Kezdőlap


Cím:	Az 1261. feladat egy megoldása
Szerző(k):	Huhn Péter
Füzet:	1965/május, 193 - 194. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1261. feladat ¹ tetszés szerinti háromszögre fogalmazva az $A B C$ háromszög megszerkesztését kívánta, ha adott a $p = A B + B C$ és a $q = A B + A C$ szakasz, továbbá a $γ = A C B ∢$ . Az alábbiakban egy olyan megoldást mutatunk be, amelyik csupán az I. gimnázium tananyagára támaszkodik, a hasonlóság fogalmát sem használja fel ², viszont nem könnyű belátni, hogy valóban a kívánt tulajdonságú háromszöget kapunk. Ennek bizonyítását feladatul fogjuk kitűzni³.

Az áttekinthetőség kedvéért tegyük fel, hogy ha a két távolság különböző, a kisebbet jelöltük

p

-vel. Ez nem jelent megszorítást. Mérjük rá a

C A

oldal

A

-n túli és a

C B

oldal

B

-n túli meghosszabbítására az

A B' = B A' = A B

távolságot, jelöljük

A A'

és

B B'

metszéspontját

I

-vel. Ekkor

A' C = p

B' C = q

, és az

A B B'

és

A B A'

egyenlő szárú háromszögek szárai alkotta külső szögek az

A B C

háromszög

B A C ∢ = α

és

A B C' ∢ = β

szöge. Így

\begin{matrix} A B B' ∢ = A B' B ∢ = \frac{α}{2}, B A A' ∢ = B A' A ∢ = \frac{β}{2}, továbbá \\ A' I B' ∢ = A I B ∢ = 180^{\circ} - (\frac{α}{2} + \frac{β}{2}) = 90^{\circ} + \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Húzzunk másrészt párhuzamost

A

-ból

B C

-vel és

B

-ből

A C

-vel, metszéspontjuk legyen

D

. Ekkor

A B D ∢ = α

B A D ∢ = β

. Így

A I

és

B I

A B D

háromszög szögfelezői, tehát

D I

is felezi a

D

-nél levő

γ

nagyságú szöget, mert a harmadik szögfelező is átmegy

I

-n. Jelöljük

A C

és

D I

metszéspontját

E

-vel. Ekkor

A E D ∢ = E D B ∢ = γ / 2 = E D A ∢

, tehát az

A D E

háromszög egyenlő szárú, így

\begin{matrix} C E & = C A - E A = C A - A D = C A - C B = \\ = (C A + A B) - (C B + A B) = q - p . \end{matrix}

Meggondolásaink a következő szerkesztéshez vezettek:
Szerkesszünk egy

A' B' C

háromszöget, amelynek két oldala

A' C = p

B' C = q

, és a köztük levő szög

γ

.
Rajzoljuk meg azt az

i

körívet, amelyről az

A' B'

szakasz

180^{\circ} - γ / 2

szögben látszik és amelyik az

A' B'

egyenes ugyanazon oldalán van, mint a

C

pont.
Mérjük rá

C B'

-re a

C E = q - p

távolságot.
Az

E

-n átmenő és a

C B'

iránnyal

γ / 2

szöget bezáró

e

egyenes metszi ki

i

-ből az

I

pontot.
Végül az

A

és

B

pont az

A' I

-nek

B' C

-vel és

B' I

-nek

A' C

-vel való metszéspontja.
Ha az elemzés gondolatmenetét meg akarjuk fordítani, nehéz hol elkezdeni. Az

A

-ból

B C

-vel és

B

-ből

A C

-vel párhuzamos egyenes

e

-n metszi-e egymást ? A keletkező háromszögnek

A A'

B B'

szögfelezői-e,

A B

A B'

és

A' B

egyenlők-e ? Egyik sem látszik könnyű kérdésnek. A megoldást, a leírt szerkesztés helyességének igazolását feladatul tűzzük ki.

¹Lásd 198. old.

²Hasonlóan a közölt III. megoldáshoz, 200. old.

³Lásd 1398. feladat, 222. old.