Cím:	Megjegyzés az 1224. gyakorlathoz
Szerző(k):	Nemetz Tibor
Füzet:	1969/május, 193 - 194. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megjegyzés az 1224. gyakorlathoz1   Megmutatjuk, hogy a végzett műveletsorozat végén a szám elejére átírt számjegy csak 7-es lehetett. Jelöljük Jóska eredetileg gondolt számát $x$-szel. Ebből a végzett szorzások, összeadások útján a következő számot képeztük: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=77\cdot 33\left[23\cdot 11\left(23x+1\right)+1\right]\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Jelöljük ennek utolsó számjegyét $B$-vel, az utolsó számjegy elhagyásával kapott számot $A$-val, azaz legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle y=10A+B\mathrm{.}}\end{array}$ Itt $B>0$, hisz különben nem lehetne osztó, másrészt nyilván $B<10$. A végzett további műveletek alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle {10}^{k-1}\cdot B+A=B\left(10A+B\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (2) ahol $k$ az $y$ szám számjegyeinek száma. Átrendezéssel adódik $\begin{array}{c}{\displaystyle A=B\cdot \frac{{10}^{k-1}-B}{10B-1}\mathrm{,}}\end{array}$ s ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle y=10A+B=B\cdot \frac{{10}^k-1}{10B-1}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Amennyiben tehát van megoldás, akkor $y$ csak (3) alakú szám lehet. Ezt az értéket (1)-be visszahelyettesítve látható, hogy a $\begin{array}{c}{\displaystyle B\cdot \frac{{10}^k-1}{\left(10B-1\right)\cdot 7\cdot 3\cdot {11}^2}}\end{array}$ kifejezés egész szám. Mivel $B$ nem osztható 11-gyel, azért ${10}^k-1$ osztható ${11}^2$-nel. Nézzük meg, hogy ez milyen $k$ értékek mellett teljesül. Mindenekelőtt megállapítjuk, hogy a 11-gyel való oszthatóság is csak akkor teljesül, ha $k$ páros. Legyen ugyanis $k=2n+m$, ahol $m=0$, ha $k$ páros és $m=1$, ha páratlan, így $\begin{array}{c}{\displaystyle {10}^k-1={10}^m\left({10}^{2n}-1\right)+{10}^m-1.}\end{array}$ Itt ${10}^{2n}-1$ osztható ${10}^2-1=\left(10-1\right)\left(10+1\right)$-gyel, így valóban az oszthatósághoz szükséges és elégséges, hogy $m=0$ legyen, és eszerint $k=2n$. Mármost ahhoz, hogy a ${11}^2$-nel való oszthatóság is teljesüljön, a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left({10}^2\right)}^n-1}{{10}^2-1}={\left({10}^2\right)}^{n-1}+{\left({10}^2\right)}^{n-2}+\text{...}+\left({10}^2\right)+1}\end{array}$ (4) hányadosnak is oszthatónak kell lennie 11-gyel. Nem nehéz belátni, hogy ez így alakítható: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{{\left({10}^2\right)}^n-1}{{10}^2-1}={\left({10}^2\right)}^{n-2}\cdot \left({10}^2-1\right)+2\cdot {\left({10}^2\right)}^{n-3}\cdot \left({10}^2-1\right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +3\cdot {\left({10}^2\right)}^{n-4}\cdot \left({10}^2-1\right)+\text{...}+\left(n-1\right)\cdot {\left({10}^2\right)}^0\cdot \left({10}^2-1\right)+n\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel a jobb oldalon az utolsó tag kivételével minden tag osztható ${10}^2-1$-gyel, s így 11-gyel, szükséges és elégséges, hogy $n$ osztható legyen 11-gyel, tehát ${10}^k-1$ akkor és csak akkor osztható ${11}^2$-nel, ha $k=22r$ alakú. Behelyettesítve ezt (3)-ba, (1) felhasználásával nyerjük, hogy a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\frac{B\left({10}^{22r}-1\right)}{77\cdot 33\left(10B-1\right)}-1}{23}\left[=11\left(23x+1\right)\right]}\end{array}$ (5) kifejezés egész szám. Megjegyezzük, hogy ${10}^{22r}-1$ mindig osztható 23-mal. Mivel ${\left({10}^{22}\right)}^r-1$ osztható ${10}^{22}-1$-gyel, elegendő az utóbbiról belátni, hogy osztható 23-mal. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle {10}^{22}={10}^2\cdot {10}^4\cdot {10}^{16}\mathrm{,}}\end{array}$ azért 23-mal osztva ${10}^2$ maradéka: 8, ${10}^4={\left({10}^2\right)}^2$ maradéka megegyezik $8^2=64$ maradékával, ami 18, ${10}^8={\left({10}^4\right)}^2$ maradéka megegyezik ${18}^2=324$ maradékával, ami 2, ${10}^{16}={\left({10}^8\right)}^2$ maradéka megegyezik $2^2$ maradékával, ami 4 és így ${10}^{22}$ maradéka megegyezik $8\cdot 18\cdot 4$ maradékával, ami pedig 1. Tehát ${10}^{22}$-t 23-mal osztva 1-et kapunk maradékul, így ${10}^{22}-1$ valóban osztható 23-mal.   Ebből következik, hogy az (5) kifejezés csak akkor lehet egész, ha $10B-1$ osztható 23-mal; különben ugyanis a számlálóbeli tört kifejezés osztható maradna 23-mal, a második viszont nem osztható vele, tehát (5) nem lehetne egész. Mármost a számjegyeket sorra véve $10B-1$ csak $B=7$ esetén osztható 23-mal. Ezt a gondolatmenetet végigjárva nincs szükség Pista ellesett adatára; ezt viszont gyakorlat-megoldóinktól nem kívánhattuk meg. Megjegyezzük végül, hogy meggondolásunk jóval rövidebb lett volna az ún. Fermat-tétel felhasználásával. 1Lásd a megoldást ezen számban, 214. o.