J. Gyak. Isk., 8. o. t., T.: Somossy János), Ditrói Gyula (Győr, Révai M. Gimn., T.: Takács István), Hargitai Bálint (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., T.: Gaál Józsefné), Kiss Gábor (Dunaújváros, Münnich F. Gimn., T.: Baky Ágnes), Mayer József (Kecskemét, Katona J. Gimn., T.: Sárkány Ernő), Máté Imre (Bp., József A. Gimn., T.: Bakányi Márton), Prácser Péter (Nyergesújfalu, Irinyi J. Gimn., T.: Prácser Ernő), Remsei Ferenc (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., T.: Láng Hugó), Rövid Kálmán (Szombathely, Nagy Lajos Gimn:, T.: Heigl István), Sereg Mátyás (Székesfehérvár, Ybl M. Gimn., T.: Nagy Mihályné), Székely Csaba (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., T.: Major Imréné), Téby Attila (Bp., Petőfi S. Gimn., T.: Iványi Tibor).
Két feladat lényegében helyes megoldásáért második dicséretben, oklevélben részesültek ,(betűrendben felsorolva): Bezdek Károly (Dunaújváros, MMünnich F. Gimn., T.: Baky Ágnes), Diósi László (Bp., Eötvös J. Gimn., T.: Imrecze Zoltán), Füzesi László (u.onnan, T.: ua.), Horváth János (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., T.: Major Imréné), Horváth Mária (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., T.: Horváth István), Kálló József (Bp., Kölcsey F. Gimn., T.: Szandi Erika), Kelemen Zoltán (Bp., Eötvös J. Gimn., T.: Szidarovszky Ágnes), Kepes János (Bp., Toldy F. Gimn., T.: Strini Lajosné), Kiss Emil (Bp., XI., Fehérvári úti Ált. Isk. 8. o. t., T.: Jósvay Lászlóné), Molnár László (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., T.: Major Imréné), Németh Imre (Bp., I. László Gimn., T.: Újváriné, Gál László), Rudolf László (Bátaszék, Gimn.), Tegze Miklós (Bp., Kölcsey F. Gimn., T.: Szandi Erika), Toldi Gábor (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., T.: Major Imréné), Tóth Judit (Bp., Veres Pálné Gimn., T.: Tury István), Trieber Elek (Putnok, Gimn., T.: Juhász Oszkár), Vörös József (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., T.: Gál Józsefné).
A.2. A szakosított tantervű matematikai osztályok versenyén mindhárom feladat szép megoldásáért első díjban, 500 Ft jutalomban részesült
Pálfy Péter Pál (Budapest, Fazekas M. ,Gyak. Gimn., tanára: Reményi Gusztáv).
Második díjat a versenybizottság nem adott ki. Mindhárom feladatnak lényegében helyes megoldásáért harmadik díjban, 200 Ft jutalomban részesült
Szente Péter (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., T.: Reményi Gusztáv).
Két feladat helyes megoldásáért első dicséretben, 100 Ft könyvutalványban részesültek (betűrendben felsorolva): Ablonczy Péter (Bp., Fazekas, T.: Reményi), Domokos Mária (Bp., Fazekas, Reményi), Geréb Mihály (Bp., Fazekas, Reményi) Oláh Vera (Bp., Berzsenyi D. Gimn., T.: Bánki Viktor, Ratkó István), Traply Endre (Bp., Fazekas, Reményi), Turchányi Gyula (Bp., Fazekas, Reményi).
Két feladat lényegében helyes megoldásáért második dicséretben, oklevélben részesültek (betűrendben): Garazsi Erika (Bp., L István Gimn., T.: Jelitai Árpád, Varga Zoltánné, Mikite Gyuláné), Juhász György (Debrecen, Fazekas M. Gimn., T.: Müller Gyula, Szvetits Zoltán), Morassi Ákos (Bp., Fazekas, Reményi).
B) Haladók versenyei
B.1. Az általános tantervű, valamint a matematika-fizika osztályok versenyében a legnehezebbnek bizonyult második feladatra teljes megoldás nem érkezett. Mind a három feladatot lényegében helyesen 15 versenyző oldotta meg. Közülük a harmadik feladatra adott szép megoldásáért és a második feladatban elért eredményéért első díjat, 450 Ft jutalmat nyert:
Füredi Zoltán (Budapest, Móricz Zsigmond Gimn., tanára: Némethy Katalin).
A harmadik feladatra adott szép megoldásáért második díjat, 400 Ft jutalmat nyert
Szeredi János (Bp., II. Rákóczi F. Gimn., T.: Lugossy Margit).
A második feladatban elért eredményéért harmadik díjat, 300 Ft jutalmat nyert
Gáspár Gyula (Miskolc, Herman O. Gimn., T.: Bán Istvánné).
A díjazottak mögött csak kevéssel maradt el a következő 12 versenyző teljesítménye ; ők első dicséretet és 100 Ft értékű könyvutalványt nyertek (rangsorolás nélkül): Barabás Géza (Bp., Radnóti M. Gimn., T.: Dékány Józsefné), Baranyai László (Győr, Révai M. Gimn., T.: Szabó Rudolfné és Tamás Imre), Bortucz József (Gyöngyös, Vak Bottyán Gimn., T.: Kovács Istvánné), Breuer Péter (Eger, Gárdonyi G. Gimn., T.: Kiss Péter), Csetényi Artúr (Szeged, Radnóti M. Gimn., T.: Papp Ferenc), Éber Nándor (Bp.,, Móricz Zs. Gimn., T.: Némethy Katalin), Horváth László (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., T.: Szabó Imre), Kirchner Imre (Bp., Steinmetz M. Gimn., T.: Forró Júlia), Pach János (Bp., Veres Pálné Gimn., T.: Tury István), Smohay Ferenc (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., T.: Láng Hugó), Szabó Zoltán (Bp., Ápáczai Csere J. Gyak. Gimn., T.: Somossy János) és Tóth Károly (Debrecen, Vegyip. Techn.).
Két feladat lényegében helyes megoldásáért második dicséretet és oklevelet kapott a következő 34 versenyző: Apai Pál (Székesfehérvár, József A. Gimn., T.: Majorovics Margit), Bacsó Gábor (Bp., Móricz Zs. Gimn., T.: Némethy Katalin), Bálint László (u.onnan, T.: ua.), Bodnár György (Kazincbarcika, Vegyip. Tech., T.: Szikszai József), Bosznay Sándor (Kecskemét, Katona J. Gimn., T.: Sárkány Ernő), Csapó Bálint (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., T.: Farkas Gellért), Csatár László (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., T.: Dékány Józsefné), Csernátony Géza (Bp., I. László Gimn., T.: Pálmay Lóránt), Fazekas István (Eger, Gárdonyi G. Gimn., T.: Kiss Péter), Fehérvári József (Bp., Kölcsey F. Gimn., T.: Győrffy Janka), Földes József (Szolnok, Verseghy F. Gimn., T.: Rédl László), Gegus Gábor (Bp., Móricz Zs. Gimn., T.: Némethy Katalin), Gergely István (u.onnan), Gerócs István (Kecskemét, Katona J. Gimn., T.: Sárkány Ernő), Gönci János (Bp., Móricz Zs. Gimn., T.: Némethy Katalin), Győri Ervin (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., T.: Gál József), Halász György (Debrecen, Kossuth L. Tud. Egy. Gyak. Gimn.), Jereb Tamás (Sopron, Széchenyi I. Gimn., T.: Szakál Péter), Koch Róbert (Szeged, Radnóti M. Gimn., T.: Papp Ferenc), Kojnok József (Salgótarján, Bolyai J. Gimn., T.: Juhász Ágnes), Kollár István (Bp., Móricz Zs. Gimn., T.: Sikó Attiláné), Kovalcsik András (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn., T.: Molnár Ferenc), Kövér András (Debrecen, Kossuth L. Tud. Egy. Gyak. Gimn., T.: Mucsa János), Kürti Jenő (Bp., József A. Gimn., T.: Windisch Ferencné), Markó Tamás (Pécs, Széchenyi I. Gimn., T.: Varga Árpádné), Nagy Bertalan (Nyíregyháza, Gimn., T.: Balogh Emil), Pászti Ferenc (Eger, Gárdonyi G. Gimn., T.: Kiss Péter), Pókos Zoltán (Tatabánya, Árpád Gimn., T.: Gortva Ildikó), Rózsa György (Hajdúböszörmény, Bocskai I. Gimn.), Stépán Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., T. : Sain Márton), Székely Albert (Esztergom, Temesvári Pelbárt Ferences Gimn., T.: Gerencsér Sándor), Szirmai Zoltán (Bp., Ápáczai Csere J. Gyak. Gimn., T.: Sain Márton), Totik Vilmos (Győr, Révai M. Gimn., T.: Szabó Rudolfné és Tamás Imre), Turi Érzsébet (u.onnan).
B.2. A szakosított tantervű matematikai osztályok versenyén egyetlen versenyző sem adott mind a három feladatra teljes megoldást. Ezért a bizottság első díjat nem adott ki. Az első és harmadik feladat teljes megoldásáért és a második feladatban elért eredményéért második díjat, 400 Ft jutalmat nyert
Wittmann Imre (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., tanárai: Urbán János és Reményi Gusztáv).
Négy versenyző harmadik díjat, 250‐250 Ft jutalmat nyert. Közülük
Mártonfi György, Reiczigel Jenő és Tuza Zsolt (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. tanulói, tanáraik: Urbán, Reményi) az első és a harmadik feladatot helyesen oldották meg, de a második feladatban elért részeredményük elmarad az előbbi versenyző részeredménye mögött, míg Móri Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., tanárai: Herczeg János, Ratkó István és Matavovszky Tibor) azzal érdemelte ki a harmadik díjat, hogy ő volt az egyedüli versenyző, aki a második feladatra teljes megoldást adott; ezenkívül az első feladatot is megoldotta.
Mindhárom feladat lényegében helyes megoldásáért első dicséretet és 100‐100 Ft értékű könyvutalványt nyert 3 versenyző: Balogh Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., T.: dr. Kántor Sándorné és Szvetits Zoltán), Pataricza András (Bp., Fazekas, Urbán, Reményi), Rolek Ferenc (Bp., Fazekas, Urbán, Reményi).
Két feladat lényegében helyes megoldásáért második dicséretet és oklevelet kapott a következő 14 versenyző: Balog János (Bp., I. István Gimn., T.: Rácz János, Jelitai Árpád és Csáky Pálné), Boros Endre (I. István, Rácz, Jelitai, Csákyné), Földes Tamás (Berzsenyi, Herczeg, Ratkó, Matavovszky), Gál Péter (Bp., Fazekas, Urbán, Kőváry), Hangya László (Bp., Fazekas, Urbán, Reményi), Hannák László (Miskolc, Földes F. Gimn., T.: dr. Csernyák Lászlóné), Horváth Miklós (Veszprém, Lovassy L. Gimn., T.: Takács József, Tomor Benedek), Kelen Miklós (Berzsenyi, Herczeg, Ratkó, Matavovszky), Komornik Vilmos (Bp., Fazekas, Urbán, Kőváry), Losonczi Ilona (Bp., Fazekas, Urbán, Reményi), Reviczky János (I. István, Rácz, Jelitai, Csákyné), Rudas Tamás (Berzsenyi, Herczeg, Ratkó, Matavovszky), Szász György (Bp., Fazekas, Urbán, Kőváry), Varga István (Berzsenyi, Herczeg, Ratkó, Matavovszky).
Kimutatás a versenyek II. fordulójába bejutott versenyzők számáról államigazgatási egységek szerint. Megyék: Bács-Kiskun: 4 kezdő, 9 haladó (röviden 4, 9); Baranya: 0, 1; Békés: 4, 1; Borsod-Abaúj-Zemplén: 2, 5; Csongrád: 7, 4; Fejér: 15, 8; Győr-Sopron: 3, 5; Hajdú-Bihar: 0, 2; Heves: 2, 13; Komárom: 4, 4: Nógrád: 4, 6; Pest: 0, 5; Somogy: 7, 4; Szabolcs-Szatmár: 1, 4; Szolnok: 3, 2; Tolna: 6, 3; Vas: 5, 4; Veszprém: 11, 10 (ebben spec. 5, 7); Zala: 0, 2. ‐ Városok: Budapest: 77, 94 (spec. 26, 38); Debrecen: 4, 7 (spec. 2, 2); Miskolc: 4, 6 (spec. 2, 3): Pécs: 7, 5; Szeged: 8, 8. ‐ Összesen: 178, 212 (spec. 35, 50).
Lásd K.M.L. 39 (1969) 4. o. |
PDF | MathML