Cím:	1962. A IV.Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Füzet:	1962/szeptember, 3 - 4. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A IV. (1962. évi) Nemzetközi Matematikai Diákolimpia   A Csehszlovák Szocialista Köztársaság Művelődésügyi Minisztériuma és a 100 éves fennállását ünneplő Csehszlovák Matematikai és Fizikai Egyesület 1962. július 7‐16. között rendezte meg a IV. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát. A versenyen a Szovjetunió, a Bolgár Népköztársaság, a Csehszlovák Szocialista Köztársaság, a Lengyel Népköztársaság, a Magyar Népköztársaság, a Német Demokratikus Köztársaság és a Román Népköztársaság 8‐8 tanulója és 2‐2 vezetőjük vett részt. Az 56 versenyző közül 4 volt leány. A verseny július 10 és 11-én folyt le České Budějovice közelében, a Hluboká várkastélyban. A tételek a következők voltak:   I. dolgozat (júl. 10., munkaidő 4 óra) 1. Keressük meg azt a legkisebb $n$ természetes számot, amelynek a tízes számrendszerben felírt alakja 6-ra végződik, és ha ezt az utolsó 6-os számjegyet töröljük, de egyidejűleg a többi megmaradt számjegy elé egy 6-ost írunk, akkor $n$-nek négyszeresét kapjuk. 2. Határozzuk meg az összes olyan $x$ valós számot, amely kielégíti a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{3-x}-\sqrt[]{x+1}>\frac{1}{2}}\end{array}$ egyenlőtlenséget. 3. Adott az $ABCDA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ kocka; két szemben fekvő lapja $ABCD$ és $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$, ahol $AA\text{'}\parallel BB\text{'}\parallel CC\text{'}\parallel DD\text{'}$. Az $X$ pont állandó sebességgel futja be az $ABCD$ négyzet kerületét a felírt körüljárási irányban, míg az $Y$ pont ugyanakkora sebességgel a $B\text{'}C\text{'}CB$ négyzet kerületét futja be, szintén az itt felírt körüljárási értelemben. Az $X$ és az $Y$ pont ugyanabban a pillanatban indul el az $A$, illetve a $B\text{'}$ pontból. Mi az $XY$ szakasz $Z$ felezőpontjának mértani helye?   II. dolgozat (júl. 11., munkaidő 5 óra) 4. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}2x+\text{cos}{}^{2}3x=1.}\end{array}$ 5. Adott egy $k$ kör három különböző pontja: $A$, $B$ és $C$. Jelöljük ki szerkesztéssel ennek a körnek azt a $D$ pontját, amelyre az $ABCD$ négyszög érintőnégyszög. (A szerkesztéshez csak körző és vonalzó használható.) 6. Jelentse $r$ egy tetszőleges egyenlő szárú háromszög köré írható kör sugarát, $\varrho$ pedig a bele írható kör sugarát. Bizonyítsuk be, hogy a két kör középpontja $\begin{array}{c}{\displaystyle d=\sqrt[]{r\left(r-2\varrho \right)}}\end{array}$ távolságra esik egymástól. 7. Az $SABC$ tetraéderről annyit tudunk, hogy öt olyan gömb van, melyek mindegyike érinti a tetraéder valamennyi élét, illetőleg azok meghosszabbítását. Bizonyítsuk be, hogy a) az $SABC$ tetraéder szabályos; b) megfordítva: bármely szabályos tetraéder esetén létezik öt olyan gömb, amely az említett tulajdonsággal rendelkezik.   Az olimpia eredménye: I. díjat nyertek: Joszif Bernstejn (Szovjetunió), Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. gimn.), Lídija Goncsarova (Szovjetunió) és Sebestyén Zoltán (Celldömölk, Berzsenyi D. gimn.).   II. díjat nyertek: Kóta József (Tatabánya, Árpád g.), Gálfi László (Budapest, I. István g.), Marcin Kuczma (Lengyel NK.), Gheorghe Eckstein (Román NK.), Szidarovszky Ferenc (Budapest, Fazekas M. gyak. g.), Alexandru Buimovici (Román NK.), Bojan Marinov Bonev (Bolgár NK.), Alekszej Potyepun (Szovjetunió), Grigorij Margulisz (Szovjetunió), Peter Hatala (Csehszlovák Sz. K.), Gheorghe Lustig (Román NK.) és Karl‐Heinz Tetsch (Német D. K.).   III. díjat nyertek: Miroszlav Szvetloszlalov Tanusev (Bolgár NK.), Jaroslav Ježek (Csehszlovák Sz. K.), Jacek Wolejszo (Lengyel NK.), Bozsidar Dimitrov Kacarov (Bolgár NK.), Benczúr András (Budapest, Fazekas M. gyak. g.), Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. gyak. g.) Jan Rempala (Lengyel NK.), Lucian Badescu (Román NK.), Florea Hantila (Román NK.), Gennadij Kuranov (Szovjetunió), Josef Daneš (Csehszlovák Sz. K.), Ewa Hensz (Lengyel NK.), Radu Puha (Román NK.), Danyijar Mustari (Szovjetunió), Karel Vesely (Csehszlovák Sz. K.).   Lugossy Jenő művelődésügyi miniszterhelyettes Budapesten aug. 30-án fogadta a nyertes magyar versenyzőket, megköszönte jó szereplésüket és jutalmat adott át nekik, az I., II., III. díjasoknak sorra egyenként 1200, 800, ill. 600 Ft-ot.