A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első feladat. Legyen egy természetes szám. Tekintsük az olyan , számpárokat, amelyekben és természetes számok, és legkisebb közös többszörösük (ha és különböző, akkor az , számpárt a , számpártól különbözőnek tekintjük). Bizonyítsuk be, hogy az ilyen számpárok száma megegyezik pozitív osztóinak számával.
Megjegyzések. 1. A feladat szövegének zárójelbe foglalt kiegészítése más szóval azt jelenti, hogy nem olyan , számpárok számát vizsgáljuk, amelyekben a két szám sorrendje közömbös, hanem az , rendezett számpárokét, hogy tehát az összeszámláláskor két számpár csak akkor tekintendő azonosnak, ha bennük az első számok és a második számok is egyenlők. 2. A feladat alábbi megoldásaiban használjuk a következő, általánosan is használt jelöléseket: természetes számok körében (, ) az , számok legnagyobb közös osztóját, , a legkisebb közös többszörösüket, pedig azt jelöli, hogy osztója -nek.
I. megoldás. Legyen törzstényezős felbontása ahol különböző törzsszámok, pedig nem-negatív egész számok. Minthogy a vizsgált számpárokra , az , számok törzstényezői is csak a törzsszámok közül valók lehetnek. Vizsgáljuk meg, hogy pl. mekkora kitevővel szerepelhet -ban és -ben. E két kitevő között miatt -nek is szerepelnie kell, és egyik sem lehet -nél nagyobb. Ez háromféleképpen következhetik be: 1. kitevője mindkét helyen , ez lehetőség; 2. kitevője -ban , -ben viszont kisebb, tehát a számok valamelyike, ami lehetőséget jelent; 3. kitevője -ben és -ban kisebb, ami ismét lehetőséget ad. Az összes lehetőségek száma ezek szerint . Hasonlót mondhatunk a többi törzstényezőről is. Minthogy pl. kitevőinek rögzítése után a többi kitevő számára ugyanazok a lehetőségek maradnak meg, a vizsgált , számpárok száma az egyes törzstényezőkre számba vett lehetőségek szorzata: | | Meg kell még mutatnunk, hogy osztóinak száma ugyanennyi. Ez nyomban belátható abból, hogy osztóiban pl. kitevője lehet, azaz lehetőség van, s hogy az így adódó lehetőségek számát ismét össze kell szorozni, hiszen az egyes törzstényezőkre vonatkozó lehetőségek egymástól ismét függetlenek.
Megjegyzés. Megoldásunkban az kitevő lehetőséghez vezetett. Ehhez az értékhez a következő, bonyolultabb módon is eljuthatunk: Az -ban és -ben szereplő kitevők egyike sem nagyobb -nál, azaz mindkettő a értékek valamelyike. Eszerint lehetőség adódik mindegyik megválasztására, és lehetőség a kitevőpár számára. E lehetőségek közül azonban csak azok felelnek meg, amelyekben legalább egyszer maga az érték is szerepel. Ki kell tehát zárnunk azokat az eseteket, amelyekben mindkét kitevő a számok közül való. Ez összesen lehetőség kirekesztését jelenti, s ezért a tényleges lehetőségek száma . Ez a bonyolultabb út azért tanulságos, mert magyarázat nélkül érthetővé teszi, hogy ha az , számpár helyett olyan számsorozatok számát keressük, amelyekben szereplő számok legkisebb közös többszöröse , akkor feleletül | | adódik.
II. megoldás. A feladat állítását azáltal bizonyítjuk, hogy a vizsgált , rendezett számpárok és osztói között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesítünk. Az , számpárhoz azt a számot rendeljük hozzá, amelyre Ez a valóban egész szám, mert miatt , s így a baloldali törtet egész számmal kell bővíteni, hogy a jobboldali alakot vegye fel. Ez azt is mutatja, hogy valóban osztója, hiszen az számlálót egy másik osztójával ti. -vel szorozva adódik. Fel fogjuk használni, hogy ha , akkor | | (2) | Két szám legkisebb közös többszörösének keresésekor ugyanis két olyan, lehetőleg kicsiny egész számot kell keresnünk, amelyekkel az egyiket és a másikat megszorozva ugyanahhoz az eredményhez jutunk. Ezeknek az egész számoknak a megválasztása eszerint csak a megadott két szám arányától függ. Ha tehát az , számpárról az ugyanolyan arányú , számpárra térünk át, akkor ‐ miként állítottuk ‐ a legkisebb közös többszörös is velük arányosan változik meg. Bebizonyítjuk most, hogy különböző , és , számpárokhoz nem tartozhat ugyanaz a szám. Ha ez így volna, akkor rájuk s ennek következtében is teljesülne. Minthogy pedig , szerint és adódik, ami állításunk helyességét bizonyítja. Be kell még bizonyítanunk, hogy minden osztója szerepel az , számpárokhoz tartozó számok között. Ennek bizonyítása végett a törtet redukált alakra hozzuk, ahol tehát . Elég bebizonyítanunk, hogy , mert akkor szerint a tört olyan törtté bővíthető, amelyre az feltétel is teljesül. Eszerint már csak és bizonyítása a feladatunk. Az utóbbi nyilvánvalóan helyes, hiszen egy nevezőjű tört egyszerűsítése után lépett fel nevezőként. A -re vonatkozó állítás következménye, mert itt a baloldalon egész szám áll, ezért a jobboldalon is, azaz . Minthogy pedig , eredményünkből is következik.
III. megoldás. Az előző megoldáshoz hasonlóan okoskodunk és ugyanúgy indulunk el. A vizsgált számpárokhoz ismét előírásával rendeljük hozzá egy-egy osztóját. -ből -re hivatkozva következik, hiszen . Eszerint ismeretében és már meghatározható: valamely osztója tehát csak ehhez az egyetlen , számpárhoz tartozhatik hozzá. Ha , akkor egész számokat szolgáltat, hiszen és egyaránt közös többszöröse a , számoknak, ezért legkisebb közös többszörösük egész számszorosa. Ha tehát valamely osztójából kiindulva előírásával az , számpárt képezzük, olyan egész számokat kapunk, amelyekre a -gyel egyenértékű is teljesül, ami csak esetén következhetik be. Ezek szerint minden osztója szerepel az , számpárjainkhoz rendelt számok között.
Második feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy konvex -szög átlói közül nem lehet -nél többet úgy kiválasztani, hogy bármely kettőnek legyen közös pontja.
1. ábra I. megoldás. Egy konvex -szögben átlót választunk ki úgy, hogy közülük bármely kettőnek legyen közös pontja (1. ábra). Két csúcsot akkor mondunk szomszédosnak, ha kiválasztott átló köti össze őket. Egy csúcs akkor -edfokú, ha csúccsal szomszédos. Az -edfokú csúcsok számát -vel jelöljük. Ezek szerint hiszen a baloldal értéke akkor volna , ha azoknak a csúcsoknak a számát is hozzáadnók, amelyeknek nincs szomszédjuk, azaz nem indul ki belőlük kiválasztott átló. Ha valamely csúcs fokszáma , akkor a belőle kiinduló kiválasztott átlók közül két ,,szélső'' közrefog egyet vagy többet. Az ilyen közrefogott átló másik végpontjában nem csatlakozhat hozzá kiválasztott átló, mert annak nem lehetne közös pontja a két ,,szélső'' mindegyikével. Eszerint esetén minden -edfokú csúcs legalább elsőfokú csúccsal szomszédos. Minden elsőfokú csúcs természetesen csak legfeljebb egy magasabb fokú csúccsal lehet szomszédos. Ebből az elsőfokú csúcsok számára következik, hiszen a harmadfokú csúcsok legalább egy-egy elsőfokúval szomszédosak, a negyedfokúak legalább kettővel-kettővel, stb. A darab kiválasztott átlónak összesen vége van. Ezek a végek a csúcsoknál helyezkednek el, minden -edfokú csúcsba vég fut. Ezek szerint Ebből az egyenletből az előzők felhasználásával
következik. Bebizonyítottuk tehát, hogy valóban .
Megjegyzések. 1. Megoldásunk az átlókról csak azt használta ki, hogy azok a csúcsokat összekötő egyenes szakaszok. Változatlanul helyes marad tehát a megoldás, ha a sokszög oldalait is az átlói közé soroljuk, ha tehát azt bizonyítjuk, hogy egy konvex -szög csúcsait összekötő szakaszok közül nem lehet -nél többet úgy kiválasztani, hogy bármely kettőnek legyen közös pontja. 2. Csak ott gondoltunk arra, hogy egy konvex sokszög csúcsairól van szó, ahol a ,,közrefogott'' átlókról mondhattuk, hogy elsőfokú csúcsokba vezetnek. Itt sincs azonban erre szükség. Ha egy pontból más-más irányba három szakasz indul, akkor sohasem csatlakozhat mindegyikhez annak végpontjában olyan szakasz, amelynek a pontból kiinduló másik két szakasz mindegyikével van közös pontja. Ha ugyanis a három szakasz egy a ponton áthaladó egyenes által határolt félsíkban van, akkor nem mondtunk újat; ha viszont nem ez a helyzet, akkor a három szakasz egyikéhez sem csatlakozhat annak végpontjában olyan szakasz, amelynek van közös pontja a másik kettő mindegyikével. Ezek szerint azt is bebizonyítottuk, hogy ha a sík pontja közül egy egyenesen sincs kettőnél több, akkor e pontokat összekötő szakaszok közül nem lehet -nél többet úgy kiválasztani, hogy bármely kettőnek legyen közös pontja. Szükség volt itt arra a megszorításra, hogy kettőnél több pont nincs egy egyenesen. Nemcsak azért, hogy bizonyításunk, amely más-más irányba induló szakaszokról szólt, alkalmazható legyen, hanem azért is, mert pl. egy egyenesen egymást követően felvett , , , pontok , , , , összekötő szakaszai már ellentmondanának a megszorítás nélkül kimondott állításnak. 3. Megemlítjük végül, hogy a most említett általánosítások ugyanúgy kiolvashatók a következő megoldásból is.
II. megoldás. Bebizonyítjuk, hogy ‐ miként megjegyzésünkben már említettük ‐ ha nemcsak az átlókból válogathatunk, hanem az oldalakból is, akkor sem választható ki -nél több, páronként közös ponttal rendelkező szakasz. Ha az -szög csúcsai között van elsőfokú, tehát olyan, amelyből csak egy kiválasztott szakasz indul ki, akkor hagyjunk el ábránkból egy ilyen szakaszt. Eredetileg szakasz szerepelt, és együttesen végpontjuk volt. Az elhagyás után csak szakasz maradt, és végpontjaik száma is legalább -gyel kisebb: . Ha lehetséges, hagyjunk el ismét ugyanúgy egy szakaszt. Ezáltal szakaszhoz jutunk, amelyek végpontszáma . Folytassuk ezt, amíg csak lehetséges. Végül szakaszhoz jutunk, amelyeknek együttesen végpontjuk van. Az így kapott ábrában már nincs elsőfokú szögpont, de nincs -nél nagyobb fokszámú sem, mert ha egy csúcsból három szakasz is kiindul, akkor a ,,közrefogott'' szakaszok végpontja csak elsőfokú lehet, amint ezt az előző megoldásban is felhasználtuk. A végábrában ezek szerint minden végpont másodfokú. A szereplő szakasz vége tehát párosával esik egybe, azaz pontba fut. Az eredmény akkor is helyes, ha az elhagyogatások befejezése után egyetlen szakasz sem marad meg, mert akkor és . A eredményből az előzők szerint , azaz következik, ami a feladat állítása volt.
III. megoldás. Közömbös, hogy melyik konvex -szög átlói közül akarunk megfelelő módon lehető legtöbbet kiválasztani, hiszen két átló közös pontjának létezése csak azon múlik, hogy az átlók végpontjai a sokszög határán elválasztják-e egymást, illetőleg vannak e közöttük egybeesők. Elég ezért, ha a feladat állítását a szabályos -szögre bizonyítjuk be. A szabályos -szög átlóit csoportokba soroljuk, egy csoportba sorolva az egymással párhuzamosakat. Ha belátjuk, hogy nincs -nél több csoport, bebizonyítottuk a feladat állítását, hiszen akkor -nél több átló kiválasztásakor arra kényszerülünk, hogy egy csoportból több átlót válasszunk ki, s az ilyen párhuzamos átlóknak nincs közös pontjuk. Az említett csoportok száma valóban nem lehet -nél nagyobb. Ha ugyanis a sokszög középpontjából merőlegest állítunk egy átlóra, ez a merőleges egyenes a sokszögből csak csúcsban vagy egy oldal felezőpontjában léphet ki, ti. aszerint, hogy a sokszög kerületének az átló végpontjait összekötő, a merőleges által felezett része páros vagy páratlan sok oldalból áll-e (2. ábra). Minthogy csúcs és oldalfelezőpont van, minthogy továbbá minden merőleges e pont közül más-más kettőt metsz ki, csak ilyen merőleges lehet. Mivel az egy csoportba sorolt átlók ugyanarra az egyenesre merőlegesek, a csoportok száma valóban nem lehet -nél nagyobb.
2. ábra
Megjegyzések. 1. Beláttuk, hogy a feladat előírása szerint nem választható ki -nél több átló. Kérdés, átló kiválasztható-e. Nyilván nem választható ki, ha értéke vagy , mert a háromszögnek nincs átlója, a négyszögnek pedig csak két átlója van. Ha viszont , akkor mindig kiválasztható átló az előírt módon, amint ezt a 3. ábra könnyen általánosítható példája bemutatja. Igaz marad ez természetesen akkor is, ha az oldalak kiválasztását is megengedjük. Ebben az esetben azonban nincs már szükség a háromszög és a négyszög kirekesztésére.
3. ábra Nem választható ki viszont minden esetben páronként közös ponttal rendelkező összekötő szakasz, ha nem egy konvex sokszög csúcsairól, hanem a sík pontjáról van szó. Ha az egyik pontot az összes többivel összekötjük, az előírást kielégítő szakaszt kapunk. Többet nem kaphatunk pl. akkor, ha az csúcsairól és a háromszögben haladó körív további pontjáról van szó (4. ábra). Ezt a következőképpen láthatjuk be:
4. ábra -ból csak szakasz indul ki. A ív pontját összekötő szakaszok közül is csak választható ki az előírásnak megfelelően, hiszen ezek egy konvex -szög csúcsai. Ha -ból induló szakaszt is és a ív pontjait összekötő szakaszt is kiválasztunk, akkor ezek közös pontja csak az -ból induló szakasz másik végpontja lehet. Ha tehát a kiválasztott szakaszok között csak egyetlen -ból induló van, akkor ennek másik végpontja szükségképpen minden más kiválasztott szakasznak is végpontja, s ezért így is csak szakaszhoz juthatunk. Ha viszont két -ból induló szakaszt és a ív egy húrját is kiválasztjuk, akkor ezek szükségképpen háromszöget alkotnak, és további szakasz már nem választható hozzájuk az előírás megsértése nélkül. Megemlítjük itt még, hogy ha tetszőleges -szög esetében csak a belső átlók közül válogathatunk, akkor még páronként közös ponttal rendelkező sem választható ki minden esetben, hanem csak . Az 5. ábra példája mutatja, hogy többet nem követelhetünk meg. Nem nehéz bebizonyítani, hogy ha , akkor két csatlakozó belső átló mindig található, e bizonyítást azonban az olvasóra hagyjuk.
5. ábra 2. Felmerül a kérdés, hogy ha a sík (hármasával nem egy egyenesen elhelyezkedő) pontját összekötő szakaszok közül ki lehet választani páronként közös ponttal rendelkezőt, akkor ez az szakasz milyen ábrát alkothat. Bebizonyítjuk, hogy csak egy páratlan oldalú csillagsokszög adódhat, amelyhez még a csúcsaiból induló, az odafutó oldalak szögtartományában haladó szakaszok járulhatnak (6. ábra).
6. ábra Második megoldásunk mutatja, hogy az elsőfokú pontokba futó szakaszok elhagyása után csupa másodfokú ponttal rendelkező ábrához kell jutnunk (ehhez az eredményhez I. megoldásunk alapján is eljuthatunk). Ez az ábra most nem lehet üres, mert akkor az utolsó elhagyás egyszerre két végpontot szüntetne meg, s így csak az egyenlőtlenség lehetne érvényes, ami kizárja teljesülését. Eszerint az elhagyások után maradó ábrában zárt töröttvonal található, mert valamelyik szakaszon elindulva a pontok másodfokúsága miatt mindig folytathatjuk utunkat csatlakozó szakaszon, és így valamikor már bejárt szakaszhoz kell érnünk. Minthogy az ilyen zárt töröttvonal szakaszai vagy csatlakoznak, vagy metszik egymást, csillagsokszöghöz jutottunk. Ennek szükségképpen páratlan sok csúcsa van. Ha ugyanis egy szakasza, akkor a további csúcsok a szakaszok metszése miatt váltakozva az egyenes egyik és másik oldalán helyezkednek el, de közülük az -val és -vel szomszédos ugyanazon az oldalon van, hiszen az ezeket -vel összekötő szakaszok is metszik egymást. Megvizsgáljuk, hogy a már megtalált csillagsokszögön kívül milyen szakaszok szerepelhetnek még az eredeti ábrában. Ha egy pont a csillagsokszög csatlakozó , oldalai által meghatározott szögtartományban vagy csúcsszögének tartományában van, akkor belőle csak -be futhat szakasz, mert különben nem volna közös pontja és mindegyikével. Ilyen szakasz is csak akkor felelhet meg, ha magában az szögtartományban van, mert különben nem volna közös pontja a csillagsokszög további oldalaival, amelyek ezen a szögtartományon belül kötik össze az , szakaszokat. Állításunk teljes bizonyításához elég már csak azt igazolnunk, hogy a sík minden pontja a csillagsokszög valamelyik szögének vagy szöge csúcsszögének tartományában helyezkedik el. Ennek igazolására az egyenest körül elforgatjuk úgy, hogy az szögnek és csúcsszögének tartományát végigsöpörve helyzetbe jusson. Ezt követően körül forgatjuk el ugyanúgy, majd a következő csúcs körül, míg végül is eredeti helyzetébe tér vissza, tehát együttesen egész számú többszörösével fordul el. Nem lehetséges azonban, hogy az egyenes -nál többet forduljon el. Az ellenkező esetben ugyanis egyenesünk az első félfordulat során olyan helyzetet is elfoglal, amelyen a csillagsokszög egyetlen csúcsa helyezkedik csak el, ti. az, amely körül éppen forgatunk. A második félfordulat során egyenesünk -val párhuzamos helyzetbe jut. Azonos helyzetről nem lehet szó, mert nem tartalmaz második csúcsot. A párhuzamos , egyenesek mindegyike kettévágja a csillagsokszög egy-egy szögét, ezért e szögek egy-egy szára a párhuzamosok sávján kívül helyezkedik el. Így tehát az ezeket a szárakat szolgáltató sokszögoldalaknak a feltételezett esetben nem lehetne közös pontjuk. Már csak azt kell belátnunk, hogy ha egy egyenes a síkban mozog, és -os elfordulás után eredeti helyzetébe tér vissza, akkor mozgása során a sík minden pontján áthalad. Ez valóban így van, mert ha valamely pontnak nem volna meg ez a tulajdonsága, akkor -ből mindig félegyenest indíthatunk, amely a mozgó egyenest merőlegesen metszi. Ez a félegyenes körül forog, és a -os elfordulás után ellentétes irányú lesz. Nem metszheti ezért merőlegesen ugyanazt az egyenest, amelyet a mozgás kezdetekor metszett. 3. Felvetjük azt a kérdést is, hogy hányat kell kiválasztani egy konvex -szög átlói közül, hogy bizonyosan legyen ezek között olyan, amelyeknek páronként nincs közös pontja. Feladatunk a esettel foglalkozott. Ebben az esetben átló kiválasztása megfelel, de kevesebb nem. Könnyű belátni, hogy a felvetett általános esetben átló kiválasztása megfelel, sőt megfelel akkor is, ha nemcsak az átlók, hanem az oldalak közül is válogathatunk. Ez harmadik megoldásunkból szinte közvetlenül kiolvasható, mert ha átlót vagy oldalt választunk ki az csoportból, akkor valamelyikből legalább -et kell kiválasztanunk. Nehezebb megmutatni, hogy kisebb szám nem felel meg. Megmutatjuk, hogy ez valóban így van, vagyis olyan előírást adunk a konvex -szög átlói közül átló meghúzására, hogy ne lehessen ezek közül páronként közös pont nélküli átlót kiválasztani. Csak akkor van értelme ilyen előírás megadásának, ha az -szögnek egyáltalában van páronként közös pont nélküli átlója. Ez csak akkor igaz, ha . Ha ugyanis olyan átlókat tekintünk, amelyeknek nincs közös pontjuk, akkor bármelyiknek bármelyik oldalán vagy található olyan csúcs, amely nem végpontja átlóink egyikének sem, vagy pedig van ezen az oldalon további átló. Ez utóbbi esetben tovább haladhatunk, és esetleg újabb meg újabb átlóhoz jutunk, de végül is el kell jutnunk olyan csúcshoz, amely átlóinknak nem végpontja. Ilyen csúcs ezek szerint legalább kettő van, ti. egy átló mindkét oldalán legalább egy. Ha tehát átlóról van szó, akkor ezek végpontján kívül még legalább két csúcsnak kell lennie. Legyen tehát , és legyenek az -szög csúcsai sorban | | Rajzoljuk meg ebben a konvex -szögben mindazokat az átlókat, amelyeknek legalább az egyik végpontja jelű, továbbá kivételével mindazokat az átlókat, amelyek két jelű csúcsot kötnek össze (7. ábra; a 3. ábra a esetben ugyanezt mutatja be). Könnyű ellenőrizni, hogy összesen átlót rajzoltunk meg.
7. ábra Állítjuk, hogy ezek közül az átlók közül csak darab páronként közös pont nélküli választható ki. Ezt -ra vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk be. Már tudjuk, hogy állításunk a esetben helyes. Legyen tehát , és tegyük fel, hogy állításunk minden olyan esetben helyes, amikor szerepét -nál kisebb szám tölti be. Ha valamennyi kiválasztott átlónak van jelű csúcsa is, akkor számuk nem lehet -nál nagyobb, hiszen csak darab jelű csúcs van. Elég ezért azzal az esettel foglalkoznunk, amikor olyan átlót is kiválasztunk, amely két jelű csúcsot köt össze. Megvizsgáljuk, hogy két oldalán hány további átló választható ki. Vágjuk fel tehát -szögünket két sokszögre, -re és -re. csúcsai csak és jelűek, csúcsai között pedig a jelűek is szerepelnek. Helyezkedjék el a jelű csúcsok közül darab határán, pedig határán. Nyilván , viszont is lehetséges. Azt állítjuk, hogy -ben csak olyan átló választható ki, amelyeknek egymással és -val nincs közös pontjuk. Már beláttuk, hogy darab páronként közös pont nélküli átló csak legalább oldalú sokszögben van. legfeljebb éppen ennyi oldalú lehet (ha ti. vagy is szerepel végpontjai között), azonban olyan átlók számát vizsgáljuk, amelyeknek -val sincs közös pontjuk. Az ilyen átlók pedig annak az sokszögnek is átlói, amelyet -ből kapunk, ha egy átlójával a oldalt és egy szomszédos oldalát levágjuk (8. ábra). Minthogy legfeljebb oldalú, -ből sem lehet az előírt módon átlónál többet kiválasztani. -ben csak akkor van egyáltalában átló a megrajzoltak közül, ha , azaz van -nek jelű csúcsa is. Feltesszük tehát, hogy . Vizsgáljuk meg, hogy határán a csúcsok betűjelzése olyan elrendezésű-e, mint -szögünkben, természetesen helyett csak darab jelű csúccsal. Ez bekövetkezik, ha végpontjai között vagy is szerepel. Minden más esetben ugyancsak elérhetjük ezt azáltal, hogy -bő1 egy átlóval a oldalt és egy csatlakozó, jelű pontba vezető oldalt levágunk (8. ábra). A kiválasztható átlók számát vizsgálva az így kapott sokszögre térhetünk át, hiszen csak olyan átló választható ki, amelynek -val sincs közös pontja. Minden esetben alkalmazhatjuk tehát az indukciós feltevést, s ezért kimondhatjuk, hogy -ből a követelményt kielégítő módon nem lehet átlónál többet kiválasztani.
8. ábra Ezek szerint az általunk megrajzolt átló közül kiválasztható, páronként közös pont nélküli átlók száma (magára -ra is gondolva) valóban legfeljebb . Megoldatlan kérdés, hogy ha a most tárgyalt problémát nem egy konvex -szögre, hanem a sík pontjára vetjük fel, vajon szintén adja-e a feleletet. 4. Feladatunk problémájának utolsó általánosításaként még az angol Conway sejtését említjük meg. E sejtés szerint, ha a sík pontját összekötő vonalakat rajzolunk, amelyek közül bármely kettőnek vagy van közös végpontja, vagy pedig egyetlen pontban metszik egymást, de más közös pontjuk nincs, akkor ezeknek az összekötő vonalaknak a száma csak legfeljebb lehet. Hangsúlyozzuk, hogy vonalak érintkezési pontja nem metszéspont, a vonalak érintkezését kizártuk. Eldöntetlen kérdés, hogy vajon ez a sejtés helyes-e. Említést érdemel, hogy a vizsgált ábrák itt lényegesen mások, mint az összekötő szakaszokra felvetett problémánál, és nem csak a vonalak görbülése miatt. Ezt a 9. ábra is mutatja, melyben pontot vonal köt össze az előírásnak megfelelően, mégpedig ciklikus módon. Láttuk, hogy szakaszok esetében ez csak páratlan sok pontra lehetséges.
9. ábra Olvasóink is megkísérelhetik a vonalakra vonatkozó probléma megoldását. Ha valakinek sikerül az előírásnak megfelelően úgy rajzolnia vonalakat, hogy számuk nagyobb, mint végpontjaik együttes száma, akkor megoldotta a problémát. Nehezebb a probléma lezárása, ha nemcsak nem sikerül ilyen ábrát rajzolni, hanem ilyen ábra nincs is. Ebben az esetben ennek bebizonyítására volna szükség.
Harmadik feladat. Az gúla tartalmazza (belsejében vagy határán) a -től különböző pontot. Bizonyítsuk be, hogy a , , távolságok között van olyan, amely kisebb a , , távolságok valamelyikénél.
I. megoldás. Feltehetjük, hogy nincs a , , oldaléleken, mert ha pl. a élnek -től különböző pontja, akkor . Elég megmutatnunk, hogy az , , háromszögek valamelyike -nél derékszögű vagy tompaszögű. Ha ugyanis pl. az ilyen, akkor a legnagyobb oldala, s ezért (10. ábra).
10. ábra -ből induló, -vel hegyesszöget bezáró félegyenesek annak a féltérnek a belsejében haladnak, amelyet a -ben -re merőlegesen állított sík határol, s amely tartalmazza a pontot. Ha tehát az előbb említett háromszögek -nél mindannyian hegyesszögűek, akkor a gúla minden csúcsa a mondott féltér belsejében van, tehát maga a gúla is, s ez ellentmond annak, hogy a féltér határsíkján helyezkedik el. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy háromszögeink között valóban van olyan, amely -nél nem hegyesszögű.
11. ábra II. megoldás. A ponton át az síkra merőlegest állítunk. Legyen ennek a merőlegesnek az síktól legtávolabbi, még a gúlához tartozó pontja (11. ábra). tehát az , , oldallapokon helyezkedik el, legyen pl. az lapon. Állítsunk ennek síkjában a ponton át merőlegest az egyenesre. Legyen ennek a merőlegesnek az egyenestől legtávolabbi, még az háromszöghöz tartozó pontja. tehát az , oldaléleken helyezkedik el, legyen pl. az szakasznak pontja. Ha egy pontot merőlegesen távolítunk egy síktól vagy egy egyenestől, akkor a sík minden pontjától, illetőleg az egyenes minden pontjától távolodik. Ezért Mindenütt meg kellett engednünk az egyenlőséget is, hiszen , , mindegyike lehetséges. Mindezek azonban egyszerre nem teljesülhetnek, mert nem azonos -vel. Ezért legalább egy helyen az egyenlőtlenség jele érvényes, és így . III. megoldás. A szakaszt merőlegesen felező sík kettévágja gúlánkat, hiszen és a sík más-más oldalán van, és a gúlához tartozik. Ebből következik, hogy e sík által határolt félterek mindegyikének a belsejében van csúcsa a gúlának, mert ha az egyikben nincs, akkor a csúcsaival együtt az egész gúla is a másik féltérben van, s így a sík nem vághatná ketté a gúlát. Ha pl. az csúcs a pontot tartalmazó féltér belsejében van, akkor , hiszen e féltér belső pontjai közelebb vannak -hez, mint -hez.
Megjegyzések. 1. Mindhárom megoldásunk a feladat állításán túlmenően azt is bebizonyítja, hogy a , , távolságok között van olyan, amely kisebb, mint a , , távolságok közül a vele azonos végpontú. 2. A második megoldás változtatás nélkül alkalmazható akkor is, ha nem három, hanem akárhány oldalú gúláról van szó. Bizonyítja tehát, hogy egy gúlának a csúcsától különböző (belsejében vagy határán elhelyezkedő) pontja közelebb van az alaplap valamelyik szögpontjához, mint a gúla csúcsa. 3. A harmadik megoldás alapján még többet is kimondhatunk. Módosítás nélkül helyes marad ez a megoldás akkor is, ha benne gúla helyett tetszőleges poliéder szerepel. Bebizonyítja tehát, hogy egy poliéder valamely csúcsától különböző (belsejében vagy határán elhelyezkedő) pont közelebb van a poliéder valamelyik -től különböző csúcsához, mint . Ugyanez az első bizonyítás módszerével is könnyen bizonyítható. 4. Legyenek a háromoldalú gúla oldalélei , egy a gúla csúcsától különböző pontjának az alapháromszög csúcsaitól mért távolságai pedig . Az indexezés itt csak a nagyságrendtől függ, és nem jelenti, hogy az azonos indexűeket azonos végpontú szakaszok adják. Kérdezhetjük, hogy ha megadunk valamilyen , , , , , távolságokat, vajon található-e olyan gúla s abban olyan pont, amelyekhez éppen a megadott értékek tartoznak. Feladatunk kimondja, hogy szükséges ahhoz, hogy ez lehetséges legyen. A második megoldásból könnyen kiolvasható, hogy is szükséges feltétel, hiszen ott , és az egyenlőség nem teljesülhet mind a két esetben. Érdemes megemlíteni, hogy pl. már nem kell, hogy teljesüljön, és nem kell teljesülnie a egyenlőtlenségnek sem. Mindez kiolvasható a 12. ábrából, amelyen a szakaszok mellett azok hossza áll. Ezek a tapasztalatok további szükséges feltételek keresésekor óvatosságra intenek.
12. ábra Vannak azonban még további szükséges feltételek is, mert ha a már említettek mind teljesülnek, ez még nem elégséges ahhoz, hogy valóban található legyen a , , , , , értékeket szolgáltató gúla és pont. Ilyen egyszerű formájú szükséges és elégséges feltétel nem ismeretes. Megkeresése talán érdekes, de nagyon könnyűnek nem látszó feladat.
Hajós György
|