Cím: Az 1970. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek
Füzet: 1970/szeptember, 1 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A verseny változatlanul, a múlt évi szervezeti rend szerint* folyt le. A február 17-én tartott I. fordulóban 367 iskola 4866 tanulója adott be dolgozatot. 239 versenyző kapott behívót az április 15-én tartott II. fordulóra, közülük 57 volt valamelyik szakosított matematikai osztály tanulója.
A versenyek tételei a következők voltak.

 
I. forduló. 1. Bizonyítsuk be, hogy a következő egyenlet gyöke egész szám:
x-291970+x-271972+x-251974+x-231976+x-211978+x-191980==x-197029+x-197227+x-197425+x-197623+x-197821+x-198019.



 
2. Mekkora a6+b6 legkisebb és legnagyobb értéke, ha a és b olyan valós számok, amelyekre a2+b2=1?
 
3. Az y=x2+cx-2 függvények görbéi egy görbe sereget alkotnak, ha c befutja az összes pozitív számot. Messük el egy, az y tengellyel párhuzamos egyenessel a sereg minden görbéjét és valamennyi metszéspontban húzzuk meg az illető görbe érintőjét. Bizonyítsuk be; hogy az érintők egy ponton mennek át.
 
4. Az ABCD négyszög AB, BC, CD, DA oldalának a kezdő ponthoz közelebbi harmadoló pontja legyen rendre P, Q, R, S. Bizonyítsuk be, hogy az AC és BD átlók felezőpontját összekötő szakasz háromszor akkora, mint a PR és QS átlók felezőpontját összekötő szakasz.
 
5. Legyen cosx+cosy=a és sinx+siny=b, ahol a2+b2>0. Fejezzük ki sin(x+y)-t a-val és b-vel.
 
6. Egy P pontból két körhöz egy-egy érintőt húztunk. Bizonyítsuk be, hogy ha az érintési pontokat összekötő egyenesből a két kör egyenlő hosszú húrokat metsz ki, akkor a P pontból a körök egyenlő szögekben látszanak.
 
7. Az ax2 és az ax2-ax polinomoknak ‐ ahol a egész szám ‐ megvan az a tulajdonságuk, hogy minden egész x-re az x2 helyen felvett értékük egész többszöröse az x helyen felvett értéküknek. Keressünk további, ilyen tulajdonságú, egész együtthatós, másodfokú polinomokat.
 
8. Három pozitív szám szorzata nagyobb 1-nél, az összegük kisebb a reciprokaik összegénél. Bizonyítsuk be, hogy
a) egyik szám sem lehet 1;
b) a számok közül kettő nagyobb, egy pedig kisebb 1-nél.
 
II. forduló, az általános tantervű és a matematika‐fizikai osztályok tanulói számára.
 
1. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b pozitív, 1-nél kisebb szám, akkor az
x3-(1+a+b)x-2ab=0
egyenletnek pozitív gyöke csak 1 és 2 között lehet.
 
2. Jelöljön n egy 2-nél nagyobb egész számot. Egy szabályos n-szög kerületét n+1 ponttal egyenlő részekre osztjuk. Hogyan kell az osztópontokat megválasztani, hogy az általuk meghatározott konvex n+1-szög területe a lehető legnagyobb legyen és hogyan ahhoz, hogy ez a terület a legkisebb legyen?
 
3. Egy gúla alaplapja az ABCDE szabályos ötszög, az ezzel szemközti csúcsa M, az oldallapjai szabályos háromszögek. Határozzuk meg az AM oldalélnek a BCM oldallap síkjával bezárt szögét!
 
II. forduló, a speciális matematikai tantervű osztályok tanulói számára. 1. Legyen n természetes szám, k pedig 2-nél nagyobb egész szám. A síkban n darab konvex k-szöget rajzolva, maximálisan hány részre oszthatjuk velük a síkot?
 
2. Egy egysejtű lény 1 óra hosszat él, utána vagy elpusztul, vagy osztódással két ugyanilyen egysejtű jön létre belőle. Az elpusztulás valószínűsége p (0<p<1), ugyanaz minden ilyen egysejtűnél. Mi annak a valószínűsége, hogy egy éppen létrejött egysejtűt véve 3 óra eltelte után egyetlen utóda sem lesz?
 
3. Legyen n olyan természetes szám, amelyik nem köbe racionális számnak. Bizonyítsuk be, hogy
a) egyetlen olyan x3+ax2+bx+c=0 alakú, racionális együtthatós egyenlet van amelyiknek x0=n3+n23 gyöke;
b) ennek az egyenletnek nincs más valós gyöke.
 

A versenyek eredménye*

 

A Művelődésügyi Minisztérium a versenybizottság javaslatára a következő döntést hozta:
 

A) Az általános tantervű osztályok versenyében
 
I. díjat nyert: Szendrei Ágnes (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t., Tanára: Hajnal Imre).
II. díjat nyertek ketten: Frankl Péter (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., III. o. t., T: Kiss Zoltán) és
Lempert László (Budapest, Radnóti M. Gyak. Gimn., IV. o. t., T.: Cserepkei Ferenc).
III. díjat nyert: Láz József (Budapest, Eötvös J. Gimn., IV. o. t., T.: Imrecze Zoltán).
További helyezettek, dicséretben és könyvjutalomban részesültek:
5. Garay Barnabás (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o. t., T.: Szakál Péter), 6. Cserháti András (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., IV. o. t., T.: Láng Hugó), 7. Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., IV. o. t., T.: Kónya István), 8. Feind Ferenc (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., IV. o. t., T.: Láng Hugó), 9. Kérchy László (Baja, III. Béla Gimn., III. o. t., T.: Hegedűs József), 10. Prácser Ernő (Nyergesújfalu, Irinyi J. Gimn., III., T.: Mézes Józsefné). 11. Szendrei Mária (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III., T.: Hajnal Imre), 12. Hornung János (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV., T.: Hortobágyi István, Nagy Jánosné), 13. B. Nagy Péter (Budapest, Landler J. Gépip. Techn. IV., T.: Tóth Béláné). 14. Varsányi István (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III., T.: Dallos Gyula).
 
Dicséretben részesült a következő 38 versenyző (betűrendben felsorolva): Baintner László (Bp., Teleki Blanka Gimn., IV., T.: Czapáry Endréné), Báthor Miklós (Szolnok, Szamuely T. Gépip. Techn., IV., T.: Nagy Imre), Beke-Martos Gábor (Bp., I. István Gimn., III., T.: Rácz János), Borbély József (Pannonhalma, Bencés Gimn., III., T.: Lővey Félix), Bozzay Miklós (Székesfehérvár, József Á. Gimn., IV., T.: Szénás Mihály), Chikán Bálint (Eger, Gárdonyi Gimn. Gimn., IV., T.: Szombathy Miklós), Czédli Gábor (Baja, III. Béla Gimn., III., T.: Hegedűs József), Csépes Zoltán (Bp., Ságvári E. Gyak. Gimn., III., T.: Ries Ferenc), Dombi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV., T.: Csúri József), Fazekas Gábor (Edelény, Gimn., IV., T.: Sáfi Kálmán), Göndőcs Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., III., T.: Zsebők Ottó), Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., IV., T.: Tamás Imre), Győry György (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., IV., T.: Vikár István), Hangos Katalin (Bp., Móricz Zs. Gimn., IV., T.: Némethy Katalin), Hübler András (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., IV., T.: Láng Hugó), Kabos Sándor (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., IV., T.: Cserepkei Ferenc), Katona Endre (Szeged, Radnóti M. Gimn., III., T.: Simon Sándor), Kádár Róbert (Bp., Eötvös J. Gimn., IV., T.: Imrecze Zoltán), Kertész István (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV., T.: Kiss Zoltán), Kis-Tóth Gyula (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV., T.: Kiss Zoltán), Krisch István (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV., T.: Bokor Géza), Kuttner János (Bp., Ápáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV., T.: László Erzsébet), Lenkehegyi Attila (Kalocsa, I. István Gimn., IV., T.: Bartek József), Nagy László (Eger, Dobó I. Gimn., IV., T.: Bérczes László), Németh Károly (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., IV., T.: Cserepkei Ferenc), Palotás István (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., III., T.: Gál Szilveszter), Pál Jenő (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV., T.: Kiss Zoltán), Petravich Gábor (Bp., Eötvös J. Gimn., IV., T.: Imrecze Zoltán), Petz Dénes (Bp., Veres Pálné Gimn., III., T.: Dr. Buday Árpádné), Szabó György (Nyíregyháza, Krúdy Gy. utcai Gimn., IV., T.: Lakatos Zoltán, Filep László), Szabó Sándor (Kecskemét, Katona J. Gimn., IV., T.: Vas Gyula), Szamosújvari Sándor (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn, IV., T.: Vikár István), Szente János (Pécs, Széchenyi I. Gimn, IV., T.: Tóth Júlia), Szepesi László (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III., T.: Szakál Péter), Tallós Péter (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV., T.: Kiss Zoltán), Walthier Tamás (Bp., Piarista Gimn., IV., T.: Pogány János), Zachar Zoltán (Vác, Sztáron S. Gimn., IV., T.: Molnár Sándorné), Zoltán László (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III., T.: Szakál Péter).
 

B) A szakosított tantervű matematikai osztályok versenyében
 
I. díjat nyertek ketten: Borzsák Péter (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t., T.: Jelitai Árpád) és
Ruzsa Imre (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t., T.: Kőváry Károly).
II. díjat nyertek ketten: Bajmóczy Ervin (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t., T.: Kőváry) és
Gönczi István (Miskolc, Földes F. Gimn., IV., T.: Dr. Csernyák Lászlóné).
III. díjat nyert: Kóczy László (Bp., Fazekas, IV., T.: Thiry Imrén, Kardos Gyula).
További helyezettek, dicséretben és könyvjutalomban részesültek:
6. Somorjai Gábor (Bp., I. István, IV.), 7. Komjáth Péter (Bp., Fazekas, III.), 8. Lukács Péter (Bp., Fazekas, III.), 9. Nagy András (Bp., Fazekas, III.). 10. Prőhle Tamás (Bp., Fazekas, IV.), 11. Sztrapkovics László (Bp., Fazekas, IV.); 12. Úry László (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III., T.: Bánhegyi László, Ratkó István, Matavovszky Tibor), 13. Martoni Viktor (Veszprém, Lovassy L. Gimn., III., T.: Knoll János), 14. Alexits György (Bp., Fazekas, IV.).
 

Dicséretben részesült a következő 3 versenyző : Bertók Péter (Bp., Fazekas, IV.), Hermann Tamás (Bp., Fazekas, IV.), Máté András (Bp., I. István, III.).
 
Kimutatás a versenyek II. fordulójába bejutott versenyzők számáról államigazgatási egységek szerint. Megyék: Bács-Kiskun: 9; Baranya: 3; Békés: 4; Borsod-Ábaúj-Zemplén: 4; Csongrád: 2; Fejér: 12; Győr-Sopron: 16; Hajdú-Bihar: 1; Heves: 2; Komárom : 11; Nógrád : 1; Pest : 3; Somogy : 9; Szabolcs-Szatmár : 3; Szolnok: 6; Tolna : 4; Vas: 3; Veszprém: 7 (ebben spec. 2); Zala: 2. ‐ Városok: Budapest: 112 (spec. 51); Debrecen: 10 (spec. 2); Miskolc: 3 (spec. 2); Pécs: 5; Szeged: 7. ‐ Összesen 239 (spec. 57).
*Lásd K.M.L. 39 (1969) 1. o.

*A tanuló adatai után szaktanára nevét is közöljük, amennyiben azt az iskola felkérésünkre közölte.