Kezdőlap


Cím:	Lineáris hálózatokról
Szerző(k):	Zsombok Zoltán
Füzet:	1961/október, 90 - 91. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ellenállásokból és egyenáramú feszültségforrásokból álló hálózatokra néhány egészen általános törvényszerűséget vezethetünk le.
Megszámozva a hálózat ágait, az $i$ -edik ellenállását $R_{i}$ -vel, az esetleges telep elektromotoros erejét $E_{i}$ -vel az áramot $I_{i}$ -vel jelöljük. E jelölésekkel a Kirchhoff-törvények:

\begin{matrix} Σ I_{i} = 0 & (1) \\ Σ R_{i} I_{i} = Σ E_{i} . & (2) \end{matrix}

(1)-ben az összegezést egy csomópontra, (2)-ben egy zárt hurokra kell elvégeznünk.
Állítsuk be a hálózat egy állapotát a telepei feszültségeinek megválasztásával egy

E_{i} = E_{i}'

értékre, majd egy másik állapotot egy

E_{i} = E_{i}''

értékre (

i = 1

2

...

). A megfelelő áramok a Kirchhoff-egyenleteket kielégítik: 2

Σ

I_{i}

'=0

Σ

R_{i}

I_{i}

Σ

E_{i}

Σ

I_{i}

''=0

Σ

R_{i}

I_{i}

''=

Σ

E_{i}

''.
Adjuk össze az egyenleteket:

\begin{matrix} Σ (I_{i}' + I_{i}'') = 0 Σ R_{i} (I_{i}' + I_{i}'') = Σ (E_{i}' + E_{i}''), \end{matrix}

tehát az

E_{i}' + E_{i}'') = 0

, állapot beállításakor az

I_{i}' + I_{i}''

áramok jönnek létre.
Így jutunk el a szuperpozíció elvéhez: Két tetszőleges állapotot jellemző megfelelő feszültségek és áramok összege is egy lehetséges állapot.
Általában lineárisnak nevezünk minden olyan, hálózatot, amely a szuperpozíció elvét kielégíti, így az eddigiekben tulajdonképpen azt bizonyítottuk be, hogy az ellenállásokból és egyenfeszültségforrásokból álló hálózat lineáris. A továbbiakban csak ilyen speciális hálózatokkal fogunk foglalkozni, de állításaink tetszőleges lineáris hálózatra érvényesek maradnak, csak az ,,ellenállás'' és ,,egyenfeszültségforrás'' fogalmakat általánosítani kell. Ezt azonban megfelelő matematikai apparátus hiányában pillanatnyilag nem tehetjük.
Az olyan elektromos hálózatot, amelynek a külvilággal csak két vezetékdarabon keresztül van összeköttetése, kétpólusnak nevezzük (1. ábra).

1. ábra

A kétpólus lineáris, ha benne lineáris hálózat van. Bebizonyítjuk, hogy a lineáris kétpólus két adattal egyértelműen jellemezhető, mint pl. a telep az elektromotoros erejével és a belső ellenállásával. Definiáljuk e két fogalmat:
1. A kétpólus üresjárási feszültsége

(U_{b})

az a feszültség, amely a pólusok között fellép, ha azok szabadon vannak, tehát, ha a kétpólus árama zérus.
2. A kétpólus belső ellenállása

(R_{b})

a kétpólus eredő ellenállása, ha a kétpólusban levő összes telep elektromotoros erejét 0-nak választjuk.
Tegyünk a kétpólus sarkaira egy

R

ellenállást, amelyen ekkor

U

feszültség esik,

I

áram folyik (2. ábra).

2. ábra

Ha most az ellenállással sorbakapcsolunk egy

U_{b}

elektromotoros erejű, megfelelő polaritású telepet, amelynek belső ellenállása zérus, akkor az

R

ellenállás az 1. definíció miatt tulajdonképpen egyenlő feszültségű pontokat köt össze, így áram nem folyik (3. ábra).

3. ábra

Ezt a 0 áramot a szuperpozíció elve alapján a következőképpen is értelmezhetjük: Ha a kétpólus telepeit 0 feszültségűre választjuk, a 2. definíció miatt a kétpólusba ekkor

\frac{U_{b}}{R + R_{b}}

áram folyik be. Ha a külső telepet tekintjük 0 feszültségűnek, a kétpólust nem, akkor a 2. ábra szerint a kétpólusból

I

áram folyik ki. A 3. ábra szerint a ki- és befolyó áramoknak együttesen 0-t kell adniok, tehát

I = \frac{U_{b}}{R + R_{b}}

, amit átírhatunk az

\begin{matrix} U = U_{b} - I R_{b} \end{matrix}

(3)

alakba, ahol

U = I R

, a kétpólus kapocsfeszültsége.
(3)-ból következik Thévenin tétele:
Bármely lineáris kétpólus helyettesíthető egy, az üresjárási feszültségét előállító ideális feszültségforrással és egy ezzel sorbakapcsolt ellenállással, mely a kétpólus belső ellenállásával egyezik meg (4. ábra).

4. ábra

Az ideális feszültségforrás analógiájára bevezetjük az ideális áramforrás fogalmát. Az ideális feszültségforrás sarkai között az átfolyó áramtól függetlenül állandó feszültség (a ,,forrásfeszültség'') van, így az ideális áramforráson a sarkok között fellépő feszültségtől függetlenül állandó áram folyik keresztül, (a ,,forrásáram''). Jelölését l. az 5. ábrán.
(3)-ból az áramot kifejezve

\begin{matrix} I = I_{b} - U / R_{b}, \end{matrix}

(4)

ahol az

I_{b} = U_{b} / R_{b}

jelölést vezettük be, amelyet a kétpólus rövidzárási áramának nevezünk, mivel az

U = 0

esetben lép fel.
(4) alapján nyilvánvaló Norton tétele:
Bármely kétpólus helyettesíthető egy, a rövidzárási áramát előállító ideális áramforrással, amellyel párhuzamosan kapcsoljuk a kétpólus belső ellenállását (5. ábra).

5. ábra

Az ismertetett tételek nagyon jól használhatók a hálózatszámításban. Tudat alatt is használjuk Thévenin tételét, pl. akkor, amikor telepek sorbakapcsolásakor azt állítjuk, hogy létezik egy eredő, melynek elektromotoros erejét és belső ellenállását egyszerű összegezéssel számíthatjuk. Párhuzamos kapcsolásnál a Norton-tételt kell használnunk, mert ilyenkor az ellenállások reciprokai és a rövidzárási áramok adódnak össze.
Az eredmények alkalmazhatóságát jól mutatják a 139. feladat megoldásai.