Cím: A Reynolds-szám I.
Szerző(k):  Vesztergombi György 
Füzet: 1969/május, 232 - 234. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bár szinte az egész környezetünk és jómagunk is telistele vagyunk áramló folyadékokkal és gázokkal ‐ gondoljunk csak a zord téli szelekre vagy az ereinkben keringő vérre ‐, mégis a tanulmányaink során elég kevés szó esik ezekről a jelenségekről. A méltóságteljesen hömpölygő Dunát vagy a szél által felkavart porfelhő örvénylését szemlélve valóban úgy érzi az ember, hogy a jelenség már olyan bonyolult, hogy ezen a megállapításon kívül már nem sokat lehet róla mondani. Hogy azért mégis van rend és törvény ebben a kavargó világban is, azt egy egyszerű példán szeretnénk bemutatni.
A fizikusok ugyan felírtak egy a jelenséghez méltóan bonyolult egyenletet ‐ az úgynevezett Navier‐Stokes-egyenletet ‐, amelyet azonban mi itt fel sem merünk írni, de amelynek van egy nagyon érdekes tulajdonsága, tudniillik az, hogy csupán egyetlen az anyagra és az áramlásra együttesen jellemző paramétertől, az úgynevezett Reynolds-számtól függ.
Mielőtt azonban a Reynolds-számról részletesebben beszélnénk, egy hasonlattal szeretnénk megvilágítani, hogy mit is jelent az az állítás, hogy egy fizikai folyamat bizonyos számú paramétertől függ. Vajon a szabadesés hány paramétertől függ? Első pillanatban azt gondolhatjuk, hogy kettőtől: a g-től, a gravitációs térerősségtől és a h-tól, az esés magasságától. Ezek ismeretében valóban pontosan megadható bármely pillanatban a szabadon eső test helyzete vagy az esés összideje. Ez azonban pazarlás, ha jól meggondoljuk a fizikai folyamat lényegének a leírásához egyetlen paraméterre sincs szükség. Ugyanis elegendő egyetlen ,,mintakísérlet'' elvégzése egy ,,mintabolygón'', ahol a g=1cm/s2. Ha ugyanis ismerjük a h=1 cm magasságból való szabadesés időbeli lefolyását, akkor ezzel le tudjuk írni bármilyen homogén gravitációs térben az összes szabadesést. Nem kell mást csinálni, mint alkalmas mértékegységeket bevezetni. Ennek illusztrálására írjuk fel a szabadesést a közönséges és a ,,minta-mértékegységekben''. Az új egységek:

1[,,minta-centiméter'']=h [cm],1[,,minta-cm'']/[,,minta-s'']2=g [cm]/[ s ]2,


ebből
1[,,minta-s'']=hg[ s ].
A továbbiakban csak az idézőjellel jelezzük a mintaegységet:
 

111MintabolygónKözönséges egys.,,Mintaegységek''mintaesés közönséges1111egységekben  Az út‐idős[cm]=g2[cm][s]2t[s]2s'[,,cm'']=12[,,cm''][,,s'']⋅s=12t2  összefüggés⋅t'2[,,s'']2  Az esés idejet[sec]=2h[cm]g[cm/s2]t'[,,s'']=2[,,s'']t=2[ s ]
 


Vagyis a ,,mintaegységekben'' pontosan olyan a folyamat lefolyása, mint a mintafolyamaté a közönséges egységekben.
Pontosan ilyen értelemben kell felfogni azt a kijelentést, hogy a hidrodinamikai folyamatok leírására elegendő egyetlen paraméter. Hogy ebben az esetben semmilyen ügyeskedéssel sem lehet ettől a paramétertől megszabadulni, az jelzi azt a tényt, hogy mennyivel bonyolultabb jelenséggel állunk szemben. A szabadesés független az anyagi minőségtől, a hidrodinamikai áramlás azonban ,,függ'' ettől, de a dologban éppen ennek a függésnek a különleges volta az érdekes, ugyanis ez valamiféle ,,relatív'' függés, mert például bizonyos esetben a víz úgy viselkedhet, mint a méz; a méz pedig, mint a levegő.
Hogy konkrétabban beszélhessünk, vizsgáljunk egy speciális elrendezést. Helyezzünk a v cm/s sebességgel áramló ϱg/cm3 sűrűségű ηg/cm⋅s belső súrlódású folyadék útjába egy D átmérőjű hengert. Az η ne nagyon izgasson fel senkit, valami olyan dologra kell gondolni, hogy az a két szilárd test egymáson való elcsúszására jellemző μ súrlódási együtthatónak megfelelő anyagi állandó a folyadék esetén. (Részletesebben lásd: K. M. L. 31. kötet 33. old.)
Látható, hogy a közönséges egységekben ez négy paraméteres probléma, de a fizikai lényeget tekintve ezeket egyetlen paraméterbe lehet sűríteni, ez az a bizonyos Reynolds-szám:
R=ϱηDv.
Nyilvánvalóan most is ugyanúgy, mint a szabadesésnél új egységek bevezetésével küszöbölhetjük ki a v-t és a D-t. De a hidrodinamikában nem lehet ilyen egyszerűen eljárni, ugyanis a ,,mintaegységekben'' felírt áramlás nem egyezik meg azzal az áramlással, amelyet ugyanannak a folyadéknak a mintaberendezésben (D=1 cm és v=1 cm/s) való áramlása esetén tapasztalunk. A hidrodinamika alaptörvényeiből ugyanis az következik, hogy most is célszerű ugyan a ,,mintaegységek'' használata ‐ hisz ezzel a négyből kiküszöbölhetünk két paramétert ‐, de a mintaegységekben leírt áramlás csak akkor fog megegyezni a mintaberendezésbeli (v=1 cm/s, D=1 cm) áramlással, ha abban egy másik folyadékot áramoltatunk, amely folyadék fajlagos belső súrlódásának a reciproka ‐ a ϱ/η hányados ‐ egyenlő az eredeti folyadék Reynolds-számával. Tömören ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy két folyadék áramlása a mintaegységekben akkor egyezik meg teljesen, ha a közönséges egységekben felírt Reynolds-számok megegyeznek.
Látható, hogy a Reynolds-szám reciproka éppen a mintaberendezésbeli mintafolyadék fajlagos belső súrlódásával egyenlő. Mivel itt csak a fajlagos belső súrlódás, vagyis az η és a ϱ hányadosa jelenik meg, ezért csökken le végül is a paraméterek száma egyre. Gondoljuk csak el, micsoda nagy jelentősége van ennek! Ha ugyanis ismerjük egyetlen 1 cm átmérőjű csőben a különböző folyadékok áramlási képét, amikor mondjuk a cső közepén 1 cm/s az áramlás, akkor ezzel tetszőleges átmérőjű csőben, tetszőleges sebességű tetszőleges folyadék esetén ismerjük az áramlást. Ugyanis nem kell mást csinálni, mint az áramlást ,,mintaegységekben'' felírni, és a mintaberendezésben azt a folyadékot kell áramoltatni, amelynek a fajlagos belső súrlódása egyenlő a vizsgált áramlás közönséges egységekben felírt Reynolds számának a reciprokával. Vegyük észre, hogy a geometriailag hasonló berendezések közül bármelyiket választhatjuk mintaberendezésnek (vagyis például azt a csövet, amelynek a sugara 1 cm, és a víz átlagsebessége 1 cm/s), ugyanis ez nem változtatja meg a minta- és a közönséges egységek váltószámát, így változatlan marad a mintafolyadék is. Nem szabad viszont két különböző, geometriailag nem hasonló áramlás Reynolds-számait összekeverni vagy egymással összehasonlítani. Vegyük például azt az esetet, amikor egy v-sebességű áramlásba D átmérőjű gömböt helyezünk, vagy egy R-sugarú csövön keresztül való áramlást. Nyilvánvaló, hogy hiába egyezik meg két áramlás esetén a Reynolds-szám, ebből nem vonhatunk le semmilyen következtetést, hiszen a két alakzat geometriailag nem hasonló egymáshoz. A félreértések elkerülése végett ezért a Reynolds-számot úgy definiáljuk, hogy:
R=ϱη⋅(jellemző távolság)⋅(jellemző sebesség).

Hogy a gyengébb idegzetűeket még jobban kétségbe ejtsük, végezetül hadd áruljunk még el annyit, hogy a fentebb elmondottak csak akkor érvényesek, ha a sebességek kicsik a hangsebességhez képest. Nagyobb sebességek esetén ugyanis két geometriailag hasonló áramlás csak akkor lesz dinamikailag hasonló, ha az áramlási sebesség és a hangsebesség hányadosa, az ún. Mach-szám és a Reynolds-szám azonos. (Irodalom: Szücs Ervin: Hasonlóságelmélet. Műszaki Kiadó.)