Kezdőlap


Cím:	A rugó rezgésidejének meghatározása
Szerző(k):	Tóth Lajos
Füzet:	1961/november, 161 - 163. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Galilei az egyenletesen gyorsuló mozgás törvényeinek megállapításával megadta a gyorsuló mozgások prototípusát. Ui. általános gyorsuló mozgás esetében is, ha a gyorsuló mozgás pályáját kis szakaszokra osztjuk, a szakaszokat egyeneseknek, és a gyorsulást mindegyik szakaszon állandónak tekinthetjük. Ez a felismerés azért rendkívül fontos, mert lehetővé teszi, hogy a mozgást egyszerű eszközökkel lépésenként tárgyalhassuk jó közelítéssel. Hogy a helyzet valóban ez, igazoljuk azáltal, hogy egy spirálrugó rezgésidejét meghatározzuk.

A vizsgálathoz felhasznált spirálrugó nyugalmi terheletlen hossza

24, 1

cm. Az

m

tömeg 186 g. Ha a rugót

x

távolsággal megnyújtjuk, a fellépő rugalmas erő arányos a megnyújtással (Hooke törvénye)

\begin{matrix} P = τ x . \end{matrix}

(1)

τ

a rugóállandó, számértékben jelenti az egységnyi megnyúlást létesítő erőt. Meghatározása úgy történik, hogy megmérjük, az

m

tömeg súlya

(m g)

mennyivel nyújtja meg a rugót

(x)

. A

186

g tömeg súlya

m g = 186 \cdot 981 = 182 466

din. Ha ezzel terheljük a rugót,

x_{0} = 21, 6

cm megnyúlást mérünk. Így a rugóállandó

\begin{matrix} τ = \frac{m g}{x_{0}} = 8450 {g sec}^{- 2} . \end{matrix}

(2)

A rugóra függesztett

m

tömeg a függőlegesben harmonikus rezgőmozgást végez. A rezgésidő

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{m}{τ}} . \end{matrix}

(3)

Az értékek behelyettesítésével

\begin{matrix} \frac{m}{τ} = 0, 022 {sec}^{2} . \end{matrix}

(4)

Hasonlóan

\frac{τ}{m} = \frac{1}{0, 022} = 45, 45 {sec}^{- 2}

. A rugó rezgésideje pedig

\begin{matrix} T = 0, 9313 sec . \end{matrix}

(5)

Nyugalmi helyzetben a rugó hossza

24, 1 + 21, 6 = 45, 7

cm. Jelöljük az

x

koordinátát a nyugalmi ponttól lefelé

-

, felfelé

+

előjellel. Az

m

tömegre ható reakcióerő két erőből tevődik össze, az

m g

gravitációs és

+ τ x

rugalmas erőből:

\begin{matrix} P_{r} = m g + τ x, \end{matrix}

(6)

ennélfogva a gyorsító erő

\begin{matrix} m a = P_{r} + m g = - τ x, \end{matrix}

(7)

és a gyorsulás

\begin{matrix} a = - \frac{τ}{m} x = - 45, 45 {cm sec}^{- 2} . \end{matrix}

(8)

Húzzuk le az

m

tömeget nyugalmi helyzetéből 10 cm-rel, és indítsuk el

v_{0} = 0

kezdősebességgel. A 10 cm hosszúságú

1 / 4

pályaszakaszt osszuk 10 egyenlő részre, és ezekre külön‐külön végezzük el a számolást.
Minthogy

P_{r}

a távolsággal arányosan változik, a gyorsulás értékének számtani középértékét vesszük számításba. A mozgást a pálya egyes szakaszaiban egyenletesen gyorsulónak tételeztük fel, tehát az út‐idő összefüggés

\begin{matrix} s = v_{0} Δ t + \frac{a Δ t^{2}}{2}, \end{matrix}

(9)

hol

v_{0}

a pályaszakasz kezdőpontjában érvényes sebességet jelenti,

Δ t

a pályaszakasz megtételéhez szükséges idő. Ezt (9)-ből számítjuk ki. A sebességet

\begin{matrix} v = v_{0} + a Δ t \end{matrix}

(9a)

adja.

\begin{matrix} x & a & v & Δ t & t \\ cm & {cm sec}^{- 2} & {cm sec}^{- 2} & sec & sec \\ 10 & 431, 7 & 29, 4 & 0, 0680 & 0, 0680 \\ 9 & 386, 1 & 40, 45 & 0, 0286 & 0, 0966 \\ 8 & 340, 7 & 48, 12 & 0, 0225 & 0, 1191 \\ 7 & 295, 3 & 53, 91 & 0, 0196 & 0, 1387 \\ 6 & 249, 9 & 58, 41 & 0, 0180 & 0, 1567 \\ 5 & 204, 4 & 61, 79 & 0, 0166 & 0, 1733 \\ 4 & 159, 0 & 64, 31 & 0, 0158 & 0, 1891 \\ 3 & 113, 6 & 66, 05 & 0, 0153 & 0, 2044 \\ 2 & 68, 1 & 67, 08 & 0, 0150 & 0, 2194 \\ 1 & 22, 7 & 67, 42 & 0, 0148 & 0, 2342 \\ 0 \\ 1. táblázat \end{matrix}

Az 1. táblázat tartalmazza a közepes gyorsulást

(a)

, a szakasz végpontjában levő sebességet

v

, a szakasz, valamint az egész út megtételére szükséges időt (

Δ t

és

t

). A számolás menete: Az első sorban

\begin{matrix} a = \frac{454, 5 + 409, 0}{2} = 431, 7 {cm sec}^{- 2}, v_{0} = 0, \\ 1 = \frac{431, 7}{2} Δ t^{2}, Δ t = 0, 0680 sec . \end{matrix}

A második sorban

\begin{matrix} a = \frac{409, 0 + 363, 4}{2} = 386, 1 {cm sec}^{- 2}, v_{0} = 29, 4 {cm sec}^{- 1}, \\ 1 = \frac{386, 1}{2} Δ t^{2} + 29, 4 Δ t, Δ t = 0, 0286 sec, \\ t = 0, 0966 sec, v = 40, 45 {cm sec}^{- 1} stb . \end{matrix}

Az összegezés a

\frac{T}{4}

-re

0, 2342

-t,

T

-re

0, 9368

sec-ot ad. Viszont a rezgésidőformula

0, 9313

-at eredményez. A különbség

0, 0055

sec., ami

0, 59 %

eltérést jelent.
Az eltérés nem jelentékeny, hosszadalmas numerikus számolásokban igazításvétel, vagy az a középértékének csekély hibája eredményezhet ilyen eltérést. Emellett ne tévesszük szem elől azt sem, hogy az 1 cm-es pályaszakaszok elég nagyok.