Kezdőlap


Cím:	Megjegyzés egy versenyfeladathoz
Szerző(k):	Scharnitzky Viktor
Füzet:	1966/május, 200. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy versenyfeladat a következő volt: ,,Legyen az $A B C$ háromszög $A$ csúcsából húzott magasság $A_{1}$ talppontja a $B C$ szakasz belső pontja. Mindig kisebb-e az $A B$ és $A C$ oldalak különbsége, mint az $A_{1} B$ és $A_{1} C$ szakaszok különbsége ? (Indokolás.)''

Láttuk,^{$^{*}$} hogy a válasz tagadó, ugyanis az egyenlő szárú háromszögekben mind a két különbség nulla.

Az alábbiakban néhány ezzel kapcsolatban felmerülő további kérdést vizsgálunk meg. Megmutatjuk először is, hogy más ellenpélda nincs is: ha

A_{1}

belső pont és az

A

-ból kiinduló oldalakra

A B > A C

, akkor

A B - A C < A_{1} B - A_{1} C

. Messe az

A

körül

A C

sugárral írt kör

B C

-t még a

C'

pontban,

A B

-t a

C''

pontban.

B C

-nek

A

-hoz legközelebbi pontja

A_{1}

, és

C

ettől különböző pont, tehát

C'

is különbözik

C

-től, annak az

A A_{1}

tengelyre vett tükörképe.

C''

A B

szakasz belső pontja, vagyis

B

kívül van a körön, s így

C'

B A_{1}

szakaszon van, tehát

A_{1} B - A_{1} C = A_{1} B - A_{1} C' = B C'

. Így a

B C'' < B C'

egyenlőtlenséget kell belátnunk. Ez következik abból, hogy a

B C' C'' ▵

C''

-nél levő szöge tompaszög, hiszen a

C''

-nél levő külső szöge az

A C' C''

egyenlő szárú háromszögnek az alapján levő szöge, tehát hegyesszög.
Nézzük még meg, mi a helyzet, ha

A_{1}

pl. a

B C

szakasz

C

-n túli meghosszabbítására vagy

C

-be esik. Ekkor nyilvánvaló, hogy

A B > A C

; az

A_{1} B

és

A_{1} C

szakaszok különbsége

B C

, és ez megint kisebb, mint

A B - A C

, a háromszög-egyenlőtlenség szerint.
Ennek az esetnek a kizárása tehát nem volt lényeges, viszont azt célozta, hogy érdektelen esetek taglalása ne vonja el a figyelmet a lényegről: ellenpélda kereséséről.

Scharnitzky Viktor

^{$^{*}$}Lásd Scharnitzky Viktor: Az 1965. évi Arany Dániel tanulóversenyek I. fordulóján kitűzött feladatok megoldása (kezdők versenye), K.M.L. 31 (1965) 193‐196. o.