Cím:	A Brown-mozgás
Szerző(k):	Vesztergombi György
Füzet:	1965/november, 161 - 167. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Bevezetés   Képzeljük magunkat az angol botanikus, Robert Brown (1827) helyébe, aki mikroszkópjába tekintve állítólag először figyelt fel az oldatban lebegő apró festékszemcsék ide-oda cikázó mozgására. Mint az élővilágot tanulmányozó tudóstól nem állhatott tőle távol az a gondolat, hogy valami kis mikroszkopikus élőlényektől származik ez az örökös mozgás, aminek persze rögtön ellentmondott a részecskék minden életmegnyilvánulást nélkülöző anyagból való eredete. Ma már az ilyen és ehhez hasonló elképzeléseken csak nevetünk, de azért most is felmerülhet a kétely: hogyan lehet az, hogy ezek a részecskék a tapasztalat szerint mindig fellépő súrlódás ellenére örökös mozgásban vannak. Honnan veszik ehhez az energiát? Talán valami belső energiaforrás pótolja a veszteségeket? Ez a feltevés még az előzőnél is rosszabb, mert ezzel az energiamegmaradással kerülnénk szembe, ugyanis minden Brown-részecskét az örökmozgó egy-egy mintapéldányának tekinthetnénk. Az ellentmondás eltűnik, ha elfogadjuk az anyag molekulár-kinetikus elméletét. Eszerint minden anyag igen apró, kb. ${10}^{-8}$ cm átmérőjű, mikroszkópon nem látható, állandóan rendszertelen mozgásban levő molekulákból áll. Ezek között per definitionem nem lép fel súrlódás, hisz a makroszkópikus testek súrlódásakor hő formájában elvont energia éppen ezen molekulák kinetikus energiájának növelésére fordítódik. Nézzük meg, hogyan magyarázható a molekulár-kinetikus elmélet alapján a Brown-részecskék mozgása. Ha folyadékba vagy gázba makroszkopikus test merül, a rendszertelen mozgásban levő molekulák ütköznek a test felületén és eközben erőt fejtenek ki a szilárd testre. A molekulák ütközése a test felületén minden oldalról teljesen rendszertelenül történik. Ha a test lineáris méretei elég nagyok, úgyhogy már rövid idő alatt is sok molekula ütközik a test felületén, akkor a molekulák ütközése folytán a különböző irányokból nyert lökések kompenzálják egymást, vagyis a test nyugalomban marad. Ha ellenben a közegben elég kis méretű részecskék lebegnek (maximális lineáris méret kb. ${10}^{-4}$ cm), pl. tust cseppentünk a vízbe, akkor a különböző irányú lökések már nem fognak közepelődni, a részecske rendkívül szaporán fogja sebességének irányát és abszolút értékét változtatni (másodpercenként kb. ${10}^{12}$-szer): Emiatt a részecske tényleges mozgását nyomon követni; és a mozgás irányváltozásainak helyét rögzíteni lehetetlen. Szemünkkel csak a pálya kivonatát tudjuk megfigyelni, és ami így látszólag egyenes szakasz, a valóságban szubmikroszkópikus cikcakkok milliárdjaiból tevődik össze. Ez azonban, mint azt később látni fogjuk, nem változtat a jelenség lényegén. Ezek alapján a Brown-mozgás roppant meggyőző érvet szolgáltat az atomelmélet mellett, de bizonyító erejűvé akkor válik, ha a kvalitatív meggondolások mellett kvantitatív összefüggésekre is vezet. Az ezzel kapcsolatos számításokat elősször Einsteinnek és Smoluchowskinak sikerült 1906-ban elvégeznie. A következőkben lényegében az ő gondolatmenetüket követve megmutatjuk, hogy a Brown-mozgás alapján meghatározható az Avogadro-szám (a molnyi mennyiségben levő molekulák száma), amivel azt is illusztrálhatjuk, hogy azért a véletlennek is vannak törvényei.   2. A ,,bolyongás'' probléma   Nyilvánvaló, hogy ezen a fokon a számítást teljes általánosságban képtelenség nemcsak elvégezni, de még követni is. Ezért a jelenség lényeges momentumait kiragadva próbáljunk egy szemléletes modellt szerkeszteni. A Brown-részecskék mozgását az jellemzi, hogy a részecske az $n$-edik és az $\left(n+1\right)$-edik ütközés között egyenes vonalú egyenletes mozgással $s_n$ utat tesz meg. A továbbiakban tegyük fel, hogy a) csak egy egyenes mentén történik ez az elmozdulás egyenlő valószínűséggel jobbra vagy balra, vagyis korlátozódjunk egydimenziós mozgásra; b) a két ütközés között megtett $s_n$ utak hossza legyen azonos, egyelőre tekintsük ezt hosszegységnek; c) a két ütközés között eltelt idő is legyen azonos ($t_{\text{<span style="font-style: italic;">ü</span>}}$); d) $t=0$ időpillanatban legyen a Brown-részecske az origóban. Ezek után kérdezhetjük, hogy körülbelül milyen messzire lesz $N$ ütközés után, azaz $t=N{t}_{\text{<span style="font-style: italic;">ü</span>}}$ időpillanatban a részecske az origótól; vagy másképp: mi annak a valószínűsége, hogy $t$-kor pont $m$ egységnyi távolságra lesz az origótól. Ezt a problémát a valószínűségszámításban a ,,bolyongás'' problémájának szokás nevezni. Már többször említettük a titokzatos ,,valószínűség'' szót, de eddig tartózkodtunk annak mélyrehatóbb elemzésétől. Ez a fogalom a modern matematikába teljes egzaktsággal bevezethető, sőt a valószínűségi jelenségekkel foglalkozó vizsgálatok a matematika egyik legrohamosabban fejlődő fejezetét alkotják. De a valószínűségnek nemcsak ilyen elméleti jelentősége van, hanem centrális szerepet tölt be jóformán az egész fizikában. Ugyanis a fizikus számára egy adott esemény bekövetkezésének valószínűsége ugyanolyan reálisan létező fizikai mennyiség, mint például egy rúd hossza, csak éppen kissé nehezebben hozzáférhető jellemzője a fizikai objektumoknak (bár éppen a véletlen ingadozások és egyéb pontatlanságok miatt sokszor a precíz hosszúságmérés sem jelent sokkal egyszerűbb feladatot, és a hiba, azaz a statisztikus ingadozás mértékének megadása nélkül nem is igazi mérés a mérés). A valószínűség fogalma a mindennapi élet tapasztalatain alapul. Hiszen minden cselekedetünket a valószínűség szélső eseteinek alapulvételével végezzük. Akkor megyünk át az utcán, amikor igen valószínűnek látszik, hogy nem gázol el bennünket valamilyen jármű, de mint a közlekedési balesetek bizonyítják, nem $100\%$-ig biztos, hogy baj nélkül juthatunk át a túloldalra.   $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccc}\hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1. lépés}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2. lépés}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3. lépés}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Véghelyzet: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mo stretchy="false">-</mo></mphantom><mn>3</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mo stretchy="false">-</mo></mphantom><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mo stretchy="false">-</mo></mphantom><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{4.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{5.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mo stretchy="false">-</mo></mphantom><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{6.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{7.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{8.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>3</mn></math>}}\hfill \end{array}}}\end{array}$   A Brown-részecskék mozgásának az egydimenziós bolyongási problémára való specializálásával elértük azt, hogy az adott esetre vonatkozóan kielégítő definíciót adjunk az egyes események bekövetkezésének valószínűségére vonatkozóan. Vizsgáljuk a részecske első $N$ lépését; pl. $N=3$ esetén a következő lehetséges ,,pályák'' adódnak: ( $+$ a jobbra; $-$ a balra való lépést jelenti.) Nyilvánvaló, hogy ha egyik lépéskombináció sincs valami módon kitüntetve, akkor nagyon ésszerű az a feltevés, hogy bármelyik kombináció bekövetkezésének valószínűsége azonos. Mivel a nyolc lehetséges eset közül az egyik biztos bekövetkezik, ezért az egyes esetek valószínűségének összege $1$. Ha egy lépéskombináció valószínűsége $p$, akkor az összeg $Mp=1$, vagyis $p=1/M$ (ahol $M$ a lehetséges esetek száma). Általános esetben $M=2^N$, tehát annak a valószínűsége, hogy az első $N$ lépés egy adott lépéskombináció ‐ amit a továbbiakban elemi eseménynek fogunk nevezni ‐ szerint történjék: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_N=1/2^N\mathrm{.}}\end{array}$ Mint az elnevezésből is gyanítható, az elemi eseményeken kívül lehetségesek összetett események is. Például az az esemény, hogy $3$ lépés megtétele után a részecske a $+1$ koordinátájú pontban legyen, a következő három elemi esemény bármelyikének megvalósulása esetén következhet be: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle ++-}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +-+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -++}\hfill \end{array}}$ Ezért ennek valószínűsége: $p_{N=\mathrm{3,}m=1}=p_{++-}+p_{+-+}+p_{-++}=3p_{N=3}=3/2^3$. Ebből általános szabályként azt szűrhetjük le, hogy egy elemi eseményekből összetett esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az adott eseményre vezető ún. kedvező esetek száma osztva a lehetséges esetek számával (mert $p=1/M$). Ezzel a definícióval felvértezve most már hozzáfoghatunk annak a kiszámításához, hogy mennyi annak a valószínűsége, hogy $N$ lépés után a részecske éppen az $m$ koordinátájú pontban tartózkodjék. Nyilvánvaló, hogy a lépések sorrendje a végállapot szempontjából teljesen közömbös. Ugyanis ha az $N/2$ lépés közül $k$ történt jobbra, akkor a részecske koordinátája: $\begin{array}{c}{\displaystyle m=k\left(+1\right)+\left(N-k\right)\left(-1\right)\text{lesz, ebből}k=\left(N+m\right)/2.}\end{array}$ $\left(N+m\right)/2$ nyilvánvalóan egész szám, mert páratlan $N$ esetén a véghelyzet, azaz $m$ is csak páratlan lehet, ugyanis minden egyes lépés után akár előre, akár hátra történt, megváltozik a helyzet párossága. Vagyis ilyenkor $m=2l$ esetén a valószínűség után érdeklődni értelmetlen, illetve a triviális felelet: $P_{N\mathrm{,}m=2l}=0$. Páros $N$ esetén hasonló okból $m$ is csak páros lehet. A kedvező esetek száma tehát megegyezik azon elemi események számával, amelyekben $k=\left(N+m\right)/2$ jobbra, ill. $\left(N-m\right)/2$ balra lépés történt. Ez pedig megegyezik azzal a kombinatorikai feladattal, hogy hányféleképpen választható $N$ elem közül $k$ úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjétől eltekintünk, vagyis a közönséges kombinatorikai kombinációk számával, amely a matematikában szokásos jelöléssel: $\begin{array}{c}{\displaystyle C_{N\mathrm{,}k}=\frac{N\left(N-1\right)\text{...}\left(N-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot \text{...}\cdot k}=\frac{N!}{k!\left(N-k\right)!}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ide $k=\left(N+m\right)/2$-t behelyettesítve megkapjuk a kedvező események számát, amely a lehetséges események számával osztva megadja a keresett valószínűséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_{N\mathrm{,}m}=\frac{N!}{\left(\frac{N+m}{2}\right)!\left(\frac{N-m}{2}\right)!}\cdot \frac{1}{2^N}\mathrm{.}}\end{array}$ Tegyük fel, hogy az origóba tett részecskével a kísérletet nagyon sokszor ($K$-szor) megismételjük, akkor eredményül a $\left(-N;+N\right)$ intervallumban elég sokszor megkapunk minden (megfelelő párosságú) $m$ értéket. Tegyük fel, hogy $m_i$‐t $k_i$-szer kaptuk meg. Képezzük ezen megfigyelt értékek számtani közepét: $\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{m}=\frac{k_1{m}_1+k_2{m}_2+k_3{m}_3+\text{...}}{K}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $K$, a mérések száma egyenlő az összes $k_i$-k összegével. Mivel a $k_i/K$ értékek az $m_i$ bekövetkezésének valószínűsége, $p_i$ körül ingadoznak (ugyanis nyilván minden $m_i$ érték körülbelül a valószínűségének megfelelő arányban fordul elő a kísérletek között), ezért $\overline{m}$, a mért számtani közép az $\langle m\rangle =\sum p_i{m}_i$ ún. várható érték körül fog ingadozni. Határozzuk meg a bolyongási probléma várható értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle m\rangle =\sum _m^{}\frac{N!}{\left(\frac{N+m}{2}\right)!\left(\frac{N-m}{2}\right)!}\cdot \frac{1}{2^N}m\mathrm{.}}\end{array}$ A számítás egyszerűsítése végett vezessük be az előző $k$ értéket, ekkor ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle m=2k-N\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \langle m\rangle ={\sum }_{k=0}^N{C}_{N\mathrm{,}k}\cdot \frac{1}{2^N}\left(2k-N\right)={\sum }_{k=0}^N{C}_{N\mathrm{,}k}\cdot \frac{1}{2^N}2k-{\sum }_{k=0}^N{C}_{N\mathrm{,}k}\cdot \frac{N}{2^N}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A szummákból kiemelve a konstans faktorokat, az első szummában elegendő $k=1$-től összegezni, mert $k=0$ esetén a megfelelő tag $0$: $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle m\rangle =\frac{1}{2^{N-1}}\sum _{k=0}^N{C}_{N\mathrm{,}k}\cdot k-\frac{N}{2^N}\sum _{k=0}^N{C}_{N\mathrm{,}k}\mathrm{.}}\end{array}$ Az első szummába behelyettesítve $C_{N\mathrm{,}k}$ értékét, egyszerűsítve $k$-val, éppen $C_{N-\mathrm{1,}k-1}$-t kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\sum }_{k=1}^N{C}_{N\mathrm{,}k}\cdot k={\sum }_{k=1}^N\frac{N\left(N_1\right)\text{...}\left(N-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot \text{...}\cdot k}\cdot k=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle ={\sum }_{k=1}^{N}N\cdot \frac{\left(N-1\right)\cdot \text{...}\cdot \left[N-1-\left(k-1\right)+1\right]}{1\cdot k\cdot \text{...}\cdot \left(k-1\right)}=N{\sum }_{k=1}^N{C}_{N-\mathrm{1,}k-1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A binomiális együtthatók összege éppen egyenlő $\left(1+1\right)$-nek a kérdéses hatványával, a binomiális tétel szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{k=0}^N{C}_{N\mathrm{,}k}=2^N\mathrm{,}}\end{array}$ így a várható értékre kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \langle m\rangle =\frac{1}{2^{N-1}}N\cdot {\sum }_{k=1}^N{C}_{N-\mathrm{1,}k-1}-\frac{N}{2^N}{\sum }_{k=0}^N{C}_{N\mathrm{,}k}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{1}{2^{N-1}}N\cdot 2^{N-1}-\frac{N}{2^N}=0.}\hfill \end{array}}$ E hosszadalmas számítás elég triviális eredményre vezetett, tudniillik azt mondja, kogy a részecske állandóan az origó körül fog ugrándozni. Persze ez nem jellemzi eléggé a mozgást, mert így az origótól való eltérés átlagos nagyságáról nem kaptunk semmiféle tájékoztatást. Ennek oka abban keresendő, hogy az elmozdulásokat előjelesen átlagoltuk. Ezen a hibán segíthetnénk úgy, hogy az eltávolodás abszolut értékének a várható értékét határoznánk meg. Matematikailag azonban sokkal könnyebben járható út, ha az elmozdulás négyzetének várható értékét határozzuk meg, ami szintén elhárítja a fenti nehézséget. Definíció szerint: $\langle m^2\rangle ={\sum }_i{p}_i{m}_i^2$. Az előzőhöz hasonló, csak pár lépéssel hosszabb számolás alapján adódik: $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle m^2\rangle =N\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis a részecske lényegében az origótól kb. $\sqrt[]{\langle m^2\rangle }=\sqrt[]{N}$ távolságra helyezkedik el a ,,legnagyobb valószínűséggel''. Visszatérve közönséges hosszegységekre, ha egy lépés hossza $l$; akkor az origótól való eltávolodás négyzetének várható értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle x^2\rangle =\langle m^2{l}^2\rangle =\langle m^2\rangle l^2=N{l}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Az $N$ ütközés alatt eltelt idő: $t=N{t}_{\text{<span style="font-style: italic;">ü</span>}}$, ebből $N=t/t_{\text{<span style="font-style: italic;">ü</span>}}$, és bevezetve $D=\frac{1}{2}\frac{l^2}{t_{\text{<span style="font-style: italic;">ü</span>}}}$ jelölést: $\langle x^2\rangle =2Dt$. Ezt a formulát az a körülmény teszi rendkívül használhatóvá, hogy $D$ értékére Einstein (itt nem közölhető) elméleti úton a következő kifejezést adta: $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\frac{R}{L}\cdot \frac{T}{3\pi \cdot d_0\cdot \eta }\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $L$ az Avogadro-szám; $R=8\mathrm{,}31\cdot {10}^7$ erg/mol fok, az univerzális gázállandó; $d_0$ a gömbalakúnak feltételezett Brown-részecske átmérője; $\eta$ a közeg belső súrlódási együtthatója; $T$ az abszolut hőmérséklet. Eddigi meggondolásaink csak az egydimenziós esetre vonatkoztak. Most térjünk át a háromdimenziós térben mozgó részecskére. Tudjuk, hogy minden háromdimenziós elmozdulás összetehető három kiválasztott tengely irányában történt elmozdulásból. Ha olyan kísérleti körülményeket választunk, hogy a térben nincs kitüntetett irány, akkor az egyes irányokba való elmozdulások azonos törvényszerűségeket követnek, vagyis mindhárom irányra nézve az elmozdulások négyzetének várható értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle x^2\rangle =\langle y^2\rangle =\langle z^2\rangle =2Dt\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel az origóból való tényleges elmozdulás négyzete: $\begin{array}{c}{\displaystyle r^2=x^2+y^2+z^2\mathrm{,}}\end{array}$ ezért az eltávolodás négyzetének várható értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle r^2\rangle =\langle x^2\rangle +\langle y^2\rangle +\langle z^2\rangle =6Dt\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis lényegében ez is az egydimenziós mozgással azonos törvényszerűséget mutat. Ha a megfigyeléseket mikroszkóp alatt végezzük, akkor persze az egyik dimenzió kiesik, mert a $z$-irányú elmozdulást nem tudjuk meghatározni, így $\langle z^2\rangle =0$, tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle r^2\rangle =4Dt\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis a részecske a ,,legnagyobb valószínűséggel'' az $r=2\sqrt[]{Dt}$ sugarú kör közelében helyezkedik el. A mikroszkóp éppen ennek az $r$-nek a megfigyelését teszi lehetővé. Nem kell mást csinálni, csak az origóba tenni egy részecskét $t=0$ időpillanatban és $t=\tau$ idő múlva megnézni, hogy milyen messzire ment. Mivel azonban $r$ valószínűségi változó, ezért négyzetének várható értékét csak nagyon sok mérés átlagolása után kaphatjuk meg.     Mivel az túlságosan kényelmetlen lenne, hogy minden egyes méréshez a részecskét vigyük az origóba, ezért ,,Mohamed megy a hegyhez'' alapon, minden $\tau$ idő eltelte után képzeletben az origót visszük a részecske tartózkodási helyére, és a következő mérést innen kiindulva végezzük. Gyakorlatilag ez azt jelenti, hogy elég egyetlen részecskét nyomon követni, és mondjuk másodpercenként egy felvételt csinálni a tartózkodási helyéről. Ezen felvételeket összesítve a két kép közti elmozdulás megadja $r$ egy mért értékét. (A rajzon a tényleges pályát a folytonos vonal mutatja.) Az így kapott $r_i$ értékek négyzetét átlagolva megkapjuk $\langle r^2\rangle$-t, ill. egy ahhoz igen közel eső értéket. Ebből az előző képlet alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\frac{\langle r^2\rangle }{4\tau }\mathrm{,}}\end{array}$ amiből az Einstein-képletben szereplő egyéb konstansok ismeretében meghatározhatjuk az Avogadro-számot: $\begin{array}{c}{\displaystyle L=\frac{R}{\langle r^2\rangle }\cdot \frac{4T}{3\pi \cdot d_0\cdot \eta }\tau \mathrm{.}}\end{array}$ A méréseket Perrin, francia fizikus elvégezte és tényleg jó egyezést talált a más úton levezetett kb. $L=6\cdot {10}^{23}$-mal.   3. A Brown-mozgás általánosítása   Képzeljük el, hogy a Brown-féle részecske méreteit egyre csökkentjük. Mivel a fenti meggondolásokban a részecske speciális tulajdonságait sehol sem használtuk fel, ezért azok érvényesek lesznek még akkor is, ha a szétdarabolásban egészen a molekulákig jutunk el. Vagyis a gáz vagy a folyadék molekulái is Brown-mozgást végeznek! Itt aztán igazán teljesül az a feltétel, hogy egy adott időpillanatban a különböző oldalról való ütközések nem kompenzálják egymást. Persze ez a mozgás még a legjobb mikroszkóppal is megfigyelhetetlen egyrészt a molekulák roppant kis méretei, másrészt az igen nagy sebességek miatt. Ugyanis a molekulák átlagos sebessége több mint $100$ m/sec. Másik általánosítási lehetőségként a következő mód kínálkozik. Eddig egyetlen kiszemelt Brown-részecske, ill. molekula mozgására vonatkozó törvényszerűségeket tanulmányoztunk. Most tekintsünk nagyon sok részecskét. Vegyünk két gázzal töltött edényt, amelyeket kezdetben az $x$-tengelyre merőlegesen az $x=0$-nál egy fal választ el. $t=0$-kor távolítsuk el a falat.     Ekkor az $1$-es gáz molekulái, mint azt előbb említettük, Brown-mozgást végeznek, és eközben behatolnak a $2$-es gázba, ill. a $2$-es molekulái az $1$-esbe. Ez a közismert jelenség a diffúzió. Vagyis megállapíthatjuk, hogy a diffúzió is a Brown-mozgás egy általánosítása: a molekulák elemi Brown-mozgásának eredője. Matematikai interpretációja is könnyen adódik, ha átfogalmazzuk a Brown-mozgás alapkérdését. Eddig azt kérdeztük, hogy egy kiszemelt részecske milyen valószínűséggel jut el egy kijelölt tartományba, most pedig azt, hogy adott helyről induló molekulák hányadrésze jut el $t$ idő alatt a vizsgált tartományba. Magasabb matematikával igazolható, hogy a molekulák Brown-mozgásának paramétereként adódó $D$ nem más, mint a közönséges diffúziós együttható.   Vesztergombi György