Kezdőlap


Cím:	1965. A VII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Füzet:	1965/szeptember, 4 - 5. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A VII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát a Német Demokratikus Köztársaság Népnevelési Minisztériuma szervezte Berlin‐Bogensee-ben 1965. július 4‐13. között. A versenyen 8‐8 bolgár, csehszlovák, finn, jugoszláv, lengyel, magyar, mongol, német, román és szovjet diák vett részt. A versenydolgozatokat július 5-én és 6-án írták meg, a 3‐3 feladatra 4‐4 óra munkaidő állt rendelkezésre.

A verseny feladatai a következők voltak:

1. Keressünk meg a

0 \leq x \leq 2 π

szakaszba eső valamennyi olyan

x

számot, amely kielégíti a következő egyenlőtlenségeket:

\begin{matrix} 2 cos x \leq | \sqrt[]{1 + sin 2 x} - \sqrt[]{1 - sin 2 x} | \leq \sqrt[]{2} . \end{matrix}

2. Az

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = 0, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = 0, \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = 0 \end{matrix}

egyenletrendszer együtthatóiról a következőket tudjuk: a)

a_{11}

a_{22}

a_{33}

mindegyike pozitiv, b) a többi együttható mind negatív, c) minden egyes egyenletben az együtthatók összege pozitív. ‐ Bizonyítsuk be, hogy az adott egyenletrendszer egyetlen megoldása:

x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0

3. Az adott

A B C D

tetraéder

A B

élének hosszúsága

a

C D

élének hosszúsága

b

. Az

A B

és

C D

kitérő élek egyeneseinek távolsága

d

, egymással bezárt (egyik) szögük

ω

. A tetraédert egy az

A B

és

C D

élekkel párhuzamos

ε

sík két részre osztja. Mekkora e két rész térfogatának aránya, ha ismeretes, hogy az

A B

egyenes és az

ε

sík távolsága

k

-szorosa a

C D

egyenes és az

ε

sík közötti távolságnak?

4. Állítsuk elő az összes olyan

x_{1}

x_{2}

x_{3}

x_{4}

valós számnégyest, melynek bármelyik

5. Az adott

O A B

háromszög

A O B

szöge kisebb

90^{\circ}

-nál. Az

A O B

háromszög kerületének vagy belsejének tetszőleges, de

O

-tól különböző

M

pontjából merőlegeseket bocsátunk

\bar{O A}

-ra és

\bar{O B}

-re. Ezeknek a merőlegeseknek a talppontját jelöljük rendre

P

-vel, illetve

Q

-val. Legyen továbbá

H

O P Q

háromszög magasságpontja.
Mi a

H

pontok mértani helye, ha

M

befutja

a) az

A B

oldalt;
b) az

O A B

háromszög belsejét?

6. Adott a síkban

n

darab pont

(n \geq 3)

. A belőlük kiválasztható összes pontpár által meghatározott szakaszok hosszának maximuma legyen

d

. Az említett szakaszok közül azokat, amelyeknek hosszúsága éppen

d

, az adott pontrendszer átmérőinek nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy legfeljebb

n

darab ilyen átmérő van.

A verseny eredménye:
I. díjat nyertek: Blecher Pavel (40 pont, szovjet), Lovász László (40 pont, Budapest, Fazekas M. Gyak. G., volt III. o. t.), Szubkov Andrej (39 p., szovjet), Valander Szergej (39 p., szovjet), Pereseszkij Anatolij (38 p., szovjet), Sirokov Nyikoláj (38 p., szovjet), Makai Endre (38 p., Budapest, Eötvös J. G., volt IV. o. t.) és Pelikán József (38 p., Budapest, Fazekas M. Gyak. G. volt III. o. t.).

II. díjat nyertek: Karszanov Alexandr (36 p., szovjet), Bucur Liliana (34 p., román), Pósa Lajos (34 p., Budapest, Fazekas M. Gyak. G., volt III. o. t.), Preiss David (32 p., csehszlovák), Nowinski Krzysztof (32 p., lengyel), Badescu Alexandru (32 p, román), Voiculescu Dan (32 p., román), Sztojanovszkij Vaszilij (32 p., szovjet), Weinstein Jacques (31 p., román), Berkes István (31 p., Budapest, Fazekas M. Gyak. G., volt III. o. t.), Brandt Manfred (30 p., német) és Klamt Wolfgang (30 p., német).

III. díjat nyertek: Marcisová Tamara (29 p., csehszlovák), Enskonatus Peter (29 p., német), Fortuna Zenon (29 p., lengyel), Misiurewicz Michal (29 p., lengyel), Bisca Octavian (29 p., román), Liepe Walter (28 p., német), Laczkovich Miklós (28 p., Budapest, Fazekas M. Gyak. G., volt III. o. t.), Bole Velimir (27 p., jugoszláv), Elekes György (27 p., Budapest, Fazekas M. Gyak. G., volt II. o. t.), Figiel Tadeusz (26 p., lengyel), Popa Eugen (24 p., román), Sivák Bohus (22 p., csehszlovák), Otto Wilhelm (22 p., német), Asic Miroszláv (22 p., jugoszláv), Stefanescu-Sabba Ion (22 p., román), Vastinszka Ligyija (21 pont, bulgár) és Reznicek Miroszláv (20 p., csehszlovák).

Ezen az olimpián kerültek először kiadásra külön oklevelek egyes feladatok különösen elegáns megoldásáért, érdekes általánosításáért. Ilyet kaptak: Erkama Timo (finn), Nowinski Krzysztof (lengyel), Damdinsuren Avganzeren (mongol), Badescu Alexandru (román), valamint Lovász László és Pelikán József.
Az egyenlő pontszámú versenyzőket a hivatalos eredménylista az országok német nevének betűrendjében sorolta fel.
Az egyes csapatok összpontszáma: Szovjetunió 281, Magyarország 244, Románia 222, Lengyelország 178, NDK 175, Csehszlovákia 159, Jugoszlávia 137, Bulgária 93, Mongólia 63, Finnország 62.

A fenti 6 feladatot rendre 1409‐1414 sorszámmal feladatnak tűzzuk ki, megoldásuk az októberi 1965/7 szám további feladataival együtt küldhető be (előbb ne!).