Cím: Megjegyzés az 1432. feladathoz. Forgatások összetétele tükrözésekre bontással
Szerző(k):  Vigassy Lajos 
Füzet: 1966/november, 103 - 105. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/december: 1432. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Forgatások összetétele tükrözésekre bontással

 

Az 1432. feladat1 III. részében láttuk, hogy a tetraéder a φ1, φ2, φ1, φ2, φ1, φ2 forgatások végrehajtásával visszajut eredeti helyzetébe. Jól megnézve a közben elfoglalt helyzetek sorozatát, azt látjuk, hogy az S csúcs váltakozva csak két helyzetet foglal el, a H1, H5, H9 helyzetekben középen, H2-ben, H6-ban és H7-ben pedig jobbról áll. Ez azt jelenti, hogy egy φ1 és egy rá következő φ2 forgatás eredője a középső csúcsot a helyén hagyja, tehát helyettesíthető egyetlen forgatással, melynek tengelye a tetraédernek az elöl középen levő csúcsból kiinduló magasság-egyenese. Ha pedig e két forgatás sorrendje φ2, φ1, akkor az eredőt helyettesítő egyetlen forgatás tengelye a jobbról álló csúcsból kiinduló magasság egyenese. A forgatás szöge mindkét helyzet-hármas bármelyik két egymás utáni helyzete között 240∘, a csúcstól a lap felé tekintve pozitív forgási irányban. Így már H1, H2, H5 és H6 elemzéséből is kiadódott volna, hogy bármelyik forgás-pár 3-szori alkalmazásával a tetraéder ugyanazon tengely körül 3⋅240∘-kal, azaz 2⋅360∘-kal fordul el, vagyis visszajut kiindulási helyzetébe.
Alább más úton mutatom meg, hogy egy φ1, φ2 forgás-pár helyettesíthető a mondott forgással. Ismeretes a síkmértanból, hogy két metsző egyenesen való egymás utáni tükrözés helyettesíthető olyan forgatással, melynek középpontja a két tükrözés tengelyének metszéspontja, a forgatás szöge pedig kétszer akkora, mint az első tengelyt a másodikba átvivő forgatás szöge (a második tükörkép, valamint a tengely elfordulását ugyanabban az irányban értve). Ebből következik, hogy ha a két tükröző egyenest metszéspontjuk körül úgy forgatjuk, hogy hajlásszögük nem változik, akkor a két tükrözés eredője sem változik.
 
 
1. ábra
 

Fordítva, egy forgatás helyettesíthető két olyan egymás utáni tükrözéssel, amelyek tengelyei átmennek a forgás középpontján és az első tükrözés tengelyét a másodikéba fele akkora szögű (ugyanolyan irányú) forgatás viszi át. Ha tehát adott egy forgatás középpontja, szöge és iránya, és megválasztottuk a forgatást helyettesítő tükrözés-pár egyikének tengelyét (a középponton át, és azt is kimondva, hogy ez az első vagy a második tükrözésnek legyen a tengelye), ezzel egyértelműen meghatároztuk a másik tükrözés tengelyének helyzetét.
Mindez a térben is érvényes, ha egyeneseken való tükrözések helyett két egymást metsző síkon tükrözünk egy alakzatot egymás után, a síkok sorrendjét is megadva, és ha a forgatás tengelyének a két sík metszésvonalát vesszük. Ha ugyanis az alakzat egy tetszés szerinti P pontjának tükörképe egy S1 síkra P1, ennek képe egy az S1-et m-ben metsző S2 síkra P12, akkor PP1⊥S1, P1P12⊥S2, így a PP1P12=S3 sík merőleges S1-re, S2-re és m-re. Ezért P-nek m körüli forgatása S3-ban folyik le m és S3 metszéspontja körül, az S1-et S2-be átvivő forgás szögét ugyancsak S3-ban mérhetjük meg, ennek S1-gyel alkotott t1 és S2-vel alkotott t2 metszésvonalai között, ennélfogva P1-et, P12-t megadja a t1-re, majd a t2-re való tükrözés is.
 
 
2. ábra
 

Az előbbiek szerint a φ1 forgatás helyettesíthető két olyan S11 és S12 síkra, való egymás utáni tükrözéssel, melyeknek metszésvonala a tetraéder F-ből kiinduló magasságának egyenese, hajlásszögük 60∘, és az S11-et S12-be átvivő forgás F-ből a BKJ lap felé nézve pozitív irányú. Ugyanígy φ2 helyettesíthető két olyan a B-ből induló magasságegyenesen átmenő S21 és S22 síkra való egymás utáni tükrözéssel, ahol az S21-et S22-be átvivő 60∘-os forgás B-ből az FJK lap felé nézve pozitív irányú. Jelentős egyszerűsödést érünk el mármost annak felhasználásával, hogy a két síkpár metszésvonalai a tetraéder O középpontjában metszik egymást, ha S12-ként is, S21-ként is az FOB síkot választjuk. Ekkor a harmadik tükrözés lerontja a második tükrözés hatását (az S21-en való tükrözés visszaállítja az S12-n való tükrözés előtti helyzetet), csak az S11-en való tükrözéssel előállított képet kell tükröznünk S22-re; e két tükrözés egymásutánja pedig helyettesíthető lesz egyetlen forgatással a metszésvonaluk körül.
Mármost a közös FOB síkhoz mint S12-höz S11-ként az FOK sík tartozik hozzá, mint S21-höz S22-ként a BOK sík (a 2. ábra α és β részén a nézőhöz legközelebbi csúcs F, illetőleg B). E két sík metszésvonala KO, és az S11-et S22-be +120∘-os forgás viszi át (γ rész), tehát φ1φ2 eredője a KO tengely körüli +240∘-os forgatás. (Természetesen ha negatív forgási irányt kívánunk, a két sík forgási szöge -60∘, és az eredő forgás -120∘-os.)
A bemutatott meggondolás más esetekben is alkalmas forgások, tükrözések eredőjének meghatározására.
 
 Vigassy Lajos
1Lásd K. M. L. 33 (1966) 124. o.