Cím: Az 1967. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek
Füzet: 1967/szeptember, 1 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Művelődésügyi Minisztérium által a III. és IV. osztályos tanulók részére az összes tárgyak keretében tartott matematikai verseny I. fordulója február 9-én iskolánként, II. fordulója április 14-én megyénként, városonként folyt le, mindkétszer 5 órai munkaidővel. A II. fordulóra 322 tanuló kapott behívót, közülük 14 volt valamelyik matematika‐fizika-szakosított osztály tanulója és 38 valamelyik matematika-szakosított osztály tanulója. Ez évben először a szakosított tantervű matematikai osztályok részére külön versenyt írt ki a minisztérium; a szakosított tantervű matematika‐fizika osztályok tanulói viszont az általános tantervű osztályok versenyén vettek részt, de egy kijelölt feladat helyett egy külön feladatot kellett kidolgozniuk. A versenyek tételei a következők voltak.

 

I. forduló, általános tantervű osztályok részére

 
1. Az a, b, c valós számokra fennáll az
a2+b2+c2=ab+bc+ca
egyenlőség. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a=b=c.
 
2. Az ABCD egyenlő szárú trapézban AB∥CD, az átlók metszéspontja M, és AB>CD=AD. Tekintsük a CDM és CDA háromszög beírt körét. Bizonyítsuk be, hogy ennek a két körnek a középpontja egyenlő távolságra van a trapéz köré írható kör középpontjától. ‐ Fejezzük ki ezt a távolságot a körülírt kör sugarával és a BAD szöggel.
 
3. A PTS háromszög P-nél levő szöge 60∘. Fejezzük ki annak a körnek a sugarát PT-vel és PS-sel, amely a T pontban érinti a PT egyenest és átmegy az S ponton.
 
A szakosított tantervű matematika‐fizika osztályok versenyzőinek a 3. feladat helyett a következőt kellett kidolgozniuk:
 
4. Egy hegycsúcs magassága egy előtte elhaladó egyenes, vízszintes útszakasz három egymás után kijelölt pontjából rendre 19,5∘, 28,9∘, illetőleg 33,7∘ szög alatt látszik. A második pont 100 m-re, a harmadik 250 m-re van az elsőtől. Milyen magas a hegy (az út szintje fölött), s mekkora a talppontjának az úttól való távolsága?
 
I. forduló, a szakosított tantervű matematikai osztályok részére

 
1. Jelentsenek a, b, c komplex számokat. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben
a+b+c=ab+bc+ca,ésa2+b2+c2=a2b2+b2c2+c2a2,akkoran+bn+cn=anbn+bncn+cnan,
minden a 3-mal nem osztható n természetes szám esetében.
 
2. Az A és A' pontok a kör egy érintőjén az E érintési pontra tükrös helyzetűek. Az AE szakasz egy B pontjának az E-re vonatkozó tükörképét, B'-t egyetlen egyenes vonalzó felhasználásával a következő módon szerkesztettük meg. B-ből a körhöz egy tetszés szerinti szelőt húztunk, ez a kört a P és Q pontokban metszette (közülük P volt B-hez közelebb), az AP szelő pedig még egy R pontban metszette a kört. A Q-t A'-vel összekötő egyenesnek a körrel való második metszéspontja az R-től különböző S volt. Végül az RS egyenes metszette ki az érintőből a B' pontot. ‐ Igazoljuk a szerkesztés helyességét.
 
3. Adott két egymást metsző, egymással α szöget bezáró egyenes. Mi a mértani helye azon r sugarú gömbök középpontjainak, amelyek mindkét egyenest érintik?
 
II. forduló, általános tantervű osztályok részére

 
1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x+y=a,x5+y5=2a5.

 
2. Adott egy egyenes négy pontja a következő sorrendben: A, B, C, D. Az egyenes egy szabályos ötszög szelője, és az A pontban metszi az egyik oldal egyenesét, B-ben az előbbi oldallal párhuzamos átló egyenesét; C-ben és D-ben pedig az első oldallal nem szomszédos oldalak egyeneseit. Szerkesztendő a szabályos ötszög.
 
3. Egy vonal pontjainak derékszögű koordinátáit a következő kifejezések adják meg:
x=1-u2-v2(1-u)2+v2,y=2v(1-u)2+v2,
ahol u, v paraméterek, és v/u=m, 0-tól különböző állandó. Adjuk meg a vonal egyenletét x és y, valamint m közötti összefüggés alakjában.
 
A szakosított tantervű matematika‐fizika osztályok versenyzőinek a 3. feladat helyett a következőt kellett kidolgozniuk:
 
4. Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder lapjai egybevágók, akkor súlypontja és a köréje írt gömb középpontja egybeesik.
 
II. forduló, a szakosított tantervű matematikai osztályok részére

 
1. Bizonyítandó, hogy ha a és b természetes számok, akkor
(a+1b+1)b+1≥(ab)b.

 
2. Az MAB egyenlő szárú háromszög M csúcsán két egyenes megy át, u és v. Az A pontból u-ra, B-ből v-re bocsátott merőlegesek metszéspontja legyen W. Az A-ból MA-ra állított merőleges messe u-t U-ban, a B-ből MB-re állított merőleges messe v-t V-ben. Bizonyítandó, hogy UV merőleges MW-re.
 
3. Az S síkban levő AB és BC egyenlő szakaszok B-ben csuklósan csatlakoznak. Az A pont rögzített, a C pont egy A-ból kiinduló félegyenesen mozog. Milyen idomot súrol a BC szakasz?
 
A versenyek eredménye

 
A Művelődésügyi Minisztérium a versenybizottság javaslatára a következő döntést hozta:
 
A) Az általános tantervű osztályok versenye

 
I. díjat nyert (2000 Ft): Hunyadvári László (Budapest, Könyves Kálmán Gimnázium, IV. o. t.).
II. díjat nyert (1000 Ft): Külvári István (Budapest, Széchenyi I. Gimnázium, IV. o. t.).
III. díjat nyert (500 Ft): Szeredi Péter (Budapest, II. Rákóczi Ferenc Gimnázium, IV. o. t.).
További helyezettek, helyezési számuk feltüntetésével (dicséretben és könyv jutalomban részesültek): 4. Geier János (Székesfehérvár, Ságvári E. Gépip. T., III. o.), 5. Szalay Sándor (Debrecen, KLTE. Gyak. G., IV. o.), 6. Laborczi Zoltán (Győr, Révai M. G., IV. o.), 7. Varsányi Anikó (Bp., Ságvári E. Gyak. G., IV. o.), 8. Bodnár Károly (Ózd, József A. G., IV. o.), 9. Balogh  József (Hatvan, Bajza J. G., IV. o.), 10. Eff Lajos (Bp., Fazekas M. Gyak. G., IV. o.); 11. Dósa Tibor (Bp., Petrik L. Vegyip. T., IV. o.), 12. Koltay László (Miskolc, Zalka M. Gépip. T.), 13. Hegedűs András (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. G., III. o.), 14. Szabó Klára (Esztergom, Dobó K. G., IV. o.).
 
Dicséretben részesült a következő 37 versenyző (betűrendben felsorolva): Antos Péter (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. G., IV. o.), Baricz Miklós (Komló, Kun B. G., IV. o.), Bernát Éva (Bp., Zrínyi I. G., IV. o.), Bod Judit (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. G., IV. o.), Bottyán István (Hatvan, Bajza J. G., IV. o.), Csernai László (Bp., Könyves Kálmán G., III. o.), Dombi László (Szeged, Ságvári E. Gyak. G., III. o.), Galambos Tamás (Pécs, Zipernovszky K. Gépip. T., IV. o.), Gerhardt Géza (Bp., Kaffka M. G., IV. o.), Göntér László (Tatabánya, Péch A. Bányaip. T., IV. o.), Jánosi János (Székesfehérvár, Ságvári E. Gépip. T., IV. o.), Járai Antal (Debrecen, Vegyip. T., III. o.), Kádas Sándor (Bp., József A. G., IV. o.), Kazi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. G., IV. o.), Kele András (Nagykanizsa, Landler J. G., III. o.), Kolozsvári Sándor (Komló, Kun B. G., IV. o.), Körmendi Sándor (Szombathely, Latinka S. Gépip. T., IV. o.), Kun Mária (Tiszaföldvár, Hajnóczy J. G., IV. o.), Langer Tamás (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. G., IV. o.), Márkus András (Sopron, Széchenyi I. G., IV. o.), Munk Sándor (Bp., II. Rákóczi F. G., III. o.), Nagy Mária (Várpalota, Thuri Gy. G., III. o.), Nagy Zsigmond (Bp., Kaffka M. G., III. o.), Papp Zoltán (Debrecen, Zenei G., IV. o.), Pásztor György (Szeged, Déri M. Gépip. T., IV. o.), Pintér Miklós (Várpalota, Thuri Gy. G., III. o.), Rajczy Péter (Bp., Eötvös J. G., III. o.), Rozsnyai Gábor (Bp., II. Rákóczi F. G., IV. o.), Sásdy Béla (Szentendre, Ferences G., IV. o.), Semsey András (Bp., Radnóti M. Gyak. G., III. o.), Siklóssy Péter (Szentendre, Móricz Zs. G., III. o.), Stiegrád Gábor (Pécs, Nagy Lajos G., IV. o.), Szentgáli Ádám (Bp., Ady E. G., IV. o.), Takács László (Sopron, Széchenyi I. G., III. o.), Tóth Tibor (Szolnok, Verseghy F. G., III. o.), Varga Gabriella (Szombathely, Savaria G., IV. o.), Vértes János (Bp., Sallai I. G., IV. o.).
 
B) A szakosított tantervű matematikai osztályok versenye

(mindegyik osztály Budapesten működik):
 
I. díjat nyert (2000 Ft): Babai László (Fazekas M. Gyakorló Gimnázium, III. o. t.).
II. díjat nyert (1000 Ft): Surányi László (Fazekas M. Gyakorló Gimnázium IV. o. t.).
III. díjat nyertek egyenlő helyezéssel (500‐500 Ft): Elekes György (Fazekas M. Gyakorló Gimnázium, IV. o. t.) és Hoffmann György (Fazekas M. Gyakorló Gimnázium, IV. o. t.).
További helyezettek: 5. Moson Péter (Fazekas, III. o.), 6. Szűcs András (Fazekas, III. o.), 7. Gács Pál (I. István Gimnázium, IV. o.), 8. Havas János (Berzsenyi D. Gimnázium, IV. o.), 9. Bernus Péter (Fazekas, III. o.), 10. Mérő László (Berzsenyi, III. o.); 11. Egri Róbert (Fazekas, III. o.), 12. Balogh Kálmán (Fazekas, IV. o.), 13. Bennó Pál (Fazekas, III. o.), 14. Halász Ferenc (Berzsenyi, IV. o.), 15. Csörgei József (Fazekas, III. o.), 16. Fencsik Gábor (Berzsenyi, IV. o.), 17. Somos Endre (Berzsenyi, III. o.).
Kimutatás a II. fordulóba bejutottak számáról megyék, városok szerint: Bács-Kiskun 1, Baranya, Pécs 17, Békés 6, Borsod-Abaúj-Zemplén; Miskolc 11, Csongrád, Szeged 15, Fejér 13, Győr-Sopron 17, Hajdu, Debrecen 15, Heves 9, Komárom 14, Nógrád 0, Pest 9, Somogy 3, Szabolcs-Szatmár 3, Szolnok 17, Tolna 6, Vas 8, Veszprém 14, Zala 3, Budapest 141.