Kezdőlap


Cím:	Egy elliptikus kúpról
Szerző(k):	Tusnády Gábor
Füzet:	1970/november, 98 - 99. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/március: F.1710

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1710. feladatban^{$^{*}$} azt találtuk, hogy ha

\begin{matrix} \frac{x}{sin t} = \frac{y}{sin 2 t} = \frac{z}{sin 3 t}, \end{matrix}

akkor

x

y

és

z

között a következő összefüggés áll fenn:

\begin{matrix} x^{2} - y^{2} + x z = 0. \end{matrix}

Megvizsgáljuk, melyek azok a pontok a térbeli derékszögű koordinátarendszerben, melyek koordinátái eleget tesznek ennek. Átrendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} y^{2} = x (x + z) . \end{matrix}

(1)

Ha tehát az

x, z

tengelyek által meghatározott síkot vesszük alapsíknak, e sík minden pontjában meghatározhatjuk

y

megfelelő értékét, és ezt felfelé is, lefelé is felmérve egy felületet kapunk. Természetesen az

x, z

síknak csak azokhoz a pontjaihoz rendel (1)

y

-t, melyekben

x (x + z)

nem negatív. E szorzat első tényezője a

z

tengelytől jobbra pozitív, balra negatív, a második tényező az

x + z = 0

egyenes felett pozitív, alatta negatív, az (1) függvény értelmezési tartománya tehát az

x + z = 0

egyenes és a

z

tengely által meghatározott

4

szögtartomány közül az, amelyik az első síknegyedet tartalmazza, és ennek csúcsszögtartománya.

Ha egy

P (x_{0}, y_{0}, z_{0})

pont a vizsgált felülethez tartozik, akkor a felületen van a

P' (λ x_{0}, λ y_{0}, λ z_{0})

pont is, ahol

λ

tetszőleges valós szám, hiszen ha

P

koordinátáira teljesül (1), akkor

P'

koordinátáira is teljesül.
Megvizsgáljuk a felületnek azt a metszetét, amelyet az (

x

z

) sík egy alkalmasan választott egyenesén át e síkra merőlegesen állított sík metsz ki belőle. Erre a célra az értelmezési tartományt határoló egyenesek szögfelezőjére merőleges egyenest veszünk fel. Felmérünk mondjuk

4

egységet ezekre az egyenesekre az origóból kiindulva, kapjuk az

A (2 \sqrt[]{2}; - 2 \sqrt[]{2}), B (0; 4)

pontokat. Ekkor az

A B

szakasz felezőpontja

C (\sqrt[]{2}, 2 - \sqrt[]{2})

, és e szakasz egy tetszőleges pontjának koordinátái

\begin{matrix} x & = \sqrt[]{2} + t (- \sqrt[]{2}), \\ z & = (2 - \sqrt[]{2}) + t (2 + \sqrt[]{2}), \end{matrix}

ahol

- 1 \leq t \leq 1

. Ebben a pontban

y^{2}

értéke:

\begin{matrix} y^{2} = x (x + z) = \sqrt[]{2} (1 - t) \cdot 2 (1 + t) = 2 \sqrt[]{2} (1 - t^{2}) . \end{matrix}

Eszerint

t

és

y

között az

\begin{matrix} \frac{y^{2}}{2 \sqrt[]{2}} + t^{2} = 1 \end{matrix}

összefüggés áll fenn, a metszet tehát ellipszis, melynek egyik tengelye az

A B

szakasz (most

t

tengely), másik tengelye az

(x, z)

síkra

C

-ben emelt merőlegesen van. (Az ellipszis tengelyeinek arányát nem vizsgáljuk, mert a

t

tengely egysége nem azonos az

y

tengely egységével.)
Előrebocsátott észrevételünk alapján a vizsgált felület egy olyan kettőskúp, melynek ,,alapja'' ez az ellipszis, és csúcsa az origó.

^{$^{*}$}Lásd a megoldást ezen számban, 128. o.