Kezdőlap


Cím:	Súrlódásmentesen érintkező testekről
Szerző(k):	Fáy Árpád , Szenthe János
Füzet:	1960/szeptember, 33 - 36. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A merev testre ható erőt vektorként fogjuk fel. Azokat a vektorokat azonban, amelyek a merev testre ható erőket képviselik nem lehet úgy összegezni mint például a sebesség-vektorokat; ha ugyanis egy merev testre két erő hat és az ezeket képviselő vektorokat egy tetszőleges pontba eltolva a paralelogramma szabály szerint összeadjuk, az eredményvektor által képviselt erő hatás szempontjából nem lesz egyenértékű az eredeti két erő együttesével. Az alábbiakban merev testekre ható erőkkel fogunk műveleteket végezni. Műveleteinket a következő két szabály alapján végezzük el:
Egy merev testre annak egy pontjában ható erők abban a pontban a paralelogramma szabály szerint összegezhetők.
Ha egy merev testre ható, erőt annak hatásvonala mentén eltolunk, vele egyenlő hatású erőt kapunk.
Azoknál a kérdéseknél, melyeket meg fogunk vizsgálni többféle erő szerepel. Lesznek ezek között olyanok, melyek abból származnak, hogy az egyik testre a másik test támaszkodik. Ezek az erők egyszerűen kezelhetők abban az esetben, mikor a támaszkodó testek súrlódásmentesen érintkeznek. Ugyanis ebben az esetben, ha két test $A$ és $B$ súrlódásmentesen érintkeznek, akkor a $A$ testnek a $B$ testre való támaszkodásából származó $B$ -re ható ${\vec{P}}_{A B}$ erő a támaszkodás pontjában a $B$ felé a $B$ felületére merőlegesen hat (1. ábra).

1. ábra

Az akció‐reakció elve szerint a

{\vec{P}}_{A B}

erővel együtt fellép az

A

testre ható

{\vec{P}}_{B A}

erő és

{\vec{P}}_{A B} = - {\vec{P}}_{B A}

. Ha a két test érintkezése súrlódásos, a támaszkodásból származó erők általában nem merőlegesek a támaszkodó testek felületére.

Egy vízszintes tengelyű hengerre egy léc-háromszöget helyezünk ráfeszítve. Gondolatmenetünk érdekében a következő idealizálást végezzük: a háromszög oldalai egyenes szakaszok, a háromszög síkja függőleges és a háromszög és henger közötti érintkezés súrlódásmentes.

Kérdés: Milyen helyzetben marad a hengerre helyezett léc-háromszög nyugalomban ? Tegyük fel, hogy a léc-háromszög a hengeren nyugalomban van és oldalai a hengert az

A

B

C

, pontokban érintik. A léc-háromszögre a következő erők hatnak: súlyereje a súlypontjában, és a hengerrel való támaszkodásból származó erők

{\vec{P}}_{A}

{\vec{P}}_{B}

{\vec{P}}_{C}

, melyek az

A

B

C

, pontokban hatnak (2. ábra).

2. ábra

A léc-háromszög síkja a hengert egy körben metszi, ennek középpontját jelöljük

O

-val. A fentiek szerint a

{\vec{P}}_{A}

{\vec{P}}_{B}

{\vec{P}}_{C}

erők merőlegesek a henger felületére, tehát hatásvonalukon eltolhatjuk őket az

O

pontba és ott a paralelogramma szabály szerint összegezhetjük őket. Összegüket jelöljük

\vec{P}

-vel. A

\vec{P}

erő hatásvonala átmegy az

O

ponton. Mivel feltevésünk szerint a léc-háromszög nyugalomban van, a ráható erők egyensúlyban vannak. Ha viszont egy merev testre két erő hat és ezek egyensúlyban vannak, akkor szükségszerűen hatásvonalaik azonosak és összegük nulla. Esetünkben a

\vec{P}

erő tart egyensúlyt a léc-háromszög súlyerejével, tehát a léc-háromszög

S

súlypontja az

O

ponton átmenő függőlegesen van. A kérdésünkre adott felelet szükségessé teszi a léc-háromszög súlypontjának meghatározását, a következőkben ezzel a feladattal foglalkozunk.

2. ábra

Tételezzük fel, hogy a léc-háromszögön a tömegeloszlás homogén. A léc-háromszög súlypontját tömegének fokozatosan végzett, egy pontba való összpontosításával határozzuk meg. A léc-háromszög egyes oldalainak súlypontjai azok felezéspontjában vannak, ezek az

A'

B'

C'

pontok. Ha az egyes oldalak tömegét azok súlypontjában egyesítjük, akkor az így származó tömegpontok tömegei arányosak az oldalak hosszával. Most tehát az

A'

B'

C'

pontokban elhelyezett tömegek súlypontját keressük. Mivel az

A' B' C'

háromszög hasonló a léc-háromszöghöz, azért az

A'

B'

C'

pontokban elhelyezett tömegek aránya megegyezik az

B' C'

C' A'

A' B'

oldalak hosszainak arányával. Tekintsük most a

B'

és

C'

pontokban elhelyezett tömegek súlypontját, jelöljük ezt

A''

-vel.

A''

nyilván a

B' C'

oldalon van és azt a

B'

és

C'

pontokban elhelyezett tömegek arányában osztja. Mivel ezen tömegek aránya megegyezik az

A' C'

és

A' B'

oldalak hosszainak arányával, következik, hogy az

A''

pontot a

B' C'

oldalból az

A' B' C'

háromszög

A'

-nál levő szögének felezője metszi ki. Egyesítsük most a

B'

és

C'

pontokban elhelyezett tömegeket az

A''

pontban. Határozzuk meg az

A'

és

A''

pontokban elhelyezett tömegek súlypontját. Ez a léc-háromszög

S

súlypontja lesz. Az előbbiek szerint ez az

A' A''

szögfelezőn van. Ha a súlypont meghatározását a tömegek összpontosításának más sorrendjében végezzük, azt kapjuk, hogy a

S

súlypont rajta van a fentihez hasonló módon meghatározható

B' B''

és

C' C''

szögfelezőkön. Tehát az

S

pont az

A' B' C'

háromszögbe írható kör középpontja (3. ábra).

3. ábra

Nem nehéz belátni, hogy ha a léc-háromszög szabályos, akkor az

S

pont a háromszög középpontja és egybe esik az

O

ponttal. Ebben az esetben a léc-háromszög bármely helyzetében egyensúlyban van. Ha a léc-háromszög nem szabályos két esetben lehet nyugalom: Ha az

S

pont az

O

ponton átmenő függőlegesen az

O

pont felett van, ez labilis egyensúlyi helyzet; és ha az

S

pont az

O

ponton átmenő függőlegesen az

O

pont alatt van, ez stabilis egyensúlyi helyzet.
Megjegyezzük, hogy, ha az

S

pont nem az említett helyzetekben van, a léc-háromszög lengéseket végez, mivel fizikai ingának tekinthető. Fenti okoskodásunk lényege alkalmazható arra az esetre, mikor a léc-háromszög csak két pontban támaszkodik a hengerre. Ha a henger és a léc-háromszög érintkezése súrlódásos, akkor a feszítésből származó és az érintkezési pontokban fellépő súrlódási erők miatt a léc-háromszög más nyugalmi helyzetei is lehetségesek.

II.

Egy gép

A

tengelye a

B

csapágyperselyre támaszkodik és abban forog (4. ábra).

4. ábra

Bebizonyítjuk, hogy az átadódó erő hatásvonala a tengely középvonalán halad át. A csapágy olajjal, vagy zsírral van kenve, így élhetünk azzal a feltevéssel, hogy a felületek érintkezésénél súrlódási erő nem ébred. Ebben az esetben, ha egy erő ébred az érintkezési pontban, akkor ez merőleges a tengely felületére, tehát a hatásvonala a henger középvonalán halad át. Ha több ponton, vagy akár egész felületen támaszkodnak egymásra, akkor is az összes ébredő erő hatásvonala átmegy a tengely középvonalán. Az előző példához hasonló módon az összes ébredő erőt a hatásvonalán a középvonalra tolhatjuk, itt összegezve az eredő hatásvonala is átmegy a középvonalon. Ezt akartuk bizonyítani.

Megjegyzés: Korszerűen méretezett, pontosan kivitelezett és helyesen kent csapágyakban a valóságban az a helyzet, hogy a csapágyhézagban a forgó tengely az olajat maga alá gyűri, és az olajréteg teljesen körülveszi a tengelyt. Az erőhatás az olajrétegen keresztül elég nagy felületen adódik át. A fémes súrlódást így teljesen kiküszöbölték és csak a sokkal kisebb folyadéksúrlódás lép fel. Ezzel elérték, hogy az ilyen csapágyak súrlódási vesztesége alig több mint a golyóscsapágyaké. Golyóscsapágynál az erő a golyók egy-egy pontján pontszerűen adódik át, ami nagy erők esetén a golyók óriási helyi igénybevételét, erős belapulását és gyors tönkremenetelét okozza. Ezért olyan esetekben, mikor a csapágyon nagy erők adódnak át, az erőt felületen átszármaztató előbb említett csúszó csapágyak előnyösebbek a golyóscsapágyaknál.

III.

Egy gőzgép hengerében a gőznyomás a dugattyút adott

P

erővel nyomja. A dugattyú áll. Az

A

dugattyúhoz a

C

hajtórúd a

B

dugattyúcsappal csuklósan kapcsolódik. A hajtórúd az

E

forgattyúhoz a

D

forgattyúcsappal csuklósan kapcsolódik (5. ábra).

5. ábra

Kérdés: mekkora erőt ad át a

C

, hajtórúd az

E

forgattyúnak ? A csuklós kapcsolat az

A

és

C

, testek között azt jelenti, hogy a

C

test az

A

testhez képest csak a

B

csukló középpontja körül foroghat. A dugattyú és a henger között, valamint a csuklós kapcsolódásoknál a súrlódás az olajozás miatt elhanyagolható. A feladatot síkbeli kérdésként vizsgáljuk.
A megoldás kulcsa az, hogy a berendezés áll, tehát minden része egyensúlyban van. (6. ábra)

6. ábra

A

B

-nek

{\vec{P}}_{A B}

erőt ad át,

B

A

-nak

{\vec{P}}_{B A}

erőt ad át. Hasonlóan értelmezhető

{\vec{P}}_{C B}

{\vec{P}}_{B C}

{\vec{P}}_{C D}

{\vec{P}}_{D C}

{\vec{P}}_{D E}

. Ezen erők láncolatát fogjuk végig követni. A dugattyú a

B

dugattyúcsaphoz csuklósan kapcsolódik, a csuklós kapcsolódás esetén a fenti példánál alkalmazott gondolatmenettel kimutatható, hogy az átadott erő hatásvonala a csap középpontján halad át. Tehát

{\vec{P}}_{A B}

erő hatásvonala áthalad a

B

dugattyúcsap középpontján. Hasonló módon látható be, hogy

{\vec{P}}_{B C}

hatásvonala a

B

csap középpontján,

{\vec{P}}_{C D}

és

{\vec{P}}_{D E}

hatásvonalai a

D

csap középpontján haladnak át.
Induljunk ki a

C

, hajtórúd egyensúlyából. A

C

hajtórúdra két erő hat

{\vec{P}}_{B C}

és

{\vec{P}}_{D C}

. Amint már említettük, ha egy merev testre két erő hat, ezek csak úgy lehetnek egyensúlyban, ha hatásvonalaik azonosak és összegük nulla. Ezek szerint

{\vec{P}}_{B C}

és

{\vec{P}}_{D C}

hatásvonala csak a csapok középpontjait összekötő egyenes lehet. Az akció-reakció törvénye értelmében ebbe az egyenesbe esik

{\vec{P}}_{A B}

és

{\vec{P}}_{C D}

is. Folytassuk vizsgálatunkat a csapok egyensúlyával. A

B

csapra szintén két erő hat;

{\vec{P}}_{A B}

és

{\vec{P}}_{C B}

. Ezek közül

{\vec{P}}_{C B}

hatásvonalát ismerjük, tehát ez

{\vec{P}}_{A B}

hatásvonala is. Hasonlóan látható be,

D

csap egyensúlyából, hogy

{\vec{P}}_{D E}

hatásvonala is a csapok középpontját összekötő egyenes. Vizsgáljuk a dugattyú egyensúlyát. A dugattyúra ható

\vec{P}

erő és

{\vec{P}}_{B A}

iránya különböző, nincsenek egyensúlyban, ezért a dugattyúra még erőnek kell hatni. A dugattyú a hengerrel is kapcsolatban van, ennek felületén viszont a súrlódásmentesség miatt csak a felületre merőleges erő adódhat át. Jelöljük ezt

\vec{N}

-el. A dugattyú egyensúlya miatt

\vec{P} + \vec{N} + {\vec{P}}_{B A} = 0

. Ezt a vektorháromszöget megtudjuk szerkeszteni, mert

\vec{P}

ismert,

\vec{N}

iránya és

{\vec{P}}_{A B}

iránya ismert. A szerkesztés eredményét a 6. ábrán láthatjuk. Az

N

erő az, ami a dugattyút a henger középvonala mentén egyenes vonalú mozgásra kényszeríti. A megszerkesztett

{\vec{P}}_{B A}

erő nagysága egyenlő

{\vec{P}}_{A B}

nagyságával, ez egyenlő

{\vec{P}}_{C B}

nagyságával, továbbá az egész erősorozaton keresztül

{\vec{P}}_{D E}

nagyságával.

{\vec{P}}_{D E}

hatásvonalát az előbbiekben meghatároztuk, iránya a forgattyú forgási iránya alapján meghatározott. Ez volt az az erő, melynek meghatározását célul tűztük ki.
Más gépek erőviszonyait hasonló módszerekkel lehet vizsgálni.