Cím: Az izotermális változás
Szerző(k):  Vermes Miklós 
Füzet: 1969/március, 129 - 132. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek, Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ez alkalommal a hőtan (termodinamika) egyik alapvető fogalmával, az izotermális változással foglalkozunk. Izotermális változásnak nevezünk olyan kísérletet, amelynek folyamán a hőmérséklet állandó marad. Lássunk erre egy példát.
4 gramm héliumgáz van bezárva egy hengerbe, amelynek alapterülete 1 dm2. A hengerben levő gázt súrlódásmentes dugattyú zárja be, a henger héliummal töltött hossza 22,4 dm=2,24 méter, tehát a hélium térfogata Va=22,4 liter (1. ábra).

 

 

1. ábra
 

Legyen a hőmérséklet T1=0∘C=273∘K, tehát a gáz nyomása pa=1 atmoszféra (közelítően 1  kp/cm2). A dugattyún kívül légüres tér van, tehát a dugattyút egy erős rugóval, 100 kp erővel kell tartani ebben a helyzetében. Belülről azért nyomja a gáz a dugattyút, mert nagy sebességgel repülő molekulái beleütköznek.
Most hajtsunk végre a 4 gramm héliummal egy izotermális folyamatot. Ez azt jelenti, hogy nyomását, térfogatát megváltoztatjuk, de úgy, hogy hőmérséklete közben állandó maradjon. Egy kissé lazítunk a rugón és a dugattyú elindul kifelé. Eközben a nyomás csökken, a térfogat nagyobbodik. De ha tényleg elvégezzük a kísérletet, akkor azt tapasztaljuk, hogy a hőmérséklet nem marad állandó, mert a dugattyút lökő molekulák átlagsebessége és ezzel a gáz hőmérséklete csökken. A molekulák a kifelé menő dugattyúról kisebb sebességgel pattannak vissza, mint amekkorával neki ütődtek, és mozgási energiájuk csökkenése egyenlő a kifelé haladó dugattyú által végzett munkával.
Azonban az a szándékunk, hogy a változás izotermális legyen, a hőmérséklet maradjon állandó (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

A hengert egy óriási méretű, 0∘C hőmérsékletű tengervízzel telt tartályba dugjuk be. Hengerünk fala vörösrézből készült. Ennek az anyagnak az a tulajdonsága, hogy két oldalán a molekulák mozgási energiája csak egyenlő lehet (jó ,,hővezető''). Tehát amint a dugattyú kifelé halad, a falon át molekulái mozgási energiát kapnak a hőtartály anyagából, átlagos sebességük, a hélium hőmérséklete állandó marad és megvalósítottuk az izotermális folyamatot. Ha szigorúan vesszük, a hőtartálynak kissé le kell hűlnie, de mi ettől eltekinthetünk.
Szóval izotermális változásunk alkalmával az állandó hőmérsékletű héliumgáz kiterjed, például Va=22,4 literről Vb=44,8 literre. Eközben munkát végez. Ezt a munkát szeretnénk kiszámítani. Nem is olyan könnyű feladat, hiszen kiterjedés közben csökken a nyomás, a térfogattal fordítva arányosan, és érvényes a paVa=pbVb=RT1 gáztörvény. Ezt az összefüggést a V-p koordinátarendszerben hiperbola tünteti fel (a 3. ábra vastag vonala).
 

 

3. ábra
 

De nemcsak kiszámítani, hanem hasznosítani is szeretnénk ezt a munkát, mégpedig úgy, hogy súrlódásmentes dugattyúnk lassan mozogjon, különben útjának végén odacsapódik a megállító akadályhoz és energiájának egy része kárba vész.
Az izotermálisan kiterjedő gázzal következőképp végeztetünk munkát (4. ábra).
 

 

4. ábra
 

Miközben a henger a T1=0∘C=273∘K hőmérsékletű tartályban van, a dugattyúról kinyúló rúd függőleges, gereblyeszerű végződésével egy súlyt tol fel egy görbe lejtőn. Ha egy súly feltolása a lejtő alapjával párhuzamos erővel történik, akkor a súlyt és a lejtő hajlásszögének tangensét összeszorozva megkapjuk a tolóerőt. A mi lejtőnk görbéjének függvénye:
y=2,24⋅2,3⋅lgx2,24.
Rajzunk szerint x és y méterben számítandó. Ez a görbe, a természetes logaritmusfüggvény olyan, hogy meredeksége, érintőjének iránytangense fordítva arányos az x koordinátával. A lejtőre 100 kp súlyú hengert teszünk; ezt kell a gáz kiterjedésekor a dugattyúnak a gereblyével a lejtőn feltolnia. A gáz nyomása a térfogattal fordítva arányos, de lejtőnk meredeksége is, ezért a súly feltolása lassan, szinte egyensúlyi állapotokon keresztül mehet végbe. Kezdetben a dugattyú 22,4  dm=2,24 m távolságra van a henger fenekétől, a gereblye a 100 kp súlyú hengert a görbe xa=2,24 m, ya=0 m koordinátájú pontján tartja, ahol az iránytangens tg45∘=1. Ezért az 1  dm2-es dugattyú által az 1 atmoszféránál kifejtett összes tolóerővel a 100 kp-os súly éppen egyensúlyt tart. Amikor a hélium 4,48 literre tágult ki, xb=4,48 m, yb=2,24⋅2,3⋅lg4,48/2,24=1,53 méter. Itt a lejtő iránytangense már csak 0,5, és a 100 kp-os súlyt a gereblye 50 kp-dal tudja tolni megfelelően annak, hogy a nyomás 0,5 atmoszférára csökkent.
Gázunk izotermális kiterjedése közben a 100 kp-os súlyt 1,53 méter magasra emelte fel, tehát a munkavégzés 100  kp⋅1,53  m=153 mkp. Vagyis sikerült a munkát változó erő mellett is pontosan kiszámítani. De egy fontos dolgot ne feledjünk el. A 153 mkp munkát nem a 4 gramm héliumgáz végezte el. Ennek molekulái a kiterjedés befejeztével is ugyanakkora mozgási energiával röpdösnek, mint kiterjedés előtt. Az ideális gázként viselkedő héliumban levő összes energia csak a hőmérséklettől függ, nem pedig a térfogatától, nyomásától. A 153 mkp munkavégzés a tartályból ered, annak az energiáját hasznosítottuk, a héliumgáz csak átvitte az energiát. Azt a mozgási energiát, amit a hélium átadott a dugattyúnak, a vörösrézfalon át azonnal pótolta a tartályból.
Az izotermális kiterjedés munkavégzését képletben is felírhatjuk, xb és xa távolságok aránya ugyanaz, mint Vb és Va térfogatoké. A logaritmus előtt álló szorzó a Kelvin-fokban adott hőmérséklettel arányos, ezért az a munka, amelyet mkp-ban kapunk, ha 1 mól gáz T Kelvin-fokon Va térfogatról izotermálisan terjed ki Vb térfogatra:
W=2,24⋅T273⋅2,3⋅lgVbVa.
(A 2,3-del megszorzott 10-es alapú logaritmus az ún. természetes logaritmus.) Mivel a pV szorzat munka jellegű, a kiterjedéskor végzett munkát a 3. ábrán a görbe alatti terület adja meg.
Izotermálisan kiterjedő gázunk a nagy tartályból kiszívott energiából végez általunk hasznosítható munkát és így úgynevezett hőerőgép. De a héliumgáz egyszeri kiterjedésével nem vagyunk megelégedve, hiszen ezzel a munkavégzés befejeződött, úgy, mint amikor egy vízi erőmű tartályában levő víz lefolyt a turbinán át. Az volna a jó, ha a munkavégzést meg lehetne ismételni ugyanazzal a héliumgázzal és berendezéssel, ahányszor csak akarjuk. A vízierőműnél ez úgy volna lehetséges, ha a vizet újra felhordanánk. De ehhez pontosan ugyanaz a munkavégzés kellene, amit előbb nyertünk. Héliumgázunknál is megtehetnénk azt, hogy a dugattyút visszanyomjuk Vb-ről Va térfogatra, de ehhez 153 mkp munkát kellene végeznünk, amely energia a dugattyú visszatértével visszakerülne a tartályba. Így nincs értelme a dolognak.
De tehetjük a következőt. Először kiterjesztjük a héliumot Va=22,4 literről Vb=44,8 literre és kapunk 153 mkp munkát, a 100 kp felkerült a görbe lejtőn 1,53 méter magasra. Ezután a hengerről lehúzzuk a T1=0∘C=273∘K hőmérsékletű tartályt és rátolunk egy másik hőtartályt, amelynek hőmérséklete T2=-91∘C=182∘K. A hirtelen lehűlt héliumgáz nyomása 1/2 atmoszféráról 1/3 atmoszférára esik a 273/182 aránynak megfelelően. Az 1,53 méter magasra emelt 100 kp-os vashengerből fenn hagyunk 33 kp-ot, így a megmaradt 67 kp-os súly a 0,5-os iránytangensű lejtőn ugyanazzal a 33 kp-dal nyomja a gereblyét, amellyel a gáz nyomja 0,33 atmoszférával az 1  dm2-es dugattyút. A 3. ábrán C pont mutatja ezt az állapotot. Most engedjük, hogy a súly összenyomja a gázt Va=22,4 literre, 2/3 atmoszféra nyomásra. Ekkor mi végzünk munkát, mégpedig 67  kp⋅1,53  m=102 mkp-ot, amelyet a héliumgáz azonnal átad a hidegebb tartálynak. A 3. ábra D pontjába jutottunk. Utolsó lépésünk, hogy a hengerről lehúzzuk a hidegebb tartályt és újra rá dugjuk a 0∘C hőmérsékletűt. Ekkor a hélium hőmérséklete T1=0∘C=273∘K-re, nyomása 1 atmoszférára emelkedik (ezeket az adatokat a 3. ábra A pontjában találjuk meg). Az áttevések (BC, DA) folyamán beálló energiaváltozások kiegyenlítik egymást, mert a gáz energiája csak a hőmérséklettől függ.
Összegezzük a történteket. A 4 gramm, héliumgáz pontosan eredeti állapotába került vissza, számára a kísérlet körfolyamat volt. Mi kaptunk 51 mkp munkát, mert 33 kp fent maradt 1,53 méter magasan (33  kp⋅1,53  m=51 mkp). Ennek a munkavégzésnek az eredete: a meleg hélium kihozott a meleg tartályból 153 mkp energiát, ebből azonban csak 102 mkp-ot adott vissza a hidegebb tartálynak és 153-102=51 mkp a mienk maradt. Kísérletünk folyamán a két tartályban változott az energiakészlet nagysága, számukra a kísérlet nem volt körfolyamat. A munkanyerés azért volt lehetséges, mert a hideg gázt alacsonyabb hőfoka és kisebb nyomása folytán kevesebb munkával sikerült eredeti térfogatára visszanyomni, mint amennyi munkát melegen kiterjedve kiadott. Mintha a vízierőmű lecsurgott vizét egy olyan helyen vinnénk vissza, ahol g kisebb. A kapott 51 mkp a melegebb hőtartályból eredt. Hatásfoknak nevezzük a hasznosított energia arányát a meleg tartályból kivett energiához viszonyítva: 51:153=1/3. Azonnal látjuk, hogy a hatásfok kiszámítható az abszolút hőmérsékletekkel:
hatásfok=2,24⋅T1273|⋅2,3⋅lgVb/Va-2,24⋅T2273|⋅2,3⋅lgVb/Va2,24⋅T1273⋅2,3⋅lgVb/Va==T1-T2T1=1-T2T1.

Ez a hatásfok-meghatározás onnan ered, hogy a meleg tartály energiája tüzelőanyag elégetéséből ered és számunkra csak a végzett munka hasznosítható.
Befejezésül meg kell mondani, hogy ez a hatásfok az elképzelhető legjobb érték. Ha súrlódás van vagy a dugattyú pályája végén nekiütközik egy akadálynak stb., a hatásfok még rosszabb lesz. A valóságban a körfolyamatot sokszor megismételve a két tartály hőmérséklete mindig közelebb kerül egymáshoz, és a munkavégzés idővel lehetetlenné válik. Ezeknek az egyszerű dolgoknak alapos megértése teszi lehetővé a főtételek, az entrópia fogalmának megismerését.