A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1261. feladat tetszés szerinti háromszögre fogalmazva az háromszög megszerkesztését kívánta, ha adott a és a szakasz, továbbá a . Az alábbiakban egy olyan megoldást mutatunk be, amelyik csupán az I. gimnázium tananyagára támaszkodik, a hasonlóság fogalmát sem használja fel , viszont nem könnyű belátni, hogy valóban a kívánt tulajdonságú háromszöget kapunk. Ennek bizonyítását feladatul fogjuk kitűzni. Az áttekinthetőség kedvéért tegyük fel, hogy ha a két távolság különböző, a kisebbet jelöltük -vel. Ez nem jelent megszorítást. Mérjük rá a oldal -n túli és a oldal -n túli meghosszabbítására az távolságot, jelöljük és metszéspontját -vel. Ekkor , , és az és egyenlő szárú háromszögek szárai alkotta külső szögek az háromszög és szöge. Így
Húzzunk másrészt párhuzamost -ból -vel és -ből -vel, metszéspontjuk legyen . Ekkor , . Így és az háromszög szögfelezői, tehát is felezi a -nél levő nagyságú szöget, mert a harmadik szögfelező is átmegy -n. Jelöljük és metszéspontját -vel. Ekkor , tehát az háromszög egyenlő szárú, így
Meggondolásaink a következő szerkesztéshez vezettek: Szerkesszünk egy háromszöget, amelynek két oldala , , és a köztük levő szög . Rajzoljuk meg azt az körívet, amelyről az szakasz szögben látszik és amelyik az egyenes ugyanazon oldalán van, mint a pont. Mérjük rá -re a távolságot. Az -n átmenő és a iránnyal szöget bezáró egyenes metszi ki -ből az pontot. Végül az és pont az -nek -vel és -nek -vel való metszéspontja. Ha az elemzés gondolatmenetét meg akarjuk fordítani, nehéz hol elkezdeni. Az -ból -vel és -ből -vel párhuzamos egyenes -n metszi-e egymást ? A keletkező háromszögnek , szögfelezői-e, , és egyenlők-e ? Egyik sem látszik könnyű kérdésnek. A megoldást, a leírt szerkesztés helyességének igazolását feladatul tűzzük ki. Lásd 198. old.Hasonlóan a közölt III. megoldáshoz, 200. old.Lásd 1398. feladat, 222. old. |