Cím: A Reynolds-szám II.
Szerző(k):  Vesztergombi György 
Füzet: 1969/november, 168 - 171. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Reynolds-számról szóló előző cikk nyomán kitűzött pályázatra (l. májusi számunkat) három igen szép pályamunka érkezett be. A problémakör roppant bonyolultságát és a viszonylag nehéz kísérleti technikát figyelembe véve ez értékes eredmény. Most a pályázók által végzett kísérletekből és azok eredményeiből kiindulva szeretnénk egy kicsit jobban behatolni a Reynolds-szám rejtelmeibe.
A pályázat tárgya a csőben áramló folyadék (ill. gáz) viselkedésének a tanulmányozása volt. Ez azért hálás téma, mert éppen a kísérletileg jól hozzáférhető tartományban következik be ugrásszerű változás az áramlás jellegében. A Reynolds-szám vizsgálata itt lényegében csak annyiból állt, hogy különböző, de geometriailag hasonló áramlások esetén meg kellett határozni a Reynolds-számot, és megállapítani, hogy a Reynolds-számot változtatva minden berendezésben valóban ugyanannál a kritikus értéknél csap-e át az áramlás laminárisból turbulensbe. A mérések során a ,,különböző kísérleti elrendezések'' általában különböző átmérőjű csöveket jelentettek, az R változtatását pedig a sebesség változtatásával érték el.
Mielőtt rátérnénk a mérési eredmények ismertetésére, idézzük újra az emlékezetünkbe a Reynolds-szám definícióját:

R=ϱvDη,
ahol ϱ az áramló folyadék (gáz) sűrűsége, η a viszkozitási együttható, v az áramlásra jellemző sebesség, D a berendezés jellegzetes mérete. Mit jelent a jellemző sebesség, ill. méret? Erre az első pillanatra triviálisnak látszó kérdésre nem is olyan egyszerű felelni. Gondoljuk csak meg, hogy például a lamináris áramlásnál, ahol a cső falától különböző távolságokra az ábrán látható ún. ,,parabolikus sebességprofil'' adja meg az áramlási sebességet, a nullától egy bizonyos maximális sebességig minden sebesség előfordul.
 

 

Mondhatná valaki, hát akkor a maximális sebesség a jellemző sebesség. Ez bizony tényleg jellemző, csak éppen nem lehet (legalábbis nagyon nehéz) megmérni. Ezért egy közbülső sebességet, az átlagos áramlási sebességét választják a jellemző sebességnek. Könnyen lehet mérni is, mert csak azt kell meghatározni, hogy időegység alatt mennyi folyadék áramlik át a cső teljes keresztmetszetén.
A jellegzetes mérettel kapcsolatban általában jóval kisebb a probléma, de éppen a körkeresztmetszetű cső esetén van kétértelműség, egyesek a cső sugarát, mások pedig az átmérőjét tekintik jellegzetes méretnek. Ez azonban nem is lényeges, csak arra kell mindig vigyázni, hogy ha két Reynolds-számot hasonlítunk össze egymással, akkor azok pontosan ugyanúgy legyenek definiálva. Durván szólva azt lehet mondani, hogy azt vesszük jellegzetes sebességnek (méretnek), amit a legkönnyebb mérni. A pályázók az átmérőt használták, és azt tapasztalták, hogy 2200 és 2300 közötti R-nél történik a lamináris áramlásból a turbulensbe való átcsapás. (Az irodalomban az R=1160-as értékkel is találkozhatunk, de figyelmesen elolvasva megállapíthatjuk, hogy ilyenkor a cső sugarát tekintik jellemző méretnek, és így már jó az egyezés.) Érdemes szó szerint idézni Besnyő János és Rideg József érdekes tapasztalatát: ,,Megfigyeltük, hogy R=2120 körül az áramlás már a cső kis ütögetésénél turbulenssé vált. Az ütögetés abbahagyásával az áramvonal ismét kisimult. R>2320 esetén viszont előfordult egy-egy pillanatra lamináris áramlás is.'' E tények ismeretében finomítanunk kell a Reynolds-számra vonatkozó állításunkat is, vagyis a csövekben kétfajta áramlás lehetséges, amelyek közül a lamináris vagy a turbulens áramlás a stabilis áramlási forma aszerint, hogy az R értéke kisebb vagy nagyobb a kritikus értéknél.
A kritikus értékkel kapcsolatban újra lényeges azt megjegyezni, hogy a lamináris-turbulens átmenetre jellemző Reynolds-szám csak a geometriailag hasonló berendezésekben azonos, de ha nincs ilyen hasonlóság, akkor ez a legkülönbözőbb értékeknél következhet be. Például egy gondosan tervezett repülőgép szárnya körül még R=106 esetén is gyakorlatilag lamináris az áramlás.
Most pedig azt szeretnénk megmutatni, hogyan lehet a Reynolds-számot egy törvény levezetésére felhasználni. Tegyük fel, hogy van egy olyan berendezésünk, amelyben tetszőleges η viszkozitású folyadékot v=1  cm/s sebességgel laminárisan tudunk áramoltatni. Egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a folyadék sűrűsége ϱ=1  g/cm3. Helyezzünk az áramlásba D=1  cm átmérőjű gömböt és mérjük meg, hogy mekkora erővel lehet azt egy helyben tartani. Azt tapasztaljuk, hogy ez az erő egyenesen arányos a viszkozitással, ami teljesen ésszerűnek látszik; hiszen a nagyobb belső súrlódású folyadék nagyobb erővel próbálja magával ragadni a gömböt. A pontos formula, ha az erőt dyn-ben, és az η-t poise-ban (g/cm⋅s) mérjük:
F=3π⋅η,
ahol π=3,14. Itt és a továbbiakban a betűk csak puszta számokat jelentenek ha valamilyen fizikai mennyiségről van szó, akkor ezek mellé külön kiírjuk a dimenziót is. Ha a berendezésben ηminta[g/cm⋅s] viszkozitású folyadékot áramoltatunk, a Reynolds-szám:
R=1[g/cm3]⋅1[cm/s]⋅1[cm]ηminta[g/cm⋅s],
amely definíciószerűen dimenziótlan.
Most képzeljünk el egy másik berendezést, amelyben η[g/cm⋅s] viszkozitású, ϱ[g/cm3] sűrűségű folyadék áramlik v[cm/s] sebességgel, és az áramlás útjába D[cm] átmérőjű gömböt helyezünk. Kérdés, most mekkora erővel lehet a gömböt rögzíteni? A Reynolds-szám ismeretében erre úgy felelhetünk, hogy a ,,mintaegységekben'' (amelyekben ϱ=1, v=1, D=1) mérve pontosan ugyanakkora erő hat a gömbre, mint az előzőleg leírt mintaberendezésben, ha abban
ηminta=1Rminta=1R=ηϱvD
viszkozitású folyadék áramlik. Tehát máris tudjuk az erő nagyságát:
F=3πηϱvD[,,dyn''],
ahol azonban még a ,,dyn'' mintaegységet ki kell fejezni a közönséges egységekkel. Mivel 1[,,cm'']=D[cm], 1[,,cm'']/[,,s'']=v[cm]/[s] és 1[,,g'']/[,,cm'']3=ϱ[g]/[cm]3, ezért 1[,,s'']=Dv[s] és 1[,,g'']=ϱD3[g]. Tehát 1[,,dyn'']=1[,,g''][,,cm'']/[,,s'']2=ϱD2v2[g][cm]/[s]2. Ezt behelyettesítve:
F=3πηvD[dyn]=6πηvr[dyn],
ahol r a gömb sugara. Ez a híres Stokes-törvény. Vegyük észre, hogy bár az egységekkel elég sokat bajlódtunk, a mintaberendezésbeli erőtörvényen kívül semmit se használtunk fel. Éppen ebben rejlik a Reynolds-szám nagy jelentősége, hogy elegendő egyetlen berendezésben ismerni a különböző η-jú folyadékok viselkedését és akkor már ebből egyértelműen következik, hogy milyen az áramlás tetszőleges geometriailag hasonló berendezésben.
Végül a Stokes-törvénnyel kapcsolatban még csak annyit szeretnénk megjegyezni, hogy ez csak akkor igaz, ha R<0,1, vagyis a mintaberendezésben csak akkor igaz, hogy F=3πηminta, ha ηminta>10, ami annak felel meg, hogy a mintafolyadéknak valami igen nagy η-jú mézszerű anyagnak kell lennie, hiszen a közönséges víz esetén η=10-2. A dologban az a megdöbbentő, hogy kis r és v esetén vízzel is elérhető ilyen kis R, és ilyenkor a víz esetén ugyanolyanok lesznek a viszonyok, mint a mintaberendezésben a méz esetén. Persze a nagyobb R-ek azaz kisebb ηminta-k esetén a Stokes-törvénytől való eltérés nem befolyásolja az előző levezetés érvényességét, csupán az F=3πη mintatörvény helyébe lép egy bonyolultabb összefüggés. Vagyis az egyes törvények érvényességi körét is a Reynolds-szám szabja meg.