A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. feladat. Egy léggömb középpontját két földi megfigyelő , illetőleg emelkedési szögben látja. Az első megfigyelő délre, a második északnyugatra van a léggömb talppontjától, egymástól való távolságuk méter. Milyen magasan lebeg a léggömb a vízszintes talaj fölött ? I. megoldás. Legyen a léggömb , merőleges vetülete a vízszintes talajon (talppontja) ; a megfigyelők és ; a léggömb emelkedési szöge az pontból , a pontból , a két megfigyelő távolsága , a déli és északnyugati irányok hajlásszöge (1. ábra). 1. ábra ‐ Az derékszögű háromszög egyenlő szárú, mert , tehát egyenlő a keresett magassággal ‐ jelöljük ezt röviden -mel. Húzzunk a háromszög csúcsából -vel -ot bezáró egyenest. Mivel , azért egyenesünk a szakaszt metszi egy pontban. és , vagyis a háromszög egyenlő szárú: . Jelöljük az pont merőleges vetületét a egyenesen -vel. Ekkor az derékszögű háromszög is egyenlő szárú, mert -nél levő szöge , s így . Az derékszögű háromszög átfogójának hossza adott: , befogóit pedig sikerült kifejezni a keresett magassággal: , . Így Pythagorász tétele szerint | | Innen | | vagyis
(méterre kerekítve). II. megoldás. A feladatot általánosan, a talpponton átmenő vízszintes síkban tetszőleges helyzetű és megfigyelők és tetszőleges hegyes és emelkedési szögek esetére oldjuk meg. Az , derékszögű háromszögből , , és így az háromszögből a koszinusz-tétel alapján
és innen | | (Ha valóságos háromszög, akkor a négyzetgyök alatt álló kifejezés pozitív, mert a koszinusz-tétel érvényes.) A , , , adatokkal . 2. feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha egy négyszög két szemben fekvő oldalának felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő a másik két oldal számtani közepével, akkor a négyszög trapéz. Megoldás. Legyen az négyszög (2. ábra) és oldalának felezőpontja és , és . 2. ábra Azt fogjuk bebizonyítani, hogy és párhuzamosak. Jelöljük az átló felezőpontját -vel. Ekkor egyrészt , mint az háromszög középvonala, párhuzamos -vel és fele akkora; és hasonlóan az háromszög középvonala párhuzamos -vel és fele akkora. Másrészt az háromszögből ‐ ha ez valódi háromszög, tehát nem esik az egyenesre ‐ Eszerint a bal oldal a jobbal egyenlő csak akkor lehet, ha az egyenesen van. Ekkor vagyis az négyszög trapéz, és ezt kellett bizonyítani. Megjegyzés. A feladat következő általánosítását tartalmazza Bollobás Béla dolgozata: Ha az négyszög és oldalát az , illetőleg pont arányban osztja és (amit így szokás mondani: a és oldalnak , illetőleg súllyal súlyozott számtani közepe), akkor párhuzamos -vel, a négyszög trapéz. Az állítás az átlót arányban osztó pont segítségül vételével a fenti megoldáshoz hasonlóan bizonyítható. 3. feladat. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
ahol ,,'' valós szám. ,,'' mely értékeire lesznek valósak gyökök ? Megoldás. Az (1) és (2) egyenletekből
Ezt felhasználva a kifejezést fogjuk átalakítani. Tagokra bontva és (1)-et felhasználva | | A jobb oldal utolsó tagját (3) alapján így alakíthatjuk át: Ezt behelyettesítve Innen, ha , akkor ha pedig , akkor (2)-ből adódik, ami tetszés szerinti értéke mellett megoldása az egyenletrendszernek. A továbbiakban csak az ettől különböző megoldásokat keressük. Meg tudjuk határozni -hoz hasonlóan -t is, a négyzetét alakítva át (1), (4) és (5) felhasználásával:
Innen (5) és (6)-ból
Végül négyzetre emeléssel
azaz | | (9) | Ugyanígy nyerjük, hogy | | (10) |
Ezek szerint csak (9) és (10) adhatja a feladat megoldását ‐ eltekintve -tól ‐, feltéve, hogy értelemmel bír a valós számok körében, azaz sem , sem nem negatív. Az első kifejezés negatív és 2-nél nagyobb értékeire negatív, a második azokra, amelyekre . Így csak és értékek jönnek tekintetbe. Az és értékre (9) és (10) a már tárgyalt megoldást adja, -re ettől különböző értékpárokat. Az is világos, hogy az -re és -ra (amik (1) és (2)-ben négyzetgyökjel alatt is szerepelnek) kapott értékek nem negatívok, mert a -re és -ra kapott (7) és (8) kifejezések is valós számot adnak a szóba jövő -értékekre, és pedig ezekből négyzetre emeléssel keletkezett. Megmutatjuk még, hogy az -re -ra kapott kifejezések sem negatívok. Ekkor ezen kifejezéseket is felhasználva behelyettesítéssel könnyen látható, hogy (9) és (10) valóban megoldását adja az egyenletrendszernek. (7)-ből a | | kifejezés a pozitív -gyel megszorozva a következőt kapjuk:
Ez -re pozitív, tehát (7) jobb oldala is. Hasonlóan (8)-ból
ha , tehát (8) bal oldala sem lehet negatív. Ezzel beláttuk, hogy az (1), (2) egyenletrendszernek megoldása minden mellett az értékpár. Ezen kívül -re van megoldása, és azt a (7), (8) képletpár szolgáltatja. Megjegyzések. 1. A közölt megoldás lényegében annak felel meg, hogy és helyett új változókat vezetünk be és először ezeket határozzuk meg. 2. Könnyen kiküszöbölhetjük az egyenletrendszerből a négyzetgyökös kifejezéseket, levonva a (2) -szorosából (1) négyzetét:
Innen meghatározható az hányados és ennek ismeretében (1)-ből , majd . Ezen az úton azonban kissé bonyolultabbak a számítások, mint a fenti megoldásban. |