A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kezdők versenye (az általános verseny és a speciális matematikai osztályok versenye)
Az általános és a matematikai osztályok első feladata csak az egyenletrendszer állandóiban különbözött, ezért együtt fogjuk ezeket tárgyalni.
1. feladat. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
ahol (általános verseny), ill. (matematikai osztályok versenye).
Megoldás. Az utolsó egyenletnek csak olyan megoldása lehet, amelyikben egyik ismeretlen sem , így létezik a reciprokuk. A harmadik egyenletben az állandót a jobb oldalra víve, majd az első három egyenlet reciprokát véve, elsőfokú egyenletrendszert kapunk az ismeretlenek reciprokaira: Innen bármely három ismeretlen kifejezhető a negyedikkel és a negyedik egyenletbe helyettesítve egyismeretlenes egyenletet kapunk. Célszerű lesz azonban először annak is a reciprokát venni és -et és -t, valamint -t és -t együtt tartva az első és a harmadik egyenlet felhasználásával átalakítani az egyenletet: | | Most kifejezzük -nal a többi ismeretlen reciprokát és az utolsó egyenletbe helyettesítjük:
Ebből rendezéssel a következő egyenletet kapjuk -ra: | | (1) |
Az első konstans értékek mellett elsőfokú egyenletet kapunk:
és az egyenletrendszer megoldása Ez valóban megoldás, mert , , és egyike sem , és így minden végzett átalakítás megfordítható. A matematikai osztályok feladata esetében (1) így alakul: Mindkét oldalhoz 25-öt adva amiből a következő két lehetőség adódik: , és . Ennek megfelelően a többi ismeretlen reciprokára is két értéket kapunk:
Innen a következő két gyökrendszer adódik:
Ismét mindkét számnégyes megoldása az egyenletrendszernek. A két versenyág 2. feladata közös volt.
2. feladat. Adott egy paralelogramma két szomszédos csúcsa és egy szöge, továbbá adott a síknak egy olyan pontja, amelyből az adott csúcsok közti oldal és a vele szemben levő oldal egyenlő szögek alatt látszik. Szerkesszük meg a paralelogrammát.
I. megoldás. Legyenek a keresett paralelogramma adott csúcsai és . Mivel a paralelogramma egy szöge a többit meghatározza, ezért feltehetjük, hogy az adott szög a . Végül jelöljük a sík adott pontját ‐ amelyből az és szakasz egyenlő szög alatt látszik ‐ -vel.
1. ábra Ha meg tudjuk szerkeszteni a paralelogramma átlóinak metszéspontját, ezzel a feladatot megoldottuk, mert az -nak és a -nek -re vonatkozó tükörképe (1. ábra). Mivel a paralelogramma -re szimmetrikus, azért -nek -re vonatkozó tükörképéből is ugyanakkora szög alatt látszik mind az , mind a szakasz, mint -ből. A tükrözésből következik, hogy a szakasz felezőpontja, ezért elegendő a pont megszerkesztése. rajta van az szakasz fölé rajzolt azon két látókörív valamelyikén, amelyek pontjaiból az szakasz ugyanakkora szög alatt látszik, mint -ből, hiszen -ból és -ből az szakasz egyenlő szögben látszik. Másrészt -en átmennek a paralelogramma középvonalai. Az oldallal párhuzamos középvonalát azonnal meghúzhatjuk, ez átmegy az szakasz felezőpontján és szöget zár be az egyenessel. Mivel a szakasz felezőpontja rajta van -en, azért -nak rajta kell lennie azon az -fel párhuzamos egyenesen, amely a -nek az pontjaira vonatkozó tükörképeiből áll. Így , mint a fenti két látókörív és az egyenes közös pontja, megszerkeszthető. A szerkesztés a következő: vesszük az háromszög körülírt körének -t tartalmazó ívét; ez nyilvánvalóan a szóban forgó látókörívek egyike, a másika pedig ennek tükörképe -re. Kimetsszük -n -nek -re vonatkozó tükörképét. -n és -en át megszerkesztjük az -vel szöget bezáró , illetőleg egyenest. Az és az , pár valamelyik (de -től különböző) közös pontját -vel összekötő egyenes -ből kimetszi -et, végül és tükörképe -re , ill. . Az négyszög megfelel a követelményeknek, mert az utolsó két tükrözés miatt paralelogramma, oldalai párhuzamosak -mel, tehát , végül , mert a tükörképe -re. A feladat diszkusszióját a III. megoldás után tárgyaljuk.
Megjegyzés. és megszerkesztése el is maradhat. paralelogrammává egészíti ki a háromszöget, pedig a háromszöget. ‐ Így természetesen a bizonyítás is módosul: szerkesztése szerint paralelogramma, (új) szerkesztése szerint szintén, így az és háromszögben az és , továbbá és oldalak egy irányban párhuzamosak és egyenlők, tehát az és oldalak is, vagyis , .
2. ábra II. megoldás. Toljuk el a háromszöget úgy, hogy csúcsa -ba kerüljön (2. ábra). Ezáltal a -be kerül, pedig egy olyan pontba, melyből az szakasz ugyanakkora szögben látszik, mint -ből , vagyis mint -ből . tehát rajta van az előbbi két látókörív valamelyikén. Másrészt az eltolás közben az -vel párhuzamosan mozgott, így rajta van a -n átmenő és az egyenessel szöget bezáró egyenesen. Ezek alapján , mint és a két látókörív közös pontja, megszerkeszthető, pedig paralelogrammává egészíti ki az háromszöget.
III. megoldás. Mindkét fenti megoldásban első lépésként két körív és egy egyenes metszéspontját kerestük meg, ebből kaptuk meg a paralelogramma csúcsait. Az I. megoldásban a metszéspontból előbb a paralelogramma középpontját határoztuk meg, a II. megoldásban a metszéspontból már közvetlenül kaptuk az egyik csúcsot. Most olyan megoldást adunk, melyben a körívek és egy egyenes metszéspontja mindjárt maga az egyik csúcs. Egészítsük ki a háromszöget a ponttal a paralelogrammává (3. ábra). Ekkor a négyszög is paralelogramma, és , valamint és is párhuzamosak, ezért és a feltevés miatt vagyis -ből a szakasz ugyanakkora szögben látszik, mint -ből. tehát rajta van azon két , látókörív valamelyikén, melyeknek pontjaiból a szakasz ugyanakkora szögben látszik, mint -ből. Másrészt rajta van a -n átmenő, -vel szöget bezáró egyenesen is , tehát e két mértani hely közös pontja. Kimutatjuk, hogy e közös pontok bármelyike megfelel -ként ‐ kivéve természetesen -t. Mivel rajta van -n, azért a paralelogramma szögei megfelelők, továbbá . Másrészt rajta van és valamelyikén, ezért , mint állítottuk.
3. ábra Ezek alapján a szerkesztés a következő: párhuzamost húzunk -n át -vel és -n át -vel, e két egyenes metszéspontja . Megrajzoljuk a háromszög köré írt kör -t tartalmazó ívét és ennek -re, való tükörképét. Ezután -n át meghúzzuk azt a egyenest, amely -vel szöget zár be. Ekkor -nak -vel, -vel való, -től különböző közös pontja (e közös pontok bármelyike) adja a paralelogramma csúcsát. -nak mindkét ívvel legfeljebb két közös pontja van, és -vel mindenesetre közös pontja , azért a megoldások száma legfeljebb 3. Csak abban az esetben nem kapunk megoldást, ha a -nak -vel egyetlen közös pontja, és itt érintkeznek, -vel pedig nincs közös pontja. (*Ha ugyanis a -t -ben metszi, akkor van pontja a , ívekkel határolt idom belsejében, így a kilépési pont megfelel -ként.) Ha elejtjük azt az előírást, hogy az adott szög a paralelogramma -nál levő szöge legyen, akkor -nak az egyenesre való tükörképe is tekintetbe veendő. Ekkor a megoldások száma , , , , vagy (a 4‐6. ábrákon példákat látunk ilyen helyzetekre, 1 megoldás van az 1‐3. ábrák helyzeteiben is). Kimutatjuk ugyanis, hogy így minden esetben létezik legalább 1 megoldás. (A 4‐6. ábrák 2‐2 felén csak és közös. )
Elég az olyan helyzeteivel foglalkoznunk -nak, amelyekben fentebb nem adott megoldást. Ekkor ‐ amennyiben különböző a -tól ‐ nem érinti, hanem metszi -t -ben és a fenti (*) megjegyzés szerint megoldást szolgáltat.
Ha pedig egybeesik -val, akkor (mert nyilvánvalóan nem jön szóba), így merőleges -re, és mivel -ben érinti -t, azért a szimmetria miatt -nek -re való tükörképében érinti -t, ez a közös pont megoldást ad. Könnyű belátni, hogy , az I. és II. megoldásban szerepelt , körívpárból irányú és nagyságú eltolással áll elő, hogy ugyanez áll fenn és az I. megoldásbeli egyenes között, végül hogy a II. megoldásbeli egyenes az tükörképe -re. Ezért a III. megoldásra adott diszkusszió a megfelelő változtatásokkal az I. és II. megoldásra is érvényes.
*
Az általános verseny 3. feladata: Határozzuk meg a (tízes alapú számrendszerben felírt) számot, ha ahol , , , és különböző számjegyek.
Megoldás. A szereplő többjegyű számokat a következőképpen alakítjuk át: | | Ezeket behelyettesítve rendezzünk úgy, hogy a bal oldalra kerüljenek azok a tagok, amelyekben az egyik tényező 100, a többiek a jobb oldalra: | | (2) | így a jobb oldalnak is oszthatónak kell lennie -zal. Ez csak úgy lehetséges, ha osztható -zal. Mivel , és mindegyike és közé esik, és különbözők, azért legfeljebb , és legalább . Márpedig és között csak egyetlen -zal osztható szám van, mégpedig , így , továbbá (2) bal oldalán is -nak kell állnia, ezért a zárójelen belüli kifejezés . Írjunk ebben helyett -t, és rendezzük át az egyenletet: Mivel és különbözőek, ezért a jobb oldal, s így a bal oldal is -tól különböző szám. Továbbá a jobb oldal osztható -gyel, tehát a bal oldal is. Ezek szerint -gyel osztható és -tól különböző (egész) szám. Másrészt, mivel , és ugyancsak és közé esnek és , ezért legfeljebb , és legalább . Mármost és között -tól különböző és -gyel osztható szám csak egy van, a . Ezért , amiből adódik. Eddig tehát a következőket állapítottuk meg: A harmadik egyenlőségből -t kifejezve és a másodikba behelyettesítve: amit átrendezve: Mivel legfeljebb , ezért legalább , és így legalább , más szóval nagyobb -nél. Ennek alapján kisebb, mint , vagyis , ami legfeljebb ; azaz kisebb -nél, kisebb -nál. Másrészt , így , amiből , továbbá miatt . Másrészt , különben kétjegyű szám lenne. Az esetben adódik, ami ismét nem felel meg a számjegyek különbözőségének. Az egyetlen maradó lehetőség , amiből , és . A jegyek adódott értékei valóban kielégítik a feltételeket:
A matematikai osztályok versenyének 3. feladata: Keressük meg az olyan hatjegyű négyzetszámokat, amelyeknek első három jegyét letörölve a szám négyzetgyökét kapjuk.
Megoldás. Jelöljük a szám négyzetgyökét -szel. hatjegyű szám, ezért háromjegyű és első három jegyét letörölve keletkezik, vagyis az utolsó három jegyéből álló szám. Így tehát utolsó három jegye , osztható -rel. Feladatunk tehát olyan háromjegyű számok keresése, melyekre osztható -cal. Vizsgáljuk a -tel való oszthatóságot. Mivel osztható -tel, ezért osztható -tel is. -nek és -nek legnagyobb közös osztója , ezért és közül csak egyik lehet -tel osztható. Ekkor viszont az -tel osztható tényező osztható -tel is, így azt kaptuk, hogy és egyike osztható -tel. Hasonló okoskodással belátható, hogy a két tényező valamelyike osztható -cal. Az azonban nem lehet, hogy ugyanaz a tényező osztható -tel és -cal, ekkor ugyanis ez a tényező osztható lenne -rel is, tehát legalább négyjegyű szám lenne. Így és egyike -tel és a másik -cal osztható. Olyan többszörösét kell keresnünk a -nek, amelyiknek valamelyik szomszédja, vagyis az -gyel kisebb vagy -gyel nagyobb szám osztható -cal. Ez a szomszéd páros is és -gyel is osztható, ezért elég páratlan többszöröseivel próbálkozni, ezek: , , és . Szomszédaik közül a -ra és -re végződők még -gyel sem oszthatók, és sem osztható -cal, így csak két számpár marad: és , valamint és . Valóban: és .
Fried Ervin |