Kezdőlap


Cím:	Az oszthatóság egy általános ismertető jeléről
Szerző(k):	Radványi László
Füzet:	1962/január, 12 - 14. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számtani tanulmányai során mindenki megismerkedett azokkal az eljárásokkal, amelyek segítségével az osztás elvégzése nélkül megállapítható, hogy valamely adott szám osztható-e a $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $8$ , $9$ számokkal és $10$ -nek hatványaival. Kevesebben ismernek már eljárást a $7$ -tel és a $11$ -gyel való oszthatóság eldöntésére, pedig ezek közül az elsőre használatos egyik eljárás egy bármely $5$ -tel nem osztható páratlan számra általánosítható módszernek speciális esete. Tudvalevően a $7$ -tel való oszthatóság megvizsgálása történhetik úgy, hogy az adott szám utolsó számjegyének kétszeresét az utolsó jegyével megrövidített számból kivonjuk; ha a kapott különbség osztható $7$ -tel, akkor az eredeti szám is, ha pedig a különbség nem osztható $7$ -tel, akkor az eredeti szám sem. Természetesen az eljárást a különbségre ismételhetjük és addig folytathatjuk, míg oly kis számhoz nem érünk el, amelynek $7$ -tel való oszthatóságát már könnyen eldönthetjük.
Pl. osztható-e $32 039$ $7$ -tel?

\begin{matrix} 3203 | 9 \\ 18 \\ \bar{318 | 5} \\ 10 \\ \bar{30 | 8} \\ 16 \\ \bar{14} osztható7-tel, tehát32 039is . \end{matrix}

Hasonló eljárást ‐ bár erre egyszerűbb mód is van ‐ a

11

-gyel való oszthatóság eldöntésére is alkalmazhatunk, itt az utolsó számjegyet magát kell a megrövidített számból levonnunk, nem pedig a

2

-szeresét. Pl. osztható-e

11

-gyel

285 714

\begin{matrix} 2 8571 | 4 \\ 4 \\ \bar{2 856 | 7} \\ 7 \\ \bar{284 | 9} \\ 9 \\ \bar{27 | 5} \\ 5 \\ \bar{22} osztható11-gyel, tehát285 714is. \end{matrix}

Mint tudjuk, ebben az esetben egyszerűbb vizsgálati mód az, ha összeadjuk a páratlan, majd a páros sorszámú helyeken álló jegyeket (a sorszámok a szám végéről, jobbról értendők), s azt nézzük, hogy e két összeg különbsége osztható-e

11

-gyel¹. Előbbi példánkban ez teljesül is:

\begin{matrix} (4 + 7 + 8) - (1 + 5 + 2) = 19 - 8 = 11. \end{matrix}

A fenti eljárást bármely olyan számra kiterjeszthetjük, amelynek valamely többszöröse

1

-re végződik. Nem alkalmazható tehát sem páros, sem

5

-tel osztható számra, azonban minden más számra igen. Megkeressük a számnak

1

-gyel végződő többszörösét, ebből elhagyjuk az

1

-est, így megkapjuk azt a számot, amellyel az adott szám utolsó jegyét szoroznunk, majd ezt a szorzatot a megrövidített számból kivonnunk kell. ‐ Mivel

7

-nek

3

-szorosa

2

11

-nek pedig

1

-szerese

11

, ezért kellett a szorzószámot az elsőnél

2

-nek, a másodiknál

1

-nek vennünk.
Annak eldöntésére, hogy pl.

958 341

osztható-e

17

-tel, keressük

17

-nek egy

1

-re végződő többszörösét. A legkisebb ilyen

51 = 3 \cdot 17

, tehát 5 alkalmas szorzószám.

\begin{matrix} 95834 | 1 \\ 5 \\ \bar{9582 | 9} \\ 45 \\ \bar{953 | 7} \\ 35 \\ \bar{91 | 8} \\ 40 \\ \bar{51} osztható17-tel, tehát958 341is osztható vele. \end{matrix}

Az oszthatóság eldöntésére szolgáló általános eljárásnak a fentiek alapján való megfogalmazását és ennek bizonyítását az olvasóra bízzuk. (Lásd az 1156. sz. feladatot.)

Radványi László

¹Lásd pl. K. M. L. 21 (1960) 145. o.