Sokan nem is sejtik, hogy a zene milyen szoros összefüggésben van a matematikával. Pedig a zene mai magas fokára való felemelkedését nem csupán a zeneszerzők alkotó tehetségének, hanem részben a matematikusok munkásságának is köszönheti. Erről szól ez a cikk, amelyet bizonyos időközökben még több is fog követni, hogy lapunk olvasóinak valamelyes fogalmuk legyen azokról a küzdelmekről és erőfeszítésekről, amelyek mai, most már előreláthatóan végleges hangrendszerünk kialakulásához vezettek.
A zene olyan régi, mint maga az emberiség. Már az ősember felismerte a természet adta hangok sokféleségében a zenei hangok és a zörejek különbségét, s igyekezett, az előbbieket részint beszédszerve, részint mesterségesen készített eszközök (síp, lant) segítségével maga is létrehozni. Észrevette a zenei hangoknak magassági különbözőségét, s ezeknek a különböző magasságú hangoknak egymás után rendezésével megalkotta az első primitív dallamokat. Az összhangokat még nem használta, dallamai egyszólamúak voltak, s terjedelmük is csak néhány hangra szorítkozott, de már ez is kétségtelenül zene volt, egyszólamú, homofón zene.
A hangmagasságot tulajdonképpen folytonosan növelhetjük, s így a magasságra nézve különböző hangok száma végtelen nagy, a zenében azonban csak ugrásszerűen változó hangokat használhatunk, mert a folytonosan változó magasságú hang fülünket bántja. (Gondoljunk csak a légoltalmi riasztásnál, vagy a mentőautóknál használt szirénák ijesztő hangjára.) A zenében felmerülő első probléma tehát az volt, hogy a különböző magasságú hangok végtelen sokaságából kiválasszuk azokat, amelyekből dallamokat, melódiákat lehet alkotni. Ehhez a kiindulópontot az ember füle, hallása szolgáltatta.
Az ember már nagyon korán észrevette, hogy egy kezdőhangból kiindulva, a hangmagasságot fokozatosan növelve egyszer csak olyan hanghoz érkezik el, amelyet füle a kezdőhanghoz rendkívül hasonlónak, szinte a kezdőhang magasabb fekvésű ismétlődésének érez. Ezt a hangot a kezdőhang oktávjának nevezzük. (Az elnevezés okát később fogjuk látni.) Ezt a hangot mindig megtalálhatjuk, bármilyen hangból indulunk is ki, vagyis a hangok növekvő magasságú sora oktávokban ismétlődik. Az ismétlődés-érzet nem tanulás vagy nevelés eredménye, ezt a természet maga oltotta belénk, hiszen minden népnél megtalálható, még a kultúra legalsó fokán álló őskori népeknél is. Midőn ezek vallásos vagy társadalmi szertartásaik alkalmával ősi dalaikat közösen énekelték, akkor a nők természetszerűen egy oktávval magasabban intonálták ugyanazon dallamot, mint a férfiak, anélkül, hogy erről határozott tudatuk lett volna. Még ma is megtörténik, hogy nem nagy zenei képzettséggel rendelkező emberek a zongorán leütött hangot egy oktávval magasabban vagy mélyebben éneklik s tévedésüket nem veszik észre.
A hangoknak ez az oktávokban való ismétlődése már most lehetővé teszi számunkra, hogy a zenében használandó hangokat csak egyetlen ilyen oktáv keretén belül válogassuk ki. Ez a kiválogatás a különböző népeknél, de a különböző korokban is más és más irányelvek szerint történt, s hol tisztán a hallásra, hol pedig matematikai spekulációkra támaszkodott. Mint a művészetek és tudományok legtöbb ágában, itt is az ókori görögök a későbbi nemzedékekre maradandó hatást gyakoroltak. Az ő hangrendszerük volt az alapja a középkori skálák kialakulásának, s az ezekből leszármaztatható mai hangrendszerünknek is.
Bármennyire homofón jellegű volt is az akkori zene, mégis észrevették, hogy két hangot egyszerre szólaltatva meg, fülünk ezt néha kellemesnek, máskor viszont kellemetlennek találja. Pythagoras, az ókor híres filozófusa és matematikusa, aki minden dolog lényegét a számokban látta, ezt az érzést is számviszonyokra igyekezett visszavezetni. Vizsgálataihoz a monochordot használta (monos = egyedüli, chorda = húr), amely egy hosszú fadobozra feszített húrból állott. Ezt a húrt egyik végén csavar segítségével különböző erővel lehetett kifeszíteni, hosszúságát pedig a húr alatt csúsztatható lábbal lehetett változtatni. A megpendített húr a feszítéstől és a húr hosszúságától függően más és más hangot adott. Ha ezeket a kísérleteket mi is el akarjuk végezni, az előbbi húr mellé még egy másodikat is feszítenünk kell, s a kísérletek kezdetével ezt a két húrt pontosan összehangoljuk. Így minden hangot az eredetivel könnyen összehasonlíthatunk.
Ezek a kísérletek azt mutatják, hogy a húr hangjának oktávját akkor kapjuk meg, ha a húr hosszúságát változatlan feszítés mellett felére rövidítjük. Ha a feszítőerő változtatásával a húr alaphangját megváltoztatjuk, akkor is mindig ugyanezt találjuk. Pythagoras ezért az oktávnyi hangtávolságot (hangközt, intervallumot) ezen két hosszúság arányával fejezve ki, vagyis az oktáv mértékéül az: $1/2:1$, azaz $1:2$ arányt vette fel.
Az eredeti húr hosszúságát ezután $2/3$-részére rövidítve egy újabb, az oktávnál alacsonyabb hangot kapunk, amely az alaphanggal együtt majdnem olyan kellemesen hat, mint az oktávok együtthangzása, de itt már nem érezzük a két hangnak azt a szinte teljes összeolvadását, amelyet az oktávoknál vehettünk észre, itt már határozottan halljuk, hogy két hang szól egyszerre. A most nyert hang az alaphanggal az előbbiek szerint olyan hangközt alkot, amelynek mértéke $2/3:1$, vagyis $2:3$.
Az alaphanggal kellemesen együtt hangzó további hangra akkor jutunk, ha a húr hosszúságát $3/4$ részére csökkentjük. Ennek a hangköznek mértéke tehát $3/4:1$, azaz $3:4$.
A kellemes együtthangzást konszonanciának, a nem kellemest disszonanciának nevezzük s ennek megfelelően a hangközöket is konszonáns, vagy disszonáns hangközöknek mondjuk. Mint látjuk, Pythagorasnak sikerült a hangközt, amely végeredményben tisztán fiziológiai érzet, mérhető mennyiséggé alakítani, s két egész szám arányával mérnie, egyúttal pedig felfedeznie, hogy a hangközt annál konszonánsabbnak érezzük, minél kisebb egész számok arányával fejezhető ki. Ha az $1:1$ aránytól eltekintünk, mert hiszen ez azonos magasságú két hang intervallumát fejezi ki, akkor legkonszonánsabb hangköz az $1:2$ aránnyal kifejezhető oktáv, azután következik a $2:3$, majd a $3:4$ arányoknak megfelelő két hangköz. Ezek az ún. tökéletes konszonanciák. A $3:5$, $4:5$, $5:6$ még mindig konszonáns hangközöket jelentenek, ha nem is oly tökéleteseket, mint ez előbbiek, a 6-on túli egész számokkal kifejezhetők azonban már határozottan disszonánsok, különösen azok, amelyekben az 5-nél nagyobb prímszámok fordulnak elő.
Csak jónéhány évszázaddal későbben állapították meg, bár már előbb is sejtették, hogy a zenei hang keletkezéséhez valamely rugalmas test periodikus rezgése szükséges. Ezek a rezgések a hangforrástól a levegőn keresztül longitudinális hullámok alakjában fülünkbe jutnak, s a dobhártyát rezgésbe hozzák, amit azután hallószervünk mint hangot érzékel. Mint fizikai tanulmányainkból tudjuk, a hullámhosszúság és a rezgés frekvenciája a