Cím:	1964. évi fizika OKTV feladatai
Füzet:	1964/október, 81 - 86. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Az I. forduló feladatai:   I. $\alpha$ hajlásszögű lejtőn $M$ tömegű hasáb ütközőnek támaszkodva nyugalomban van. A hasábba a lejtő síkjával párhuzamosan, alulról felfelé $m$ tömegű lövedéket lövünk $v$ sebességgel. Mennyi idő alatt ér vissza a hasáb az ütközőig? A hasáb és a lejtő között a súrlódási együttható $\mu$. A lövedék behatol a hasábba. A behatolási idő alatt a hasáb elmozdulása elhanyagolható. A nyugalmi és a mozgási súrlódási együtthatót egyenlőnek vehetjük.     1. ábra   Megoldás: A lövedék benn marad a hasábban, tehát rugalmatlan ütközéssel van dolgunk (1. ábra). Az impulzustörvény értelmében a hasáb a benne levő golyóval együtt $\begin{array}{c}{\displaystyle c=\frac{mv}{m+M}}\end{array}$ sebességgel indul el. A hasáb a benne levő lövedékkel együtt egyenletesen lassuló mozgással mozog, amelynek gyorsulása $\begin{array}{c}{\displaystyle a_t=g\text{sin}\alpha +\mu g\text{cos}\alpha =g\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ A felfelé haladás ideje: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_t=\frac{c}{a_t}=\frac{mv}{\left(m+M\right)g\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)}\mathrm{.}}\end{array}$ A felmenés útja: $\begin{array}{c}{\displaystyle s=\frac{c^2}{2a_t}=\frac{m^2{v}^2}{2{\left(m+M\right)}^{2}g\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)}\mathrm{.}}\end{array}$ A legmagasabb helyzet elérése után a hasáb egyenletesen gyorsuló mozgással jön lefelé, melynek gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_t=g\left(\text{sin}a-\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ A lecsúszás ideje $s=a{t}^2/2$ alapján: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle t_1=\sqrt[]{\frac{2s}{a_1}}=\sqrt[]{\frac{m^2{v}^2}{{\left(m+M\right)}^{2}g\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)g\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{mv}{\left(m+M\right)g}\cdot \frac{1}{\sqrt[]{\text{sin}{}^2\alpha -{\mu }^2\text{cos}{}^2\alpha }}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A hasáb visszaérkezéséig eltelő összes idő: $t=t_t+t_1$.   Ha a lejtő szöge kisebb a súrlódási határszögnél, akkor a hasáb egy darabot csúszik felfelé, de ott ragad, nem indul el visszafelé.   2. Milyen irányban kell egy vitorláshajó vitorláját beállítani ahhoz, hogy délkeletről fújó szél esetében, a horgony felhúzása után a hajó nyugati irányban maximális gyorsulással induljon el? A vitorláshajó testének méretei a vitorla felületének nagyságához képest elhanyagolhatók. A hajótest menetirányú közegellenállása kicsiny, keresztirányban viszont gyakorlatilag végtelennek tekinthető.     2. ábra   Megoldás: A szél által kifejtett erőt a ${45}^{\circ }$-ban felfelé irányuló $P$ vektornyíl jelzi (2. ábra). Ennek az erőnek a vitorlára merőleges $x$ összetevője: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=P\text{sin}\left({45}^{\circ }+\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ $P$ erő vitorla irányába eső összetevőjét hatástalannak tekintjük. A hajótest csak hossztengelye irányában képes elmozdulni, ezért a hajó hossztengelyét nyugati irányban kell beállítani, és ki kell számítanunk $x$ erő nyugati irányba eső $y$ összetevőjét: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=x\text{sin}\alpha =P\text{sin}\alpha \cdot \text{sin}\left({45}^{\circ }+\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ Feladatunk annak megállapítása, hogy $y$ az $\alpha$ szög mely értéke mellett a legnagyobb. Alkalmazzuk ezt a helyettesítést: $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =\beta -22\mathrm{,}{5}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt felhasználva: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle y=P\text{sin}\left(\beta -22\mathrm{,}{5}^{\circ }\right)\cdot \text{sin}\left(\beta +22\mathrm{,}{5}^{\circ }\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =P\left(\text{sin}{}^2\beta -\text{sin}{}^{2}22\mathrm{,}{5}^{\circ }\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A zárójeles összeg második tagja állandó, tehát $y$ akkor a legnagyobb, ha $\beta ={90}^{\circ }$; ebből következően: $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha ={90}^{\circ }-22\mathrm{,}{5}^{\circ }=67\mathrm{,}{5}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a vitorlának feleznie kell a menetirány és a szél szögét.   3. Földalatti kéterű kábelben az $A$ és $B$ helyek között valahol átvezetés van. A kábel $A$ és $B$ helyeken hozzáférhető. Az átvezetés helyének felderítése céljából a kábel két erét először a $B$ helyen kötik össze, és megmérik $A$ helyen az ellenállást $\left(R_1\right)$. Majd a mérést megismétlik úgy, hogy az $A$ helyen az 1‐1$\text{'}$ pontokat kötik össze, és $B$ helyen 2‐2$\text{'}$ pontok között mérik meg az ellenállást $\left(R_2\right)$. Az $A$ és $B$ helyek egymástól való távolsága $\left(L\right)$ ismert. A kábel egységnyi hosszának az ellenállása