Kezdőlap


Cím:	Súlyozott átlagok a fizikában
Szerző(k):	Horváth Péter
Füzet:	1965/március, 129 - 134. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A fizikai kölcsönhatások gyakran kiegyenlítődő jellegűek: ha két vagy több test bizonyos tulajdonságai (sebesség, hőmérséklet) különböző értékűek, a kölcsönhatás során ezek kiegyenlítődnek, átlagolódnak. Másképpen fogalmazva azt is mondhatjuk, hogy több részből álló rendszer egy bizonyos sajátságát tekintve helyettesíthető eggyel. Ez utóbbi megfogalmazás általánosabb is, mert sztatikus esetekre, amikor keveredés nem történik, szintén alkalmazható.
Az átlagérték-képzés problémája már a változó mozgás tanulmányozásakor előkerült. Az átlagsebességet így definiáltuk: a megtett út osztva a megtételéhez szükséges idővel. Az átlagsebesség az az egyenletes sebesség, amellyel a mozgó test a meghatározott $t$ idő alatt ugyanakkora utat tesz meg, mint változó mozgása során. Tehát az átlagérték képzésekor a változónak egy olyan értékét keressük, amellyel az összes előforduló értéket helyettesítve valamely ‐ a szóban forgó értékektől függő mennyiség értéke ugyanaz marad. $n$ számú változó érték mellett az ún. számtani átlag az

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = \bar{x} \cdot n \end{matrix}

összefüggésből kapható:

\begin{matrix} \bar{x} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n, \end{matrix}

(1.1)

ahol a

\sum

jel (szumma) összegezést jelent.
Az

x_{i}

értékek között lehet több egyenlő is. Tegyük fel, hogy

x_{i}

k_{i}

-szer fordul elő az összegben. Ezeket összevonva a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} k_{1} x_{1} + k_{2} x_{2} + ... + k_{m} x_{m} = \bar{x} \cdot (k_{1} + k_{2} + ... + k_{m}), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \sum_{i}^{} k_{i} x_{i} = \bar{x} \cdot \sum_{i}^{} k_{i}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} \bar{x} = \sum_{i}^{} k_{i} x_{i} / \sum_{i}^{} k_{i}, \end{matrix}

(1.2)

ahol

\sum k_{i} = n

. (Az összegjel határait csak akkor írjuk ki, ha szükséges, egyébként értelemszerűen az összes összegzendőre vonatkozik.) Így jutunk el a súlyozott átlag fogalmához, megengedve, hogy a

k_{i}

számok tetszőleges pozitív értéket vegyenek fel. Az

x_{i}

értékek különböző erősséggel, súllyal szerepelnek az átlagban.
Az eddigiekben az átlagsebesség példájából kiindulva azt feltételeztük, hogy egy anyagi test valamilyen tulajdonsága vesz fel különböző értékeket. Átlagképzés viszont akkor is lehetséges, ha több test valamely közös tulajdonságának egy megfigyelés során felvett értékeiről van szó. Ilyen esetekben a súlyozás más jelentést is kaphat. Az átlagolásra kerülő egyedek az átlagképzés szempontjából különböző értékűek lehetnek.
Belátható, hogy a súlyozott átlag az átlagolandó sorozatban előforduló legnagyobb és legkisebb érték közé esik:

\begin{matrix} x_{min} < \bar{x} < x_{max} . \end{matrix}

(1.3)

Ennek bizonyítását az olvasóra bízzuk.
A továbbiakban vizsgáljuk meg, hol találkozunk súlyozott átlag képzésével a középiskolai fizika anyagban.

Rugalmatlan ütközés

Két test rugalmatlan ütközésekor a mozgásmennyiség nem változik meg:

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) \cdot \bar{v} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}, \end{matrix}

így a közös sebesség:

\begin{matrix} \bar{v} = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

(2.1)

Ütközés után mozgásukat együtt folytatják, sebességük a megfelelő tömegekkel súlyozva átlagolódik. Nyilvánvaló, hogy az összefüggés kettőnél több test rugalmatlan ütközése esetén is érvényes,

\begin{matrix} \bar{v} = \sum_{i}^{} m_{i} v_{i} / \sum_{i}^{} m_{i} . \end{matrix}

(2.2)

Fajsúlymérés

Ismeretes a már Archimedes által megoldott probléma: a szirakuzai király koronája aranytartalmának meghatározása. Az arany-ezüst korona súlya levegőben 20 egység, vízben

18, 75

egység, kérdés: mennyi a korona százalékos aranytartalma. Az adatokból a felhajtóerő

1, 25

egység. Jelöljük az arany súlyát

G_{1}

-gyel, az ezüstét

G_{2}

-vel, ekkor

\begin{matrix} G = G_{1} + G_{2} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (V_{1} + V_{2}) \bar{γ} = V_{1} γ_{1} + V_{2} γ_{2}, \end{matrix}

ahol

\bar{γ}

az ötvözet fajsúlyát jelenti, ebből

\begin{matrix} \bar{γ} = \frac{V_{1} γ_{1} + V_{2} γ_{2}}{V_{1} + V_{2}} . \end{matrix}

(3.1)

Tehát a fajsúly átlagolódik a keveredés során, de az egyes anyagok fajsúlya a térfogattal súlyozva van.
A feladatban ismerjük

V_{1} + V_{2}

értékét így,

\bar{γ}

kiszámítható.

V = V_{1} + V_{2} = 1, 25

térfogategység, hiszen a felhajtóerő

1, 25

egység és a víz fajsúlyát egységnyinek vesszük

(1 {p/cm}^{3})

. Így

\begin{matrix} \bar{γ} = G / V = 20 / 1, 25 egység = 16 {p/cm}^{3} . \\ \bar{γ} = \frac{V_{1} γ_{1} + (V - V_{1}) γ_{2}}{V} = \frac{V_{1} (γ_{1} - γ_{2}) + V γ_{2}}{V} & (3.2) \end{matrix}

alapján

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V} = \frac{\bar{γ} - γ_{2}}{γ_{1} - γ_{2}} = 62, 5 térf. % \end{matrix}

(3.3)

Ez az összefüggés az alkotórészek százalékos eloszlásának meghatározásához mindig felhasználható. Látható, hogy a fajsúlyátlag dimenziója csupán az általunk választott egységtől függ és független a súly és térfogat egységétől. A százalék pedig viszonyszám, amely dimenziómentes.

Párhuzamos erők összegezése

Egy testre (gerendára) ható erők összegezése, az eredő erő, illetve az egyensúlyhoz szükséges ellenerő támadáspontjának számítása is súlyozott átlagolásra vezet. Az egyensúly feltétele, hogy a testre ható erők és forgatónyomatékok összege nulla legyen:

\begin{matrix} \sum_{k}^{} P_{k} + (- P) = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} P = \sum_{k} P_{k}; & (4.1) \\ \sum_{k} P_{k} x_{k} + (- P) \bar{x} = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \bar{x} = \sum_{k}^{} P_{k} x_{k} / \sum_{k}^{} P_{k} . \end{matrix}

(4.2)

4.2-ből látható, hogy az egyensúlyozó, illetve az eredő erő karja a testre ható erők karjainak az erőkkel súlyozott átlaga.

1. ábra

Könnyen beláthatjuk azt is, hogy a forgatónyomatékok felírásakor tetszőleges helyen vehetjük fel a vonatkoztatási pontot, akár a testen kívül is (1. ábra). Vegyük fel a vonatkoztatási pontot először

A

-ban, majd

B

-ben. A megfelelő erőkarokat jelöljük

x

-szel, illetve

y

-nal. Az ábrából látható, hogy

\begin{matrix} y_{k} - x_{k} = A B = l . \end{matrix}

(4.3)

Felírva az átlagképző egyenletet

\begin{matrix} \bar{y} = \sum_{k}^{} P_{k} y_{k} / \sum_{k}^{} P_{k}, \end{matrix}

(4.4)

a 4.3 és 4.4 egyenletekből

\begin{matrix} \bar{y} = \frac{\sum_{k}^{} P_{k} (l + x_{k})}{\sum_{k}^{} P_{k}} = \frac{\sum_{k}^{} (P_{k} \cdot l + P_{k} x_{k})}{\sum_{k}^{} P_{k}} . \end{matrix}

(4.5)

4.5-ből kapjuk:

\begin{matrix} \bar{y} = \frac{l \cdot \sum_{k}^{} P_{k} + \sum_{k}^{} P_{k} x_{k}}{\sum_{k}^{} P_{k}} = l + \bar{x}, \end{matrix}

(4.6)

ami bizonyítja állításunkat, hogy az egyensúlyozó erő támadáspontja független a vonatkoztatási pont felvételétől.

Izotermikus gázok keveredése

Hasonlóan átlagolódnak a különböző térfogatban elhelyezkedő, különböző nyomású gázok nyomásértékei, ha állandó hőmérsékletet tartva, az elválasztófalakat kiemeljük.

\begin{matrix} \bar{p} = \sum_{i}^{} p_{i} V_{i} / \sum_{i}^{} V_{i}, \end{matrix}

(5.1)

a kialakuló átlagnyomás az egyes nyomásoknak a megfelelő térfogatokkal súlyozott átlaga. Ezzel kapcsolatban még egy érdekességet említünk meg. Egy

n

edényből álló rendszernél vizsgáljuk a

k

-adik edényt, és tágítsuk ki az összes edény térfogatával egyenlő térfogatra. A Boyle-Mariotte törvény szerint a nyomás a

\begin{matrix} p'_{k} \sum_{i}^{} V_{i} = p_{k} V_{k} \end{matrix}

(5.2)

egyenletből kapható. (A jobb megértés kedvéért két indexet használunk, de

i

és

k

egyaránt 1-től

n

-ig fut.) 5.2-ből

\begin{matrix} p'_{k} = p_{k} V_{k} / \sum_{i}^{} V_{i} . \end{matrix}

(5.3)

Ha ezt az eljárást minden edényre elvégezzük és összegezzük a

p'_{k}

-ket (most természetesen a

k

index szerint), akkor

\begin{matrix} \sum_{k}^{} p'_{k} = \sum_{k}^{} (p_{k} V_{k} / \sum_{i}^{} V_{i}) = \sum_{k}^{} p_{k} V_{k} / \sum_{i}^{} V_{i} . \end{matrix}

(5.4)

A kifejezés jobboldala egyenlő az 5.1 egyenlet jobboldalával. (Ne zavarjon az indexek különbözősége:

k

helyébe ismét visszaírhatjuk az

i

-t.) 5.1‐5.4-ből adódik

\begin{matrix} \bar{p} = \sum_{k}^{} p'_{k}, \end{matrix}

(5.6)

az átlagnyomás az úgynevezett parciális nyomások összege.

Kalorimetria

Végül vizsgáljuk meg részletesebben a kalorimetriás jelenségeket. Két vagy több test közötti hőkicserélődés esetén alapfeltételünk, hogy hőmennyiség a rendszerből nem távozik el, és nem jut a rendszerbe. Két anyag keveredésekor az egyik által leadott hőt a másik felveszi:

\begin{matrix} c_{1} m_{1} (t_{1} - t) = c_{2} m_{2} (t - t_{2}), \end{matrix}

(6.1)

innen

\begin{matrix} t = \frac{c_{1} m_{1} t_{1} + c_{2} m_{2} t_{2}}{c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}} . \end{matrix}

(6.2)

Látható, hogy a hőmérséklet az egyes hőmérsékleteknek a megfelelő

c_{i} m_{i}

értékekkel súlyozott átlaga. Ez érthető is, mert

c_{i} m_{i}

i

-edik tömeg hőkapacitása. Tehát azokban az esetekben, ha átalakulási pontokon (olvadás, párolgás, stb.) nem megyünk keresztül,

\begin{matrix} t = \sum_{i}^{} c_{i} m_{i} t_{i} / \sum_{i}^{} c_{i} m_{i} . \end{matrix}

(6.3)

Az átalakulási pontokon áthaladó folyamatok esetében nehezebb a közös hőmérséklet meghatározása. Egy anyag különböző halmazállapotai esetében mégis találhatunk egy érdekes felírási módot.
Vezessük be az illető anyagra a

t

hőmérsékleti skála helyett a következő

q

hőskálát, amelyet a következőképpen definiálunk:

q = c \cdot t

szerint változik az átalakulási pontokon kívül, az egyes halmazállapotok között pedig az átalakulási hőnek megfelelő számértékű

q

egység helyezkedik el. A jég-víz átalakulási pont környékén a

q = f (t)

függvény alakját a 2. ábra mutatja:

k_{1}

és

k_{2}

állandók értékét a

q

skála nullpontjának tetszőleges megválasztásával adhatjuk meg.

2. ábra

Egy számpéldán könnyebben megérthetjük ezt. Keverjünk össze

2

- 30 C^{\circ}

-os jeget és

1

50 C^{\circ}

-os vizet. Mi lesz belőle ?
Eddigi módszerünk szerint a vizet lehűtöttük

- 30 C^{\circ}

-os jégé, és az így felszabadult hőmennyiséggel gazdálkodtunk az egész mennyiségre vonatkozóan.

1

50 C^{\circ}

-os víz lehűtésekor

Q = (1 \cdot 1 \cdot 50 + 1 \cdot 80 + 0, 5 \cdot 1 \cdot 30) kcal = (50 + 80 + 15) kcal = 145 kcal

hő szabadul fel, és van

3 kg - 30 C^{\circ}

-os jegünk. Ha ezt a mennyiséget felmelegítjük

0 C^{\circ}

-ra, akkor

Q_{1} = (0, 5 \cdot 3 \cdot 30) kcal = 45 kcal

használódik fel. Marad még

100 kcal

. A maradékból

M