Kezdőlap


Cím:	Súlypont, első- és másodrendű nyomatékok II.
Szerző(k):	Bodó Zalán
Füzet:	1961/február, 81 - 87. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(folytatás)

II. Másodrendű nyomatékok

Térjünk vissza a tetszőleges

X

Y

Z

derékszögű koordináta-rendszerben elhelyezett

n

tömegpontra.
A 12. ábrának megfelelően az

i

-edik pont koordinátái legyenek

x_{i}

y_{i}

z_{i}

, az

X

Y

, ill.

Z

tengelyektől való távolságai pedig

r_{x i}

r_{y i}

ill.

r_{z i}

, a koordináta-rendszer kezdőpontjától való távolsága

r_{i}

. (Az

x_{i}

y_{i}

z_{i}

számok, mint koordináták előjeles mennyiségek, az

r

-ek távolságokat és így pozitív számokat jelentenek.) Ezek között közismerten a következő összefüggések állanak fenn:

\begin{matrix} r_{x i}^{2} = y_{i}^{2} + z_{i}^{2}, r_{y i}^{2} = z_{i}^{2} + x_{i}^{2}, r_{z i}^{2} = x_{i}^{2} + y_{i}^{2}, & (7) \\ r_{i}^{2} = x_{i}^{2} + y_{i}^{2} + z_{i}^{2} . & (8) \end{matrix}

12. ábra

Ezekből egyszerűen következik, hogy:

\begin{matrix} r_{i}^{2} = r_{x i}^{2} + x_{i}^{2} = r_{y i}^{2} + y_{i}^{2} = r_{z i}^{2} + z_{i}^{2}, \end{matrix}

(9)

illetve:

\begin{matrix} r_{i}^{2} = \frac{1}{2} (r_{x i}^{2} + r_{y i}^{2} + r_{z i}^{2}) . \end{matrix}

(10)

a tömegpontok koordinátái és tömegei által meghatározott következő mennyiségeket:

\begin{matrix} Θ_{y z} = \sum_{i = 1}^{n} = m_{i} x_{i}^{2}, Θ_{z x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}^{2}, Θ_{x y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} z_{i}^{2}, \end{matrix}

(11)

Y Z

Z X

ill.

X Y

síkokra vonatkozó másodrendű, vagy tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük. Most láthatjuk az elnevezések eredetét: az összegezésnél az elsőrendű nyomatékoknál a koordináták elsőfokon, a másodrendű nyomatékoknál a koordináták másodfokon szerepelnek.
Ha most pl. az

Y Z

síkra vonatkozó másodrendű nyomatékot

\begin{matrix} Θ_{y z} = {M a}_{x}^{2} l_{x}^{2} \end{matrix}

(12)

alakban írjuk fel, vagyis másodrendű nyomatékra a (12) egyenlettel definiáljuk az

a_{x}

-et,² az I., II. és III. tételek változatlanul érvényben maradnak.
I. Valamely tetszőleges síkra vonatkozó nyomatékot úgy kaphatunk meg, hogy a súlyponton keresztülmenő, az eredeti síkkal párhuzamos síkra vonatkozó nyomatékhoz hozzáadjuk a súlypontba képzelt egyetlen

M

tömegű pont nyomatékát.
II.

a_{x}

értéke nem változik, ha mindegyik tömegpont tömegét ugyanolyan arányban növeljük vagy csökkentjük, vagy ha mindegyik tömegpont koordinátáit ugyanolyan arányban növeljük vagy csökkentjük.
III.

a_{x}

és az

Y Z

síkra vonatkozó nyomaték értéke nem változik, ha az

Y_{i}

és

Z_{i}

koordinátákat tetszőlegesen megváltoztatjuk: (12) egyenletből az

a_{x}

-et kifejezve:

\begin{matrix} a_{x} = \sqrt[]{\frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}^{2}}{l_{x}^{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i}}}, \end{matrix}

(13)

ebből a II. és III. tétel érvényessége nyilvánvaló. Az I. tétel érvényességét úgy igazolhatjuk, hogy felírjuk a másodrendű nyomatékokat az

Y' Z'

súlysíkra (l. 2. ábra).

\begin{matrix} Θ'_{y z} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {x'}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {(x_{i} - x_{s})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{z}^{2} - 2 x_{s} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} + x_{s}^{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} . \end{matrix}

Mivel (2) szerint

\sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} = x_{s} \sum_{i = 1}^{n} m_{i},

\begin{matrix} Θ'_{y z} = Θ_{y z} - x_{s}^{2} \sum_{i = 1}^{n} m . \end{matrix}

Ezért:

\begin{matrix} Θ_{y z} = Θ'_{y z} + M x_{s}^{2}, \end{matrix}

és teljesen hasonló módon következik, hogy

\begin{matrix} Θ_{z x} = Θ'_{z x} + M y_{s}^{2}, \\ Θ_{x y} = Θ'_{x y} + M z_{s}^{2} . & (14) \end{matrix}

Ezt a tételt Steiner-tételnek szokták nevezni. Ezzel a másodrendű nyomatékokra is igazoltuk az I. tétel érvényességét.³ Az is látható, hogy egymással párhuzamos síkok közül a súlysíkra vonatkozó nyomaték a legkisebb. A

\begin{matrix} Θ'_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{x i}^{2}, Θ'_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{y i}^{2}, Θ'_{z} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{z i}^{2} \end{matrix}

(15)

mennyiségeket az

X

Y

, ill.

Z

tengelyekre, a

\begin{matrix} Θ_{0} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}^{2} \end{matrix}

(16)

mennyiséget pedig a kezdőpontra vonatkozó másodrendű vagy tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A (7)‐(10) összefüggéseknek megfelelően a különböző másodrendű nyomatékok között a

\begin{matrix} Θ_{x} = Θ_{z x} + Θ_{x y}; Θ_{y} = Θ_{x y} + Θ_{y z}; Θ_{z} = Θ_{y z} + Θ_{z x} & (17) \\ Θ_{0} = Θ_{y z} + Θ_{z x} + Θ_{x y} & (18) \\ Θ_{0} = Θ_{x} + Θ_{y z}; Θ_{0} = Θ_{y} + Θ_{z x}; Θ_{0} = Θ_{z} + Θ_{x y} & (19) \end{matrix}

és

\begin{matrix} Θ_{0} = \frac{1}{2} (Θ_{x} + Θ_{y} + Θ_{z}) \end{matrix}

(20)

összefüggések állanak fenn.
Az I ‐ III. tételek a definíciókból következtethető kis módosításokkal a tengelyekre és pontokra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokra is érvényesek. Tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékoknál e tételek:
I. Tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéknál (14) és (17)-ből következik, hogy valamely tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot a tengellyel párhuzamos súlyegyenesre vonatkozó másodrendű nyomaték és a súlypontba képzelt egész tömeg másodrendű nyomatékából tehetjük össze.
II. Például az

X

tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot

\begin{matrix} Θ_{x} = M β_{x}^{2} r_{x}^{2} \end{matrix}

(21)

alakban írhatjuk fel, ahol most

r_{x}

-nek választjuk a pontrendszernek valamilyen, az

X

tengelyre vonatkozó, nullától különböző tetszőleges radiális méretét. (Pl. valamely tömegpontnak az

X

tengelytől való távolságát, vagy két tömegpont ezen távolságainak különbségét stb.) A (21) egyenlet által így definiálható

β_{x}

megint változatlan marad a tömegpontok tömegeinek vagy koordinátáinak ugyanolyan állandóval való megszorzásakor.
III.

β_{x}

és így

Θ_{x}

értéke most csak az egyes tömegpontoknak az

X

tengelytől való távolságától függ. Ezért pl. az

X

tengely körüli

r

sugarú henger palástjain levő összes tömegpontok tömege a palást egyetlen tetszőleges pontjában gyűjthető össze.
Pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknál e tételek:
I. Pontra vonatkozó másodrendű nyomatéknál (14) és (18)-ból következik, hogy tetszőleges pontra a másodrendű nyomaték a súlypontra vonatkozó másodrendű nyomaték és a súlypontba képzelt egész tömeg másodrendű nyomatékának összege.
II. A pontra vonatkozó másodrendű nyomatékot

\begin{matrix} Θ_{0} = M γ^{2} r^{2} \end{matrix}

(22)

alakban írhatjuk fel, ahol

r

a pontrendszernek valamilyen, a kezdőpontra vonatkozó nullától különböző tetszőleges radiális mérete (pl. valamelyik tömegpontnak a kezdőponttól való távolsága, két tömegpont ilyen távolságának különbsége stb.), az előző transzformációkra nézve

γ

most is állandó.
III.

γ

és

Θ_{0}

értéke csak a tömegpontoknak az alapponttól való távolságától függ. Ezért pl. a kezdőpont körüli

r

sugarú gömb felületén levő összes tömegpontok a felület tetszőleges pontjába gyűjthetők össze.
(17)‐(20)-ból következik, hogy ha pl. az összes tömegpontok az

X

tengelyen feküsznek (vonaldarabokra):

\begin{matrix} Θ_{x} = Θ_{z x} = Θ_{z y} = 0, & (23) \\ Θ_{0} = Θ_{z} = Θ_{y} = Θ_{y z} . & (24) \end{matrix}

Ha az összes tömegpontok az

X Y

síkban feküsznek (síkidomokra):

\begin{matrix} Θ_{x y} = 0 & (25) \\ Θ_{x} = Θ_{z x}; Θ_{y} = Θ_{y z} & (26) \\ Θ_{0} = Θ_{z} = Θ_{y z} + Θ_{z x} = Θ_{x} + Θ_{y} . & (27) \end{matrix}

Megint bemutatjuk néhány példán, hogy az I-III. tételek segítségével hogyan számíthatunk tehetetlenségi nyomatékot integrálás nélkül.
6. példa. Egyenletes tömegeloszlású

l

hosszúságú vonaldarab másodrendű nyomatéka a súlypontjára.

13. ábra

Bontsuk a vonalat két féldarabra és alkalmazzuk az I. és II. tételt:

\begin{matrix} Θ_{0} = M a_{x}^{2} l^{2} = 2 [\frac{M}{2} a_{x}^{2} {(\frac{l}{2})}^{2} + \frac{M}{2} {(\frac{l}{4})}^{2}], \end{matrix}

ebből:

\begin{matrix} a_{x}^{2} = \frac{1}{12} . \end{matrix}

Tehát (24) szerint a súlyponton keresztülmenő merőleges tengelyre

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{12} M l^{2} . \end{matrix}

Számítsuk még ki a tehetetlenségi nyomatékot a vonaldarab végpontjára is. A vonaldarab végpontjára a Steiner-tétel szerint:

\begin{matrix} Θ_{0} = \frac{1}{12} M l^{2} + M {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{1}{3} M l^{2} \end{matrix}

7. példa. Lineárisan növekvő sűrűségű

l

hosszúságú egyenes vonaldarab tehetetlenségi nyomatéka a súlypontjára.
Bontsuk a vonalat két féldarabra, akkor a 2. példa meggondolásai szerint a jobb oldali vonaldarab összetehető egy állandó sűrűségű,

\frac{M}{2}

tömegű és egy a jobb oldali vonaldarabbal azonos, lineárisan növekvő sűrűségű,

\frac{M}{4}

tömegű vonalból.

14. ábra

Mivel a súlypontok távolságai

O

-tól rendre (l. a 2. példát és a 14. ábrát)

\frac{l}{3}

\frac{l}{6}

és

\frac{l}{12}

, az I. és II. tétel és az előző példa alapján megint felírhatjuk, hogy:

\begin{matrix} {M a}_{x}^{2} l^{2} = \frac{M}{4} a_{x}^{2} {(\frac{l}{2})}^{2} + \frac{M}{4} {(\frac{l}{3})}^{2} + \frac{M}{4} a_{x}^{2} {(\frac{l}{2})}^{2} + \frac{M}{4} {(\frac{l}{6})}^{2} + \\ + \frac{M}{2} \frac{1}{12} {(\frac{l}{2})}^{2} + \frac{M}{2} {(\frac{l}{16})}^{2}, \end{matrix}

innen:

\begin{matrix} a_{x}^{2} = \frac{1}{18}, \end{matrix}

a súlyponton keresztülmenő merőleges tengelyre:

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{18} M l^{2} . \end{matrix}

A bal oldali végpontra most

\begin{matrix} Θ_{0} = \frac{1}{18} M l^{2} + M {(\frac{2}{3} l)}^{2} = \frac{1}{2} M l^{2} lesz. \end{matrix}

8. példa. Négyzetesen növekvő sűrűségű

l

hosszúságú egyenes vonaldarab tehetetlenségi nyomatéka a súlypontjára. Bontsuk a vonalat két féldarabra, akkor az 5. példa szerint a vonaldarab jobb oldala három részre bontható, egy a bal oldallal megegyező, egy lineárisan növekvő sűrűségű és egy állandó sűrűségű vonalra. Tömegek és súlyponttávolságaik az 5. példából ismeretesek, illetve kiszámíthatók (l. a 15. ábrát).

15 ábra

Így felírható, hogy:

\begin{matrix} {M a}_{x}^{2} l^{2} & = \frac{M}{8} a_{x}^{2} {(\frac{l}{2})}^{2} + \frac{M}{8} {(\frac{3 l}{8})}^{2} + \frac{M}{8} a_{x}^{2} {(\frac{l}{2})}^{2} + \\ + \frac{M}{8} {(\frac{l}{8})}^{2} + \frac{3 M}{8} \frac{1}{18} {(\frac{l}{2})}^{2} + \frac{3 M}{8} {(\frac{l}{12})}^{2} + \frac{3 M}{8} \frac{1}{12} {(\frac{l}{12})}^{2} . \end{matrix}

Ebből:

\begin{matrix} a_{x}^{2} = \frac{3}{80}, \end{matrix}

és így a súlyponton keresztülmenő tengelyre:

\begin{matrix} Θ = \frac{3}{80} M l^{2} . \end{matrix}

A bal oldali végponton pedig:

\begin{matrix} Θ_{0} = \frac{3}{80} M l^{2} + M {(\frac{3}{4} l)}^{2} = \frac{3}{5} M l^{2} . \end{matrix}

9. példa. Körlap tehetetlenségi nyomatékai (l. a 16. ábra szerinti elrendezést).

16. ábra

Θ_{0}

számításánál az

r

sugarú kör

2 π r

kerületén fekvő tömegpontokat az

X

tengelyen összegyűjtve, a kör lineárisan növekvő sűrűségű

R

hosszúságú vonallal helyettesíthető.

Θ_{0}

e vonalnak a kezdőpontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatékával egyezik meg, vagyis a 7. példa szerint

\begin{matrix} Θ_{0} = \frac{1}{2} M R^{2} . \end{matrix}

(27) szerint, mivel most szimmetria okokból nyilván

Θ_{x} = Θ_{y}

\begin{matrix} Θ_{x} = Θ_{y} = \frac{Θ_{0}}{2} = \frac{1}{4} M R^{2} . \end{matrix}

10. példa. Gömb tehetetlenségi nyomatékai a súlypontjában elhelyezett koordináta-rendszerben. A számításnál most az

r

sugarú gömb

4 π r^{2}

felületén fekvő tömegpontok gyűjthetők össze egy tengelyen, a gömb négyzetesen növekedő sűrűségű

R

hosszúságú rúddal helyettesíthető.

Θ_{0}

a rúdnak kezdőpontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatékával egyezik meg, vagyis a 8. példa szerint:

\begin{matrix} Θ_{0} = \frac{3}{5} M R^{2} . \end{matrix}

(20) szerint, mivel most a szimmetria miatt

\begin{matrix} Θ_{x} = Θ_{y} = Θ_{z}, Θ_{x y} = Θ_{y z} = Θ_{z x}; \\ Θ_{x} = \frac{2}{3} Θ_{0} = \frac{2}{5} M R^{2}, \\ Θ_{x y} = \frac{1}{3} Θ_{0} = \frac{1}{5} M R^{2} . \end{matrix}

11. példa. Egyenes körhenger tehetetlenségi nyomatékai a 17. ábra szerint a súlypontjában elhelyezett koordináta-rendszerben.

17. ábra

Θ_{z}

számításánál a hengert az

X Y

síkba összenyomva egyenletes sűrűségű körlapot kapunk. Így a 9. példa alapján

\begin{matrix} Θ_{z} = \frac{1}{2} M R^{2} . \end{matrix}

Θ_{x y}

számításánál a hengert a

Z

tengelybe nyomva össze egyenletes sűrűségű,

m

hosszúságú vonaldarabot kapunk. Erre a 6. példa szerint

\begin{matrix} Θ_{x y} = \frac{1}{12} M m^{2} . \end{matrix}

Ezekből a szimmetria miatt, a (17‐20) összefüggések felhasználásával:

\begin{matrix} Θ_{y z} = Θ_{z x} = \frac{Θ_{z}}{2} = \frac{1}{4} M R^{2} \\ Θ_{0} = Θ_{z} + Θ_{x y} = M \frac{m^{2} + 6 R^{2}}{12} \\ Θ_{x} = Θ_{y} = Θ_{0} - \frac{1}{2} Θ_{z} = M \frac{m^{2} + 3 R^{2}}{12} . \end{matrix}

²Természetesen ez az

a_{x}

nem azonos az elsőrendű nyomaték

a_{x}

-ével.

³Félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy általánosan $n > 3$ rendű nyomatékra ez a tétel már nem érvényes.