Cím:	Megjegyzések az 1583. feladat megoldásához
Szerző(k):	Tusnády Gábor
Füzet:	1968/november, 101 - 102. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1968/november: 1583. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megjegyzések az 1583. feladat${}^{*}$ megoldásához   Vizsgáljuk először feladatunk állítását abban a speciális esetben, amikor $y_i=z_i=u_i=0$ $(i=1$, $2$, $3$, $4$, $5$). Ekkor (3) a (2) összefüggés alapján a következő azonosságot jelenti: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(x_S-x_5\right)}^2=\frac{1}{4}\left[{\left(x_1-x_5\right)}^2+{\left(x_2-x_5\right)}^2+{\left(x_3-x_5\right)}^2+{\left(x_4-x_5\right)}^2\right]-}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{16}\left[{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(x_3-x_1\right)}^2+{\left(x_4-x_1\right)}^2+{\left(x_3-x_2\right)}^2+{\left(x_4-x_2\right)}^2+{\left(x_4-x_3\right)}^2\right]\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ amit az $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1+a_2+\text{...}+a_m=\sum _{i=1}^m{a}_i}\end{array}$ jelöléssel, és (2)-t figyelembe véve a következő alakban írhatunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{x}_i-x_5\right)}^2=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{\left(x_i-x_5\right)}^2-\frac{1}{16}\sum _{j=1}^3\sum _{i=j+1}^4{\left(x_i-x_j\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az összefüggés az alábbi $\left(3^{*}\right)$ összefüggés speciális esete $n=4$ mellett, ha $x_{n+1}$ helyett egyszerűen $x$-et írunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i-x\right)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-x\right)}^2-\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^n{\left(x_i-x_j\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ ($3^{*}$) Ezt az összefüggést fogjuk először bebizonyítani. A jobb oldal utolsó tagja a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{\left(x_i-x_j\right)}^2}\end{array}$ összeg fele, ezt figyelembe véve, és $2n^2$-tel szorozva a következő azonosságot kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2{\left[\sum _{i=1}^n\left(x_i-x\right)\right]}^2=2n\sum _{i=1}^n{\left(x_i-x\right)}^2-\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{\left(x_i-x_j\right)}^2}\end{array}$ és a $v_i=x_i-x$ jelölést bevezetve $\begin{array}{c}{\displaystyle 2{\left[\sum _{i=1}^n{v}_i\right]}^2=2n\sum _{i=1}^n{v}_i^2-\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{\left(v_i-v_j\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (${}^{*}$) A jobb oldalon $\begin{array}{c}{\displaystyle n\sum _{i=1}^n{v}_i^2=\sum _{j=1}^n\sum _{t=1}^n{v}_i^2\mathrm{,}}\end{array}$ így a jobb oldal átalakítható: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2n{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2-{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^n{\left(v_i-v_j\right)}^2=n{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2+{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2-{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^n{\left(v_i-v_j\right)}^2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =n{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2+{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^n\left[v_i^2-{\left(v_i-v_j\right)}^2\right]=n{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2+{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^n{v}_j\left(2v_i-v_j\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =n{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2+2{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^n{v}_i{v}_j-{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^n{v}_j^2=n{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2+2{\sum }_{j=1}^n{v}_j{\sum }_{i=1}^n{v}_i-n{\sum }_{j=1}^n{v}_j^2=2{\left({\sum }_{i=1}^n{v}_i\right)}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezzel azonosságunkat bebizonyítottuk. Figyeljük meg, hogy a $v_i\cdot v_j$ szorzásról csak a kommutativitást és a disztributivitást használtuk fel. Ha tehát $v_i$, $v_j$ szimbolikusan a $v_i=(v_{i1}$, $\text{...}$, $v_{ik}$), $v_j=(v_{j1}$, $\text{...}$, $v_{jk}$) szám-$k$-asokat jelöli, és ezek szorzatát a $\begin{array}{c}{\displaystyle v_i{v}_j=\sum _{\nu =1}^k{v}_{i_{\nu }}{v}_{j_{\nu }}}\end{array}$ összeggel definiáljuk, akkor ${(}^{*})$ ugyanígy bizonyítható, hiszen ez a szorzás nyilván kommutatív és disztributív. Továbbmenve, ha az $x_i=(x_{i1}$, $\text{...}$, $x_{ik})$, $x=(x_1$, $\text{...}$, $x_k)$ szám-$k$-asok $v_i$ különbségét a $v_{i_{\nu }}=x_{i_{\nu }}-x_{\nu }$ $(\nu =1$, $2$, $\text{...}$, $k)$ relációval definiáljuk, akkor ezen az úton $\left(3^{*}\right)$-ot is értelmezhetjük tetszőleges szám-$k$-asokra, és az így kapott összefüggés bizonyítása pontosan a fenti úton történik. ${}^{*}$Lásd ezen számban, 130. o.