Kezdőlap


Cím:	Erőterek szemléletes ábrázolása
Szerző(k):	Kovács Mihály
Füzet:	1962/május, 233 - 237. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megfigyelések, tapasztalatok

Közismert jelenség, hogy ha egy mágnes közelébe vasdarabot viszünk, a mágnes érezhető erővel magához igyekszik azt vonzani. ‐ Ezt a tényt szemléletesen úgy fejezzük ki, hogy a mágnest mágneses erőtér veszi örül. Hasonlót tapasztalunk az elektromosan töltött test közelében is, ha másik elektromosan töltött testtel közeledünk hozzá. Tehát az elektromosan töltött testet is erőtér veszi körül. Ezt elektromos erőtérnek nevezzük.
Ha egy felemelt téglát elengedünk, az a Föld felé esik, mert a Föld vonzza. Éppen e miatt a vonzóerő miatt van a téglának súlya: nehéz a tégla, mint mondjuk. Így van ez nemcsak a Föld felszínén, hanem a Földet körülvevő térben is. Azonban nemcsak a Föld vonzza a téglát, hanem az egyik tégla is vonzza a másikat. Csak ez az erő igen kicsi, és finom mérőeszközökkel (Eötvös-féle inga) mutatható csak ki. De fennáll és kimutatható! Newton nyomán ezt a jelenséget ,,általános tömegvonzásnak'' nevezzük. ‐ Ezek alapján mondhatjuk, hegy minden testet, és így a Földet is erőtér, az úgynevezett gravitációs vagy nehézségi erőtér veszi körül. ‐ A következőkben igyekszünk a Föld gravitációs erőteréről minél szemléletesebb, mintegy ,,távlati'' képet adni. Ez elő fogja segíteni az elektromos és mágneses erőterek alapfogalmainak (térerő, potenciál) mélyebb megértését is.

A térerő

Ha a Földet körülvevő nehézségi erőteret egy rugós mérlegre akasztott

1 g

-os testtel bejárnánk, érdekes dolgot tapasztalnánk. A Föld felszínén, illetve pontosabban a Párizs melletti Sévres-ben erőmérőnk pontosan

1 p

-ot mutatna, másutt azonban általában nem ennyit. Ha a Föld középpontjától

2

földsugárnyira eltávolodnánk, ott már csak

1 / 4 p

-ot,

3

földsugárnyira

1 / 9 p

-ot,

10

földsugárnyira

1 / 100 p

-ot mutatna. Mindezt röviden úgy mondjuk, hogy a térerő, mely mindenütt a Föld középpontja felé mutat,

2

-szer,

3

-szor,

10

-szer nagyobb távolságban

4

-szer,

9

-szer,

100

-szor kisebb. (L. 1. ábra.) Jelekben:

\begin{matrix} E = f \frac{M}{x^{2}}, \end{matrix}

ahol

f

a gravitációs állandó,

M

a Föld tömege,

x

pedig a Föld középpontjától számított távolság.

1. ábra

2. ábra. A térerő a Föld középpontjától
2-szer, 3-szor

...

nagyobb távolságban
4-szer, 9-szer kisebb

Ha a térerő nagyságát, mint a távolság függvényét ábrázoljuk, és a Föld felszínén

1

-nek vesszük, akkor a 2. ábra görbéjét kapjuk. Az

X

tengely a Föld középpontjától számított távolság földsugarakban, az

Y

tengely pedig a térerő, a Föld felszínén egységnek véve. A görbe jól szemlélteti, hogy a térerő a távolsággal milyen rohamosan csökken. Elvileg bármilyen távolban is van, gyakorlatilag azonban nem túl nagy távolságban már elhanyagolhatóan kicsi. Pl.

60

földsugárnyira a Föld középpontjától (ekkora nagyjában a holdpálya sugara) a térerő, és így a testek súlya is már

3600

-szor kisebb, mint a Föld felszínén. Ilyen távolságban pl. egy

72 kp

-os ember mindössze

20 p

-ot ,,nyomna''.
Szóról-szóra így jellemezhetnénk az elektromos és a mágneses teret is a térerő fogalmával, csak akkor dinamométerünkre nem

1 g

-os tömeget, hanem a pozitív töltésegységet, ill. az egységnyi északi pólust kellene ,,akasztanunk''.

A potenciál

Sokszor nem az érdekel bennünket, hogy mekkora erő hatna ránk a Földtől egy bizonyos távolságban, pl.

1000 km

magasságban, hanem inkább az, hogy mennyi munka árán, mennyi energia fölhasználásával juthatnánk el oda.
Tudjuk, hogy ha a Föld felszínén

1 kp

-ot

1 m

-rel magasabbra emelünk, akkor

1 mkp

munkát végzünk. Azt gondolhatnánk, hogy ha

1 kp

-ot

1000 km

(

1

millió

m

) magasra emelünk, akkor a végzett munka

1

millió

mkp

. ‐ Az előbbiek alapján azonban már tudjuk, hogy ez nem így van. Hisz a Földtől távolabb a vonzóerő egyre kisebb lesz: a távolság négyzetével fordítottan arányos a térerő, és így

1

‐

1 m

-rel továbbvíve az

1 kg

-os testet, egyre kevesebb munkát kell végeznünk.
Vizsgáljuk meg a kérdést pontosabban. Legyen az

m

tömegű test a Föld felszínén (tehát a Föld középpontjától

R

távolságban). Ekkor a rá ható erő:

P_{1} = f \cdot \frac{M \cdot m}{R^{2}}

. Egy bizonyos

h

magasságban (a Föld középpontjától

r

távolságban) a rá ható erő már csak:

P_{2} = f \cdot \frac{M \cdot m}{r^{2}}

. Miközben felemeltük a testet, a

h = r - R

úton munkát végeztünk. Bizonyítható, hogy a végzett munkát akkor kapjuk meg helyesen, ha az elmozdulást a kezdő- és végpontban ható erők mértani középarányosával szorozzuk meg. Tehát miközben a testet

h

magasságra fölemeljük, a végzett munka:

\begin{matrix} L = \sqrt[]{P_{1} \cdot P_{2}} \cdot h = \frac{f \cdot M \cdot m}{r \cdot R} (r - R) = f \cdot M \cdot m (\frac{1}{R} - \frac{1}{r}) . \end{matrix}

(1)

Ebből a formulából egyszerű helyettesítéssel könnyedén megkapjuk az

m

tömegű test tetszőleges

h

magasságba való felviteléhez szükséges munkát.
Még érdekesebb az a kérdés, hogy mennyi munka árán szabadíthatjuk ki a testet a Föld vonzóköréből. Ha az előbbi formulában

r

minden határon túl nő, akkor az

1 / r

tag nullának vehető, és elhagyható. Tehát ezt az egyszerű formulát kapjuk:

\begin{matrix} L = f \cdot \frac{M \cdot m}{R} . \end{matrix}

(2)

Igen szemléletes jelentést kap ez a formula ‐ és mi most éppen a szemléletességet keressük ‐, ha az ismert

m \cdot g = f \cdot \frac{M \cdot m}{R^{2}}

összefüggésből

f \cdot M

-et kifejezzük, és a (2) formulába helyettesítjük:

\begin{matrix} f \cdot M = g \cdot R^{2}, tehát: L = m \cdot g \cdot R . \end{matrix}

(3)

A Föld felszínéről egy testet a végtelenbe (nagyon messzire) elvinni ugyanannyi munkába kerül, mint egy olyan mély kútból, mint a Föld sugara, a Föld felszínére felhozni, a testre ható erőt a kút egész mélységében állandónak tételezve föl. (Jól tudjuk, hogy az utóbbi feltétel a valóságban nem teljesül. Ez azonban a kép szemléletességét nem zavarja. A valóságban a Föld belsejében befelé haladva a térerő állandóan kisebbedik, és a Föld középpontjában nulla. Hisz a ,,felül''-hagyott tömegrészecskék ellenkező irányban vonzzák a testet.)

\begin{matrix} 3. ábra. A Föld gravitációs kútja \end{matrix}

A 3. ábrán mindjárt ebben a szemléletes értelmezésben ábrázoljuk a Föld nehézségi erőterét, ,,gravitációs kútját''. A vízszintes tengelyre a Föld középpontjától való távolságot

(r)

mértük fel a nagyobb szemléletesség kedvéért mindkét irányban szimmetrikusan, a függőleges tengelyre pedig a végzett munkát. A lépték azt a távolságot jelzi, melyből a testet ugyanannyi munka árán hozhatjuk fel. Ha tehát egy űrhajót akarunk kiszabadítani a Föld nehézségi erőteréből, azaz kijuttatni a világűrbe, ahhoz annyi munkát kell végeznünk, mintha egy

6370 km

mély kútból akarnánk azt kiemelni. Nagyon érdekes, az ábrából is leolvasható az a tanulság, hogy ha pl.

100 000 km

magasságra már felvittük az űrhajót, akkor a munka zömét már elvégeztük. Még érdekesebb, de az ábrából már egy kissé nehezebben olvasható le az a következtetés (kiszámítani annál könnyebb az 1. formulából!), hogy ha a testet a Földtől egyetlen földsugárnyira elvittük, akkor a szükséges munkának a felét már elvégeztük.
Más energiaegységekben is kifejezhetjük a végzett munkát. Ha pl. egy

kg

szenet akarunk a Föld felszínéről a bolygók közti térbe kivinni, a végzendő munka

14 700 kcal

. Figyelemre méltó, hogy ugyanakkor

1 kg

jó minőségű szénből is csak

7000 kcal

hőenergiát nyerhetünk. A szén tehát mint fűtőanyag aligha jöhet számításba a fázó űrhajósok számára.

Milyen sebességű lövedék hagyná el a Földet?

Verne idejében még úgy gondolták, hogy az űrhajókat majd az ágyúgolyóhoz hasonlóan indítják: egy bizonyos kezdősebességgel kilövik, és az űrhajó az e réven nyert mozgási energiájának fölhasználásával fogja elhagyni a Föld nehézségi erőterét. Egyszerű okoskodással többféleképpen is kiszámíthatjuk az ehhez szükséges kezdősebességet, ha az egyébként nem jelentéktelen közegellenállástól eltekintünk.
Az I. formula fölhasználásával könnyen kiszámíthatjuk azt a kezdősebességet, mellyel az

m

tömegű testet a Föld felszínéről

h

magasságba (

R

távolságból

r = R + h

távolságba) fel lehet juttatni. Nyilván

\begin{matrix} \frac{1}{2} m \cdot v^{2} = f \cdot M \cdot m (\frac{1}{R} - \frac{1}{r}) . \end{matrix}

Ebből a már előzőleg is használt helyettesítéssel kapjuk:

\begin{matrix} v = R \cdot \sqrt[]{2 g (\frac{1}{R} - \frac{1}{r})} . \end{matrix}

(4)

Ahhoz, hogy a test elhagyja a Föld nehézségi erőterét, az előzőkben már előbb használt okoskodással kapjuk, hogy a következő sebesség szükséges:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 \cdot g \cdot R} . \end{matrix}

Ezt az ún. ,,szökési sebességet'' már minden másodikos szemléletesen is értelmezni tudja: éppen akkora sebesség, amekkorát a test nyerne, ha az előzőkben már megismert ,,gravitációs kút''-ba beleejtenénk. Ez természetesen már az energiamegmaradás törvényének is következménye.
A 4. ábra a Napnak és néhány bolygójának ,,gravitációs kútját'' ábrázolja sebesség léptékben. A vízszintes tengely a Naptól való távolság millió

km

-ekben, a függőleges tengely pedig az illető helyről a végtelenbe való távozáshoz szükséges sebesség

km/sec

-ban. Az egész ábra mintegy a Naprendszerünkről való metszet. A bolygók természetesen általában nincsenek egy egyenesben, mint az ábrán.

\begin{matrix} 4. ábra. A Naprendszer gravitációs kútja sebesség léptékben \end{matrix}

Az ábráról leolvashatjuk, hogy a Föld nehézségi erőterének elhagyására a már megismert

11, 18 km/sec

-os kezdősebesség szükséges. Tekintélyes sebesség ez, hiszen a páncéltörő ágyú golyója is alig

1 km/sec

-os kezdősebességgel indul. A hang sebessége pedig alig több, mint

1 / 3 km/sec

. Mégis

11, 18 km/sec

-os kezdősebességgel indulva a Föld felszínéről, mint a 4. ábra figyelmes tanulmányozásával láthatjuk, csak a Föld gravitációs kútjából sikerül kijutnunk. Ekkor még továbbra is bent vagyunk a Nap gravitációs kútjában. Csak azért nem zuhanunk bele, mert megtartjuk a Földön is már meglevő igen jelentős Nap körüli kerületi sebességünket. Ha a Nap gravitációs kútjából is ki akarunk szabadulni, akkor a Földről kereken

23 km/sec

kezdősebességgel kell indulnunk. (A Jupiternek az ábrán látható feltűnően mély gravitációs kútja nagy tömegéből adódik.)
Visszafelé nézve talán még szemléletesebb a 4. ábra, és több érdekes tanulsággal is szolgál. Mi történik a világűrből Naprendszerünkbe betévedt meteorral, avagy egykor a ,,hazafelé'' tartó űrhajóval? Ha nincs számottevő kezdősebessége, akkor gyorsulva megindul a Nap ,,gravitációs kútjának'' lejtőjén. Ha elkerüli a bolygók ,,apróbb'' gravitációs kútjait, akkor hatalmas,

618 km/sec

-os végsebességgel belezuhan a Napba. Ha beletéved pl. a Föld gravitációs kútjába, akkor a Föld felszínére

23 km/sec

-os sebességgel csapódnék be. Azért mondom, hogy csapódnék, mert a Földet az ilyen, a világűrből tulajdonképpen állandóan folyó kozmikus bombázás ellen szerencsére kitűnő páncél védi: a légkör. Ebben a nagy sebességgel becsapódó meteorok legnagyobb része mint ,,hulló csillag'' elég. ‐ Hogy a világűrből egykor majd hazatérő űrhajót hasonló sors ne érje, a motorjainak ellenkező irányba való bekapcsolásával kell lefékeznie hatalmas és veszélyes sebességét. A hazatérést megnehezítik még a Földet körülvevő, napjainkban felfedezett Van Allen-féle sugárzási zónák is.
Tehát az eddigiek alapján háromféleképpen is alkothatunk magunknak szemléletes képet a Földet körülvevő nehézségi erőtérről:
1. az

1 g

-os testre a tér különböző pontjaiban ható erő alapján,
2. azon munka alapján, melyet végeznünk kellene, hogy az

1 g

-os testet a tér valamely pontjából a végtelenbe elvigyük,
3. végül azon elképzelés alapján, hogy mekkora kezdősebességgel kellene indítanunk a testet, hogy ne essen vissza a Földre. ‐ Ezen szemléletes képek segítségével jobban bele tudjuk magunkat élni a közeljövő űrutasainak helyzetébe.

Kovács Mihály