Kezdőlap


Cím:	Áramlástani feladatok
Szerző(k):	Fáy Árpád
Füzet:	1961/március, 129 - 132. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szilárd testekre vonatkozó dinamikai feladatok megoldásánál mindig a három Newton‐féle törvényre támaszkodunk. Ezek alapján állapítjuk meg a működő erőket, és ezekből következnek a legfontosabb tételek, mint például az energia‐megmaradás törvénye a helyzeti és mozgási energia összegére. Felmerül a kérdés, hogy vajon folyadékok mozgásánál is elég-e a három Newton‐féle törvényre támaszkodni, vagy újabb alaptörvényeket kell-e keresnünk. A felelet: elég a három Newton törvény. Ez azért is érdekes, mert folyadéktömegek esetén a vizsgált tömeg alakja változékony, sőt lehetőség van valamely térfogatban elhelyezkedő tömeg folyamatos változására is. (Ilyen például a vödörben levő víz tömege, ha a vödör lyukas.) Két példán szeretnők megmutatni, hogy az áramlásoknál fellépő erőhatásokat hogyan lehet a Newton törvények alapján meghatározni.

Az előzőek mutatják, hogy a Newton törvények alkalmazási területe milyen széleskörű; de természetesen a szilárd testekhez hasonlóan nagyon nagy sebességek esetén itt is módosulnak a törvények a relativitáselmélet szerint.

Példáinkban az ún. tökéletes folyadékkal számolunk. Ez azt jelenti, hogy a folyadékot három tulajdonsággal ruházzuk fel:
a) A teret egyenletesen kitöltő anyag (tehát eltekintünk a molekuláris szerkezettől).
b) Tökéletesen összenyomhatatlan.
c) A folyadékrészek közt súrlódás nem ébred.
A Newton-féle törvények érvényesek súrlódásos folyadékokra is, ha a súrlódóerőt számításba vesszük; és érvényesek összenyomható közegekre is, ha számolunk a térfogatváltozásokkal. Fenti kikötéseinket csak azért tesszük, hogy ezekkel ne kelljen számolni, és a legegyszerűbb viszonyokat lássuk. Idealizálásunk azért is jogos, mert a gyakorlatban legtöbbször előforduló folyadék: a víz elég jól megközelíti a tökéletes folyadék tulajdonságait. Példáinkban tehát mindig vízre fogunk gondolni.

1. példa. Egy vödörbe víz ömlik. A 10 l-es vödröt a

c = 5

m/mp sebességgel érkező folyadéksugár egyenletesen tölti fel 5 mp alatt. Mekkora erővel kell tartani a vödröt?
Ha nem ömlenék be víz, akkor a vödör és a víz együttes súlyát kellene tartani. A beömlő folyadéksugár lefékezésére erő szükséges. Legyen ez:

P

. Az akció‐reakció törvény értelmében a folyadéksugár ugyanekkora erővel nyomja a vödörben levő víztömeget (és ezen keresztül a vödröt) lefelé. Célunk ennek az erőnek a meghatározása. A fröcsköléstől és hullámzástól eltekintünk, úgy képzeljük, mintha a folyadéksugár egyenletesen szétterülne a vízfelszínen. Newton második törvényét a

P = m \cdot a

alakban közvetlenül alkalmazni nem tudjuk. A törvénynek van egy másik alakja is. Eredetileg Newton szerint egy testre ható erőt az impulzusának időegységre eső változásából kell kiszámítani. Ebben a formájában a törvényt könnyen tudjuk alkalmazni a következő gondolatmenet szerint:

A Newton törvényében szereplő ,,test'' jelenleg egy folyadéktömeg lesz. Vizsgáljuk azt a víztömeget, mely

t_{2}

időpillanatban a vödörben van, és azt

C

szintig tölti fel. Egy előző

t_{1}

időpillanatban ez a folyadéktömeg az

A

szint alatt van. A

t_{2} - t_{1}

idő alatt az

A B

szintek közti folyadéksugár (tömege legyen:

m

) a vödröt a

C

szintig tölti fel és sebessége

c

-ről nullára változik. Az általunk vizsgált víztömeg egy része tehát sebességváltozást szenvedett. Ez Newton szerint csak úgy lehetséges, ha rá erő hat. Az egyetlen test, amivel a víztömeg kapcsolatban van, a vödör. Tehát a vödör erőhatást gyakorol a víztömegre, és ennek hatására lefékeződik a vízsugár. ‐ Célunk éppen ennek a

P

erőnek meghatározása. ‐ Mivel a

t_{2} - t_{1}

idő alatt a

B

szint alatti víztömeg sebessége nem változott, ezért az általunk vizsgált víztömeg impulzusváltozása a

t_{2} - t_{1}

idő alatt:

m \cdot c

. Az erőt az időegységre vonatkoztatott impulzusváltozás adja, tehát:

\begin{matrix} P = \frac{m \cdot c}{t_{2} - t_{1}} . \end{matrix}

Képletünkben szerepel az

m / (t_{2} - t_{1})

hányados. Ez nem más, mint az időegység alatt a vödörbe érkező tömeg; jelöljük

q

-val. Mivel a vízsugár a vödröt egyenletesen tölti fel,

q

értéke a feltöltés alatt nem változik. Értékét kiszámítjuk abból, hogy 5 mp alatt 10 l víz érkezett, ennek tömege 10 kg, tehát:

\begin{matrix} q = \frac{m}{t_{2} - t_{1}} = \frac{10 kg}{5 sec} = 2 kg/sec . \end{matrix}

Az erő tehát:

P = q \cdot c

. Esetünkben:

P = 2 kg/sec \cdot 5 m/sec = 10 \frac{kg m}{{sec}^{2}} = 10 newton = \frac{10}{9, 81} kp\approx1 kp

.
A megtelés alatt tehát bármely időpillanatban 1 kp-dal nagyobb erővel kell tartani a vödröt, mint amennyi a vödör és a benne pillanatnyilag levő víz együttes súlya.
A számításunkban szereplő

P

erőt impulzuserőnek nevezik. Ha egy folyadéksugárban az időegység alatt érkező tömeg

q

és sebessége

c

, akkor a folyadéksugár lefékezésére ‐ például a sugárra merőlegesen elhelyezett lappal ‐ mindig

P = q \cdot c

impulzuserő szükséges. Képletünket könnyű megjegyezni az erő dimenziójának tényezőkre bontásával, mert:

\begin{matrix} [erő dimenziója] = k g \cdot \frac{m}{{sec}^{2}} = \frac{kg}{sec} \cdot \frac{m}{sec} = [q dimenziója] \cdot [sebesség dimenziója] \end{matrix}

2. példa. Egy körkeresztmetszetű csővezeték vízszintes síkú könyökében víz áramlik. Mekkora az áramlásból származó, a könyökre ható erő? A cső keresztmetszete

F = 0, 5 m^{2}

, a vízsebesség

c = 3

m/mp. A nyomás a belépőfelületen a külső légköri nyomásnál

0, 2 {kg/cm}^{2}

-rel nagyobb. Mivel a cső keresztmetszete nem változik, ezért a ki- és belépésnél a víz ugyanakkora sebességgel áramlik. Számítsuk ki először a másodpercenként érkező víztömeget.

Egy másodperc alatt a könyök belépő felületénél elhelyezkedő vízrészek 3 m utat tesznek meg. Ekkor közöttük és a belépő felület között helyezkedik el az 1 mp alatt beáramlott víztömeg. Ennek térfogata

0, 5 m^{2} \cdot 3 m = 1, 5 m^{3}

, ennek tömege 1500 kg. Tehát

q = 1500 kg/sec

. (Ez a levezetésünk általánosan

q = s \cdot F \cdot c

képletet adja, ahol

s

a sűrűség.)
Tisztázzuk továbbá a nyomásviszonyokat. A belépésnél

0, 2 {kp/cm}^{2}

túlnyomás uralkodik. Mivel tökéletes folyadékról beszélünk, ezért az áramlás súrlódásmentes. A belépő folyadéktömeg

c

sebességgel és

p

nyomással érkezik, a kilépésnél csak úgy lehet ugyanakkora energiája, ha ott is

p

nyomás uralkodik. (Súrlódásos folyadék esetén a súrlódóerők révén ennek az energiának egy része hővé alakul, tehát a kilépésnél kisebb nyomás uralkodik. Súrlódásmentes folyadékra a Bernoulli törvényéből is következik előző megállapításunk; lásd a tankönyvekben.) E miatt a

0, 2 {kp/cm}^{2}

túlnyomás miatt akkor is hat erő a könyökre, ha a benne levő folyadéktömeg áll.
Képzeletben emeljük ki könyökünket a csővezetékből, és zárjuk le mindkét végén. Ekkor kívülről minden oldalról a külső légnyomás hat, a könyökre ható erő egyenlő a levegő felhajtóerejével, ezt a többi nagy erőkhöz képest elhanyagoljuk. Ha most figyelembe vesszük, hogy a végeken nem a légköri nyomás hat, hanem ehhez képest túlnyomás, akkor nyilvánvaló, hogy fellépnek a

p_{1} \cdot F_{1} = p_{2} \cdot F_{2} = 0, 2 {kp/cm}^{2} \cdot 0, 5 m^{2} = 1000

kp erők. A két erő eredője esetünkben

Q_{nyomás} = 1000 kp \cdot \sqrt[]{2} = 1414

kp.

Könyökünkre másodsorban erő hat azért, mert a könyök a víztömeget más irányba tereli. Ez az erőhatás úgy nyilvánul meg, hogy az áramlásban a könyök belső felületén a nyomás változik, mégpedig a könyök nagyobb sugarú ívén nagyobb, mint a belső kisebb sugarú íven. A nyomás alakulásának kiszámításához egy sor hidrodinamikai ismeret lenne szükséges. Az erőhatást azonban enélkül is ki tudjuk számítani, mégpedig kétféle módon. (Itt említem meg, hogy a nyomás különböző alakulása miatt a sebességek is változnak a könyök különböző pontjain, és eddig hallgatólagosan kihasználtuk azt, hogy a könyök be- és kilépő felülete a görbült résztől már olyan messze van, hogy a sebességeloszlás egyenletes, vagyis a sebességek a keresztmetszet minden pontján egyenlők.)
Először gondoljuk meg, hogy a könyökön való áthaladás közben a víz mekkora sebességváltozást szenved. A sebességek vektorok; a

\vec{c_{2}} - \vec{c_{1}}

sebességváltozás a kilépő és belépő sebességből vektorosan szerkesztendő. Nagysága ‐ mint egy négyzet átlója ‐

3 \sqrt[]{2}

m/sec.

Az erőhatás a könyökön átáramló víztömeg másodpercenkénti impulzusváltozásából adódik, tehát:

\begin{matrix} P = q \cdot | \vec{c_{2}} - \vec{c_{1}} | = 1500 kg/sec \cdot 3 \sqrt[]{2} m/sec \approx 6350 newton \approx 648 kp . \end{matrix}

Az így kapott

\vec{P}

erő az, amellyel a könyök a folyadékot sebességváltozásra kényszeríti. Az akció‐reakció törvény értelmében a víz

\vec{Q} = - \vec{P}

erővel hat a könyökre.
Második módszerünk bonyolultabb gondolatmenettel ugyan, de az erő hatásvonalát is meg fogja adni. Képzeljük el a ki- és belépő felületen a vízsugarak impulzuserőit, és bontsuk a folyamatot két részre: A könyök egyrészt a belépő folyadékot a

\vec{c_{1}}

sebességről lefékezi, ezáltal rá

\vec{P_{1}} = q \cdot \vec{c_{1}}

impulzuserő hat, másrészt a kilépő folyadékot

\vec{c_{2}}

sebességre gyorsítja fel, tehát rá

\vec{P_{2}} = - q \cdot c_{2}

erő hat.

Az impulzuserők hatásvonalát a cső be- és kilépő középvonalán véve fel, azt kapjuk, hogy az eredő erő hatásvonala átmegy a könyök íveinek a középpontján. Nagysága akkora, amekkorának előző számításunk adta.
A

\vec{P_{1}}

és

\vec{P_{2}}

erő szerepének és irányának megvilágítására képzeljük el, hogy az áramlást a könyök után fékezni kezdjük. Ekkor az egész csőben lassul az áramlás, mivel a folyadéktömeg összenyomhatatlan. A könyökben levő víztömeget a könyök utáni tömeg a

\vec{P_{2}}

erő irányába eső erővel fékezi, a könyök előtti víztömeg a könyökben levőt a

\vec{P_{1}}

irányába eső erővel igyekszik maga előtt tolni. Fékezéskor tehát a könyökben levő víztömegre éppen az általunk számított impulzuserők irányába eső erők hatnak.
A könyökre ható erők összege, mivel

{\vec{Q}}_{nyomás}

és

\vec{Q}

egyirányúak:

Q_{nyomás} + Q \approx 1414 + 648 = 2062 kp

.
Ezen az utóbbi példán látjuk, hogy ha egy vízsugarat irányából elterelünk, akkor az az elterelő testre erőhatást gyakorol. Ez a vízturbinák elve is: a turbinába áramló vizet az ún. járókerékben elterelve, pontosabban: impulzusváltozásra kényszerítve, a járókerékre impulzuserő fog hatni. Ez az erő forgatja a járókereket és a hozzákapcsolt többi géprészt. A vízturbinák különböző alakjaira vonatkozólag itt csak a tankönyvben szereplő olvasmányra utalok.