A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1645. feladat a következő kérdést vetette fel: Az háromszög oldalegyenesét az pont körül, oldalegyenesét a pont körül forgatni kezdjük egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú szögsebességgel. Mi a két forgó egyenes metszéspontjának mértani helye? Itt projektív geometriai ismeretek segítségével adunk választ a kérdésre. Az egyenletes sebesség következtében az tartójú sugársor és a tartójú sugársor két kongruens, de ellentétes irányítású sugársort alkotnak, ezért a megfelelő egyenesek metszéspontjainak mértani helye egyenlő oldalú hiperbola (vagyis az aszimptoták merőlegesek egymásra).
Az ábrából látni, hogy ha az elfordulás szöge , akkor a két forgó egyenes éppen párhuzamos, tehát a mértani hely megfelelő pontja, ideális pont. Ez adja az egyik aszimptota irányát. Hasonlóan a rá merőleges irány a másik aszimptota iránya (ellenkező irányú, szögű elfordulások). Nyilvánvaló, hogy a keresett mértani helyhez az és pontok is hozzátartoznak. Ha ugyanis az tartójú egyenest -val forgatjuk el, akkor az egyenest nyerjük, míg a tartójú sugársorban a egyenest kapjuk. Ebből az is következik, hogy az egyenes a hiperbolának pontbeli érintője, hiszen az elfordulási szöget elég kicsivel akár növelve, akár csökkentve a mértani helynek -hoz tetszőleges közeli pontját kaphatjuk. Ugyanígy az elfordulású egyenes a -beli érintő. Mivel az háromszögben a -nél levő szög , azért a két érintő párhuzamos, és így az szakasz a hiperbolának átmérője. Így az felezési pont a hiperbola középpontja. Ezen átmennek az aszimptoták, szögfelezőik pedig a hiperbola tengelyei. valós tengely azokban a szögtartományokban halad, amelyek -t és -t tartalmazzák. Ismeretes, hogy a két aszimptota bármely érintővel olyan háromszöget határoz meg, amelynek területe állandó. Ha tehát megszerkesztjük az és szakaszok mértani középarányosát () ‐ ahol és a egyenesnek a két aszimptotával való metszéspontjai ‐, akkor a egyenes a hiperbola csúcsérintője, az , gyújtópontokat pedig az körüli, -n átmenő kör metszi ki a valós tengelyből. A feladat elemi, valamint koordináta-geometriai megoldását lásd ezen számban, 107. o.A szükséges fogalmak, előismeretek megtalálhatók pl. a szerző most megjelent Középiskolai Szakköri Füzetében: Vigassy Lajos: Projektív geometria. Tankönyvkiadó, Budapest, 1970. |