Cím: Az 1969. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek
Füzet: 1969/szeptember, 1 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A verseny szervezésében a múlt évihez képest egyrészt az volt a változás, hogy az I. fordulóból a II.-ba 8 feladat közül tetszés szerint választottak megoldásával szerzett pontjaik alapján juthattak tovább a versenyzők, általános és szakosított tanterv szerint tanulók egyaránt ‐ az utóbbiak esetében azonban természetesen nagyobb volt a szükséges minimális pontszám ‐, másrészt, hogy a II. fordulóban a szakosított tantervű matematika-fizikai osztályok megkülönböztetés nélkül vettek részt az általános tantervű osztályok versenyében. A február 11-én tartott I. forduló alapján 260 versenyző kapott behívót az április 16-án tartott II. fordulóra, közülük 91 volt valamelyik szakosított matematikai osztály tanulója.

 
A versenyek tételei a következők voltak.
 
I. forduló. 1. Fejezzük ki a-val az
y=x-3+x-7
kifejezést, ha
x=a4+20a2+164a2,és0<a≤2.

 
2. Egy háromszög oldalai a, b és c, területe t, továbbá fennáll a következő összefüggés:
(a+b+c)(a+b-c)=4t.

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög derékszögű.
 
3. Bizonyítsuk be, hogy ha az a és b számok egyike sem negatív, akkor a3-3ab2+2b3 sem negatív.
 
4. Bizonyítsuk be, hogy 22n+15n-1 osztható 9-cel, bármilyen természetes szám is n.
 
5. Adott a síkon két egymást metsző egyenes. Bizonyítandó, hogy azoknak a pontoknak mértani helye (a síkon), amelyekre nézve a két egyenestől mért távolságok négyzetösszege egy adott pozitív számmal egyenlő, ellipszis.
 
6. Egy síklapú, hétcsúcsú konvex test egyik lapja a 12cm oldalú ABCD négyzet, egy másik lapja a négyzettel párhuzamos síkban fekvő EFG szabályos háromszög. E háromszög E csúcsának a merőleges vetülete a négyzet síkján egybeesik A-val, az F és a G vetülete pedig a BC, ill. CD oldalon van, C-től egyenlő távolságra. A testnek van még egy szabályos háromszög lapja. Mekkora az ABCD és EFG lapok távolsága?
 
7. Legyen x1 pozitív, 1-nél kisebb szám. Ebből kiindulva képezzük az
xk+1=xk-xk2(k=1,2,...)
előírással meghatározott sorozatot. Mutassuk meg, hogy n bármekkora,
x12+x22+...+xn2≤1.

 
8. Az ABC háromszögben az A és a B csúcsból induló súlyvonalak merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy e háromszög C csúcsánál fekvő γ szögre
cosγ=45.

 
II. forduló, általános tantervű osztályok részére. 1. Adott a síkban két kör. Mutassuk meg, hogy ha elhelyezhető egy rombusz úgy, hogy egyik átlójának a végpontjai az egyik körön legyenek, a másikéi a másik körön, akkor végtelen sok ilyen helyzetű rombusz van, és ezek oldalai mind egyenlők.
Szerkesszünk így elhelyezkedő négyzetet.
 
2. Legyen n adott természetes szám. Válasszuk meg a k és l nem negatív egészeket úgy, hogy összegük n-től különböző természetes szám legyen, továbbá
kk+l+n-kn-(k+l)
a lehető legnagyobb legyen!
 
3. Mutassuk meg, hogy a
sinx+sin(x2)
függvény nem periodikus. ‐ (Periodikusnak mondjuk az f függvényt p periódussal, ha minden x-re f(x+p)=f(x).)
 
II. forduló, a szakosított tantervű osztályok részére. 1. Az ABCD síkbeli négyszög A csúcsának B-re, B-nek C-re, C-nek D-re és D-nek A-ra vonatkozó tükörképét jelöljük rendre A1, B1, C1, D1-gyel. Szerkesszük meg az ABCD négyszöget, ha adott az A1, B1, C1 és D1 pont.
 
2. Azonos az általános tantervű osztályok 2. feladatával.
 
3. Válasszuk meg az a, b, c valós együtthatókat úgy, hogy az
ax2+bx+c
polinom minden -1 és 1 közti x-re -1 és 1 közé eső értéket vegyen fel és
83a2+2b2
(ami egyébként a polinom deriváltja négyzetének a -1, 1 intervallumon vett határozott integrálja) a lehető legnagyobb legyen.
 
A versenyek eredménye*

 
A Művelődésügyi Minisztérium a versenybizottság javaslatára a következő döntést hozta:
 
A) Az általános tantervű osztályok versenyében
I. díjat nyert: Fiala Tibor (Budapest, II. Rákóczi Ferenc Gimnázium, IV. o. t., T.: Vigassy György).
II. díjat nyert: Gegesy Ferenc (Budapest, Móricz Zsigmond Gimnázium, IV. o. t., T.: Némethy Katalin).
III. díjat nyert: Lempert László (Budapest, ELTE Radnóti Miklós Gyakorló Gimnáziuma, III. o. t., T.: Cserepkei Ferenc).
További helyezettek, dicséretben és könyvjutalomban részesültek:
4. Ésik Zoltán (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. Gimn., IV., T.: Hajnal Imre), 5. Győry György (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III., T.: Vikár István), 6. Andor László (Budapest, II. Rákóczi F. Gimn., IV., T.: Vigassy György), 7-8. Baintner László (Budapest, Teleki Blanka Gimn., III., T.: Dr. Lévárdi László), 7-8. Váradi József (Budapest, ELTE Ságvári E. Gyak. Gimn., IV., T.: Reményi Gusztávné), 9. Lőrincz András (Budapest, Kölcsey F. Gimn., IV., T.: Hidvégi Imre, Szandi Erika) és 10. Horváth András (Budapest, Ady E. Gimn., IV., T.: Lágler Károlyné).
Dicséretben és könyvjutalomban részesültek: 11. Szente János (Pécs, Széchenyi I. Gimn., III., T.: Tóth Júlia), 12. Kocsis Ferenc (Budapest, .Eötvös J. Gimn., IV., T.: Imrecze Zoltán), 13. Krasznai András (Gyöngyös, Vak Bottyán Gimn., IV., T.: Rónai Kálmán, Semegi Gyula), 14. Báthor Miklós (Szolnok, Szamuely T. Gépip. Techn., III., T.: Nagy Imre), 15. Inczédy Sarolta (Vác, Sztáron S. Gimn., III., T.: Molnár Sándorné), 16. László István (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV., T.: Pulay Csaba).
Dicséretben részesült a következő 26 versenyző (betűrendben felsorolva): Chikán Bálint (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III., T.: Szombathy Miklós), Dunai Ferenc (Budapest, Eötvös J. Gimn., IV., T.: Imrecze Zoltán), Farkas László (Miskolc, Földen F. Gimn., IV., T.: Pirkó Béla), Fazekas Béla (Pannonhalma, Bencés Gimn., IV., T.: Molnár Mar-cián), Fialovszky Alice (Budapest, Patrona Hungariae Gimn., IV., T.: Dr. Kiss László), Gerhardt Tamás (Budapest, Kaffka M. Gimn., III.), Gulyás András (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV., T.: Nagy Jánosné), Kádár Róbert (Budapest, Eötvös J. Gimn., III., T.: Imrecze Zoltán), Kérchy László (Baja, III. Béla Gimn., III., T.: Hegedűs József), Keresztúri András (Budapest, Eötvös J. Gimn., III., T.: Imrecze Zoltán), Korpássy Péter (Budapest, Eötvös J. Gimn., IV., T.: Imrecze Zoltán), Lintner Ferenc (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV., T.: Sain Márton), Ludvig László (Budapest, Leövey K. Gimn., IV., T.: Dr. Auer Kálmánné), Maróti Péter (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. Gimn., IV., T.: Hajnal Imre), Megyesi Áron (Budapest, Kőrösi Csoma S. Gimn., IV., T.: Kozma Péter, Bankó Erzsébet), Nagy László (Eger, Dobó I. Gimn., III. T.: Bérczes László), B. Nagy Péter (Budapest, Landler J. Gépip. Techn., III., T.: Tóth Béláné), Radó Péter (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., IV., T.: Herczeg János), Stachó László (Pécs, Nagy Lajos Gimn., IV.), Süttő Klára (Budapest,-ELTE Ságvári E. Gyak. Gimn., IV., T.: Reményi Gusztávné), Szabó György (Nyíregyháza, Vasvári P. Gimn., III., T.: Filep László), Taracsák Gábor (Cegléd, Kossuth L. Gimn., IV., T.: Ádám Mária), Tél Tamás (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV., T.: Nagy Jánosné), Tölgyesi Ernő (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV., T.: Heigl István), Vadász István (Sopron, Martos F. Gimn., III., T.: Ökrös Irén), Weller János (Bonyhád, Perezel M. Közg. Szakközépisk., III., T.: Oláh Mária).
 
B) A szakosított tantervű matematikai osztályok versenyében
I. díjat nyert: Csirmaz László (Budapest, I. István Gimnázium, IV. o. t., T.: Rácz János, Jelitai Árpád).
II. díjat nyert: Pintz János (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimnázium, IV. o. t., T.: Reményi Gusztáv, Ada-Winter Péter).
III. díjat nyert: Pataki István (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimnázium, IV. o. t.).
További helyezettek, dicséretben és könyvjutalomban részesültek:
4. Barbarits András (I. István, III., T.: Jelitai Árpád, Rácz János), 5. Borzsák Péter (I. István, III.), 6. Somorjai Gábor (I. István, III.), 7. Somogyi Árpád (Fazekas, IV.), 8. Soós Miklós (Fazekas, IV.), 9. Gönczi István (Miskolc, Földes F. Gimn., III., T.: Dr. Csernyák Lászlóné), 10. Nárai László (Budapest, Fazekas, IV.).
Dicséretben és könyvjutalomban részesültek: 11. Hárs László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., IV., T.: Bánhegyi László, Matavovszky Tibor), 12. Prőhle Tamás (Budapest, Fazekas, III., T.: Thiry Imréné, Kardos Gyula, Ada-Winter Péter).
Dicséretben részesült a következő 9 versenyző (betűrendben felsorolva): Csobádi Péter (Berzsenyi, IV.), Faragó László (Fazekas, IV.), Ferencz László (Fazekas, IV.), Győry Jenő (Berzsenyi, III., T.: Ratkó István, Pogáts Ferenc), Kóczy László (Fazekas,) Missik Éva (Berzsenyi, IV.), Nagy Ferenc (I. István, III.), Soltész János (Fazekas,) Váli László (I. István, III.).
 
Kimutatás a versenyek II. fordulójába bejutott versenyzők számáról államigazgatási egységek szerint. Megyék: Bács-Kiskun: 7; Baranya: 4; Békés: 0; Borsod-Abaúj-Zemplén: 5; Csongrád: 3; Fejér: 9; Győr-Sopron: 11; Hajdú-Bihar: 0; Heves: 7; Komárom: 0; Nógrád: 0; Pest: 2; Somogy: 4; Szabolcs-Szatmár: 2; Szolnok: 2; Tolna: 4; Vas: 3; Veszprém: 5; Zala: 0. ‐ Városok: Budapest: 170 (ebben spec. oszt.: 86): Debrecen: 4 (spec. 2); Miskolc: 8 (spec. 3); Pécs: 4; Szeged: 6. ‐ Összesen 260 (spec. 91).
*A tanuló adatai után szaktanára nevét is közöljük, amennyiben azt az iskola felkérésünkre közölte.