Kezdőlap


Cím:	A Poison-féle számról
Szerző(k):	Dózsa Márton
Füzet:	1966/május, 225 - 226. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha vastagabb gumicsövet megnyújtunk, szemmel látható a nyújtásnál mindig fellépő harántösszehúzódás, vagyis a keresztmetszet csökkenése.
S. D. Poisson (1781‐1840) francia fizikus vette észre, hogy az átmérő (illetve sokszög alakú keresztmetszeteknél az oldalak) relatív megrövidülésének és a hossz relatív megnövekedésének viszonya az illető anyagra jellemző szám. Ezt nevezzük felfedezőjéről Poisson-féle számnak vagy állandónak. Szokták még harántszámnak is mondani.

Legyen

d

a megnyújtott próbatest átmérője a nyújtás előtt és

d'

utána, akkor

d' - d = Δ d

jelöléssel a relatív keresztirányú méretváltozás

\begin{matrix} ε_{d} = - \frac{Δ d}{d} = \frac{d - d'}{d} . \end{matrix}

Nyújtás esetén ez természetesen pozitív.
A relatív hosszirányú méretváltozás:

\begin{matrix} ε_{l} = \frac{l' - l}{l} = \frac{Δ l}{l}, \end{matrix}

ami nyújtásnál szintén pozitív.
A mérések szerint

\begin{matrix} \frac{ε_{d}}{ε_{l}} = μ, ahol \end{matrix}

μ

arányossági tényező, mely az anyagra jellemző állandó, az említett Poisson-féle szám. Értéke a mérések tanúsága szerint a legfontosabb fémeknél

0, 3

és

0, 4

közé esik, s semmilyen anyagnál sem lehet nagyobb

0, 5

-nél.
Természetesen

ε_{l}

kapcsolatban áll a használatos rugalmassági modulusszal

(E)

, hiszen

\frac{Δ l}{l} = \frac{P}{E q} = ε σ

, ahol

ε

a nyújtási rugalmassági együttható és

σ

a rugalmas feszültség. Így

\begin{matrix} ε_{d} = μ ε σ . \end{matrix}

Az előbbi meggondolás akkor is érvényes, ha nyújtó erő helyett egyoldalú összenyomó erő hat. Ekkor a test hosszirányban megrövidül

(Δ l < 0)

, kereszt-irányban kiterjed

(Δ d > 0)

. Az

ε_{d} / ε_{l} = μ

kapcsolat tehát változatlanul érvényes összenyomás esetén is.
A

μ

számszerű értékének ismeretében kiszámíthatjuk egy test térfogatváltozását. Vegyünk egy

l

élhosszúságú kockát, alkalmazva rá az előbb talált összefüggéseket, megállapíthatjuk a relatív térfogatváltozást.

\begin{matrix} V' = V + Δ V = l' {d'}^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} l' = l (1 + ε_{l}) és d' = l (1 - ε_{d}), \end{matrix}

s így

\begin{matrix} Δ V = l (1 + ε_{l}) {[l (1 - ε_{d})]}^{2} - l^{3} . \end{matrix}

Ebből, mivel

\begin{matrix} ε_{d} ≪ 1 \\ \frac{Δ V}{V} = (1 - 2 μ) ε_{l}, \end{matrix}

vagy másként

\begin{matrix} \frac{Δ V}{V} = \frac{1 - 2 μ}{E} \frac{P}{q} = \frac{1 - 2 μ}{E} p . \end{matrix}

Mivel a tapasztalat szerint

μ

értéke mindig kisebb

0,5

-nél, azért a relatív térfogatváltozás mindig pozitív, vagyis nyújtáskor a térfogat megnő, összenyomáskor pedig kisebb lesz.
A relatív térfogatváltozás előbbi összefüggése kapcsolatba hozható az anyagok ún. összenyomhatósági vagy kompresszibilitási együtthatójával, mely szintén megmérhető. Rugalmas testek ugyanis minden oldalú egyenletes nyomásnál a nyomással arányosan változtatják térfogatukat a

\begin{matrix} - \frac{Δ V}{V} = ϰ p \end{matrix}

összefüggés szerint.

ϰ

az anyagi minőségre jellemző állandó, az összenyomhatósági együttható (pl. vasnál

ϰ = 0, 6 \cdot 10^{- 6} {cm}^{3} / kp

p

a nyomás, amelyet most befelé hatva vettünk pozitívnak.

ϰ

kapcsolatba hozható

μ

-vel és

E

-vel.
Ha egy kocka két szemközti lapjára

p

nyomás hat, akkor, mint láttuk

\begin{matrix} \frac{Δ V}{V} = - \frac{1 - 2 μ}{E} p . \end{matrix}

Ha a másik két lappárra is hat a nyomás, akkor

\begin{matrix} \frac{Δ V}{V} = - 3 (1 - 2 μ) \frac{p}{E}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} ϰ = 3 \frac{1 - 2 μ}{E} . \end{matrix}

Ez az összefüggés közvetlenül mutatja, hogy a

μ = 0, 5

esetben egyenletes, minden oldalú nyomás esetén sem jöhet létre térfogatváltozás. Ez a határeset közelítőleg a folyadékoknál valósul meg, amikor inkompresszibilis folyadékokról beszélünk.

Dózsa Márton