Kezdőlap


Cím:	A belső súrlódás
Szerző(k):	Vermes Miklós
Füzet:	1965/szeptember, 33 - 37. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek, Viszkozitás (belső súrlódás)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyünk magunk elé három üveget, amelyekben glicerin, víz és aceton van. Rázzuk meg mindegyiket: a glicerin alig mozdul meg, a víz néhány másodpercig mozog, az aceton viszont sokáig hullámzik. Most a folyadékok azon tulajdonságát figyeltük meg, amelyet belső súrlódásnak, idegen szóval viszkozitásnak neveznek. Mozgást gátló erő a szilárd testek felületei között működő súrlódási erő, valamint a folyadékban, gázban mozgó testre ható közegellenállási erő is. Ezekhez hasonló a folyadékok, gázok mozgásakor fellépő belső súrlódás.
Tehát áramló folyadék belsejében, az egyes folyadékrészek között mutatkozik ez a belső súrlódásnak nevezett, mozgást gátló erő. Keressük a törvényét.

1. ábra

Az első megállapítás, hogy két folyadékréteg között csak akkor lép fel belső súrlódási erő, ha közöttük sebességkülönbség van (1. ábra). Egy csőben folyadék áramlik balról jobbra. Az

F {cm}^{2}

területű, egymástól

x

cm távolságban levő rétegek sebessége

v_{2}

, ill.

v_{1} cm/sec

. Ha

v_{2}

és

v_{1}

egyenlő, akkor közöttük épp úgy nem mutatkozik súrlódási erő, mint az egyenletesen mozgó vonat padlója és a rajta fekvő tégla között. A belső súrlódási erő

(P)

nyilván annál nagyobb, minél nagyobb sebességkülönbség lép fel minél kisebb távolságon:

\begin{matrix} P = - η F \cdot \frac{v_{2} - v_{1}}{x} = - η F \frac{Δ v}{Δ x} . \end{matrix}

(1)

A negatív előjelet azért használjuk, mert a súrlódási erő a hajtó erőhöz képest ellentétes irányú. A súrlódási erő természetesen arányos az

F

felülettel.

v_{2} - v_{1}

sebességkülönbségnek az egységnyi távolságra jutó részét, vagyis a

(v_{2} - v_{1}) / x = Δ v / Δ x

törtet sebességesésnek nevezik.

η

arányossági szorzó az anyagi minőségtől függ, neve belső súrlódási együttható (az ún. viszkozitás). Ez az együttható nagy a glicerin és kicsiny az aceton esetében.
Tehát ha egy csőben folyadék áramlik, akkor a cső rádiusza mentén kifelé haladva a sebesség változását észleljük, sebességesést tapasztalunk. Ezt látjuk a folyóknál is, hiszen a középen, a sodorvonalban a legnagyobb a sebesség. Közvetlenül a partnál, a cső fala mentén a sebesség nulla. Keressük a sebességesés, valamint a sebesség értékeit, ha a cső rádiusza mentén haladunk a középtől a fal felé (2. ábra).

2. ábra

Egy

l

hosszúságú csőben állandó sebességgel áramlik a folyadék. Ez azt jelenti, hogy minden egyes molekula a tengellyel párhuzamos egyenes mentén halad és sebessége elején-végén állandóan ugyanannyi. A fentiek szerint a tengelytől különböző távolságban levő molekulák sebessége eltérő. A cső eleje és vége között állandó

p

nyomáskülönbségét hozunk létre, és ez okozza az áramlást. Leírt berendezésünkben állandó erő mellett a sebesség állandó. Ez csak úgy lehetséges, hogy az állandó erőt egy másik állandó erő, éppen a belső súrlódási erő egyensúlyozza ki. Felírjuk a hajtóerő és a belső súrlódási erő egyenlőségét.
Tekintsük a cső tengelyét körülvevő,

x

rádiuszú hengeres részt. Ennek alapterülete

π x^{2}

, így

p

nyomás esetében a hajtóerő

π x^{2} p

. Ezt az

x

rádiuszú henger palástja mentén fellépő belső súrlódási erő egyensúlyozza ki. A súrlódó felület

2 π x l

, a sebességesés a tengelytől

x

távolságban valamilyen

Δ v / Δ x

érték, tehát (1) alapján:

\begin{matrix} π x^{2} p = - η \cdot 2 π x l \cdot \frac{Δ v}{Δ x} . \end{matrix}

Innen:

\begin{matrix} \frac{Δ v}{Δ x} = - \frac{p}{2 η l} \cdot x . \end{matrix}

(2)

Tehát a sebességesés egyenesen arányos az

x

távolsággal. Ennek végeredményben az az oka, hogy

x

-szel arányos a palást területe, a súrlódó felület nagysága. A sebességesés a középen nulla, abszolút értékét tekintve a fal mentén a legnagyobb. A 2. ábrán a cső rajza melletti első diagramm a sebességesést tünteti fel

x

függvényeként.
De hogyan alakul magának a sebességnek a rádiusztól való függése? Belátjuk: ha

Δ v / Δ x

sebességesés

x

-szel arányos, akkor

v

-nek

x^{2}

-től kell függenie. Hiszen

y = k x^{2}

érintője az

x

-tengellyel olyan

α

szöget alkot, amelynek tangense

2 k x

, tehát

x

-szel arányos. Ennek alapján a sebességnek az

x

-től való függése:

\begin{matrix} v = \frac{p}{4 η l} \cdot (r^{2} - x^{2}) . \end{matrix}

(3)

Vizsgáljuk meg a szélső értékeket. Ha

x = 0

, kapjuk a cső tengelyében észlelhető maximális sebességet:

\begin{matrix} v_{m} = \frac{p r^{2}}{4 η^{2}}, \end{matrix}

(4)

a falnál pedig, ahol

x = r

v = 0

. Valóban, itt áll a folyadék. Megvizsgálhatjuk, hogy a (3) sebességből a (2) sebességesés következik. A 2. ábra jobb oldali rajza a sebességek eloszlását ábrázolja.
Kísérletileg az egyes részecskék sebességének megfigyelése nem könnyű. Ezért

v

, illetve

v_{m}

helyett az

1

másodperc alatt átáramlott folyadékmennyiséget,

V

-t használjuk. A 2. ábrában a jobboldali rajz paraboláját tengelye körül megforgatva kapjuk azt a forgási paraboloidot, amelyen belül levő folyadék áramlik át

1

másodperc alatt a cső valamely keresztmetszetén. A forgási paraboloid köbtartalmát az alapterület és a magasság szorzatának a fele adja meg:

π r^{2} v_{m} / 2

, így az

1

másodperc alatt átfolyó folyadékmennyiség:

\begin{matrix} V = \frac{π}{8} \cdot \frac{r^{4} p}{η l} . \end{matrix}

(5)

Ez az a híres törvény, amelyet Poiseuille 1840-ben állapított meg. Eszerint egy vékony csövön

1

másodperc alatt átfolyó folyadékmennyiség egyenesen arányos a nyomáskülönbséggel és a cső rádiuszának negyedik hatványával, de fordítva arányos a cső hosszával. Az anyagra jellemző

η

belső súrlódási együttható (1) szerint megadja, hogy hány din erő szükséges két,

1

‐

1 {cm}^{2}

nagyságú,

1

cm távolságban levő felület egymáshoz képest

1 cm/sec

sebességgel történő mozgatásához.

η

egységének neve: 1 poise (poáz). Annak a folyadéknak a belső súrlódása

1

poise, amelynél az ilyen mozgatáshoz

1

din erő szükséges. Képleteink poise, cm,

{cm}^{3} / sec

{din/cm}^{2}

egységek használata mellett érvényesek.

3. ábra

A belső súrlódási együttható mérésére igen sokféle kísérleti eszköz ismeretes. Az (5) alatti Poiseuille-törvény alapján is meghatározható

η

, ha a többi mennyiséget lemérjük. Kis ügyességgel házilag is végezhetünk ilyen kísérleteket. Nagyon sokszor a kérdéses folyadék viszkozitását a vízéhez viszonyított relatív értékkel adják meg. Ekkor használható például az Ostwald-féle viszkoziméter (3. ábra). Órával megmérjük, mennyi idő alatt folyik át a készülék hajszálcsövén egyrészt a kérdéses folyadék, másrészt a víz. A működő nyomás a kérdéses,

γ

fajsúlyú folyadék esetében

h γ

, a

γ_{v}

fajsúlyú víz esetében

h γ_{v}

; a felső,

K

térfogatú tartálykából a kérdéses folyadék

t

, a víz

t_{v}

idő alatt folyik le (viszkozitása

η_{v}

). Felírva Poiseuille törvényét a kérdéses folyadékra és vízre:

\begin{matrix} \frac{K}{t} = \frac{π r^{4} h γ}{8 η l}, \frac{K}{t_{v}} = \frac{π r^{4} h γ_{v}}{8 η_{v} l} . \end{matrix}

Osztással kapjuk a vízre vonatkoztatott relatív viszkozitást:

\begin{matrix} \frac{η}{η_{v}} = \frac{γ}{γ_{v}} \cdot \frac{t}{t_{v}} . \end{matrix}

Tájékozódásul jó tudni, hogy a víz viszkozitása

20^{\circ}

-on

0, 01

poise.
Lássunk néhány adatot; kettő kivételével valamennyi

20^{\circ} C

-ra vonatkozik (I. táblázat). Néhány megjegyzést kell tennünk. A Poiseuille-törvény csak akkor alkalmazható, ha a folyadék részecskéi a tengellyel párhuzamos egyeneseken haladnak (az áramlás lamináris). Nagyobb sebességnél kavargás jön létre, de ezzel most nem foglalkozunk. Azonkívül nagyobb sebességnél elsősorban nem a belső súrlódás, hanem örvényképződés, tehetetlenségi erők akadályozzák a mozgást, amit arról is észreveszünk, hogy ilyenkor az akadályozó erő nem a sebesség első, hanem második hatványával arányos. A belső súrlódási együttható nem függ a folyadék fajsúlyától (sűrűségétől), vele nem tévesztendő össze. Sókat feloldva általában kissé emelkedik a víz viszkozitása. Igen érdekes eredményre jutunk azonban, ha víz-metilalkohol, víz-etilalkohol stb. keverékek viszkozitását tanulmányozzuk, mint az összetétel függvényét! Táblázatunkban a kolofónium (hegedűgyanta) nem szilárd anyagnak, hanem túlhűtött folyadéknak számít. Gázok belső súrlódása is mérhető megfelelő módszerekkel és eszközökkel.

Lássunk néhány példát.

10

cm hosszú,

1

mm átmérőjű csövön saját súlyától származó nyomás által hajtva

1

másodperc alatt

0, 29 {cm}^{3}

víz,

0, 87 {cm}^{3}

etiléter,

0, 00026 {cm}^{3}

ricinusolaj folyik át. A lispei olajvezeték hossza

210

km, átmérője

20

cm, a mozgató nyomás

80

atmoszféra; ennek alapján

1

másodperc alatt

30

liter,

1

óra alatt

108 m^{3}

olaj folyik át, és a cső tengelyében a sebesség kb.

2 m/sec

. Egy

0, 06

mm átmérőjű hajszáléren, annak

1

cm hosszú darabján

1

másodperc alatt

1 {mm}^{3}

vér átpréseléséhez Poiseuille képlete szerint

1, 1

atmoszféra nyomáskülönbség szükséges. A vérsejtsüllyedés néven ismeretes orvosi vizsgálati módszernél a kicsapott vörös vértesteknek a vérszérumban való süllyedési sebességét mérik. Ha a vérszérum fehérjetartalma a rendestől eltérő, akkor kisebb a viszkozitása, és a vörös vértestek ugyanazon idő alatt mélyebbre süllyednek.

4. ábra

Az olajozás lényegét mutatja egy tájékoztató jellegű példánk (4. ábra). Az

1 {cm}^{2}

területű fémlemezt

1

kp erő szorítja az alatta levő fémlemezhez. Ha a száraz súrlódás együtthatóját

0, 1

-nek vesszük, akkor mozgatáskor

0, 1

kp súrlódási erőt kell leküzdenünk. Helyezzünk a fémfelületek közé

0, 5

poise viszkozitású ásványolajat, és mozogjon a fémlemez

10 m/sec

sebességgel. Ekkor az olajrétegben a sebességesés kb.

1000 : 0, 02 = 50000

, és a leküzdendő belső súrlódási erő (1) szerint

25000 din = 0, 025

kp, tehát sokkal kevesebb mint előbb.
II. táblázatunk a belső súrlódási együtthatónak a hőmérséklettől való függésére mutat néhány példát. Folyadékok viszkozitása melegen sokkal kisebb, amint az a víz esetében jól megfigyelhető. Higany esetében a csökkenés nem olyan rohamos. Táblázatunk harmadik oszlopa a megolvadt kén átmenetileg nyúlóssá válását mutatja. A levegő és a gázok viszkozitása melegítéskor kissé növekszik. Ennek oka, hogy melegen valamivel nagyobb a molekulák repülési sebessége, ezért a lassabban és gyorsabban mozgó gázrétegek molekulái mélyebben repülnek be a másik rétegbe és nagyobb mértékben akadályozzák annak mozgását.

\begin{matrix} II. táblázat \\ víz & higany & folyékony & levegő \\ kén \\ 0^{\circ} & 0, 0179 & 0, 0168 & 0, 00018 \\ 20^{\circ} & 0, 01 & 0, 0159 \\ 40^{\circ} & 0, 0066 & 0, 0148 \\ 60^{\circ} & 0, 0047 \\ 80^{\circ} & 0, 0036 \\ 100^{\circ} & 0, 0028 & 0, 0123 & 0, 00023 \\ 120^{\circ} & 0, 0117 & 0, 12 \\ 150^{\circ} & 0, 0108 & 0, 088 \\ 180^{\circ} & 0, 0103 & 561 & 0, 00026 \\ 300^{\circ} & 0, 0092 & 24 & 0, 00029 \\ 440^{\circ} & 0, 88 & 0, 00034 \end{matrix}

A felsorolt példák is mutatják, hogy a belső súrlódás ismerete számos területen szükséges, amilyen például a gépek olajozása, a távvezetékek, vízvezetékek tervezése, a szűrés, a vér áramlásának megértése stb.