Cím: 1959. évi fizika OKTV feladatai (folytatás)
Szerző(k):  Halász Gábor ,  Kisvölcsey Jenő ,  Papp Éva ,  Tusnády Gábor 
Füzet: 1960/február, 77 - 80. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első forduló feladataiból (folytatás):

 

3b. Hogyan mérjük meg nagy belső ellenállású áramforrás elektromotoros erejét két ismeretlen belső ellenállású voltmérővel?
 

Kisvölcsey Jenő, a budapesti piarista gimnázium IV. o. tanulójának megoldása:
Az elektromotoros erő E, az áramforrás belső ellenállása x, az első voltmérő belső ellenállása R1, a másodiké R2.
Végezzünk három mérést:
1. Mérjük meg az áramforrás kapocsfeszültségét az első voltmérővel. Ez legyen U1. Az áramerősség
I1=Ex+R1.
A voltmérőn U1 feszültség esik:
U1=E⋅R1x+R1.(1)
2. Ezt a mérést a másik voltmérővel is elvégezzük:
U2=E⋅R2x+R2.(2)
3. Kapcsoljuk a két voltmérőt párhuzamosan. U3 feszültséget mutatnak.
A három ellenállás eredője:
x+R1⋅R2R1+R2.Az áramerősség:I3=Ex+R1⋅R2R1+R2.
Az első műszeren i1 áram folyik. Ez úgy keletkezik, hogy a főágban folyó áram, (I3) a mellékágakban levő ellenállásokkal fordított arányban oszlik:
i1=I3⋅R2R1+R2.
A mért feszültség:
U3=i1⋅R1=I3⋅R1⋅R2R1+R2=ER1⋅R2R1+R2x+R1⋅R2R1+R2=ExR1+xR2+1
(1) és (2) összefüggésekből helyettesítéssel kapjuk:
U3=EEU1+EU2-1.EbbőlE=11U1+1U2-1U3.

 

A második forduló feladataiból:
 

2. M tömegű mozdonyból és n darab m tömegű kocsiból álló szerelvény két kocsija, valamint az első kocsi és a mozdony között l hosszúságú vontatólánc van. Álló helyzetben két kocsi, valamint az első kocsi és a mozdony közötti távolság l0<l. A mozdony állandó P húzóerővel rendelkezik. Mekkora a vonat sebessége utolsó kocsi megindulásakor álló helyzetből való indítás esetén? Mekkora ekkor az összes mozgási energia? Mekkora az indítás hatásfoka? Mekkora energiát fogyasztott a láncok kifeszítése? (A súrlódás és a közegellenállás elhanyagolható.)
Halász Gábor, a budapesti II. Rákóczi Ferenc gimnázium IV. o. tanulójának megoldása:
Ha egy rendszerre állandó külső erő hat, a rendszer súlypontja az erő és a tömeg meghatározta gyorsulással halad függetlenül a belső erőktől. A szerelvény sebessége az utolsó kocsi megindulásakor megegyezik ugyanebben a pillanatban a súlypont sebességével. A kérdéses sebességet a súlypont gyorsulásából és a súlypontnak az utolsó kocsi megindulásáig megtett útjából számítjuk ki.
Legyen a két egymás után következő kocsi súlypontja közti távolság álló helyzetben l0, az utolsó kocsi megindulásakor l. Álló helyzetben az n darab m tömegű kocsi tömegközéppontja S0 a két szélső kocsi súlypontja közötti távolság felező pontjában van:
Mmmmmmmm.....MMMMMMMmASS0BS0B=n-12l0
Az egész rendszer súlypontja S
n⋅m⋅SS0=M⋅(AS0-SS0)=M⋅(n+12l0-SS0),
ahonnan
SS0=M⋅l0⋅(n+1)2(n⋅m+M)
tehát
SB=SS0+S0B=l0⋅n⋅[2M+m⋅(n-1)]2M⋅(n+1).
Az utolsó kocsi megindulásakor a súlypontnak az utolsó kocsi súlypontjától való távolsága
l⋅n⋅[2M+m⋅(n-1)]2M⋅(n+1).
A súlypont elmozdulása
(l-l0)n⋅[2M+m⋅(n-1)]2M⋅(n+1).
A gyorsulás
a=Pn⋅m+M
Tehát a végsebesség v=2as összefüggésből:
v=P⋅(l-l0)n⋅[2M+m⋅(n-1)]n⋅m+M
A mozgási energia
Em=P⋅(l-l0)n⋅[2M+m⋅(n-1)]2(n⋅m+M)
A befektetett munka
L=P⋅n⋅(l-l0).
A hatásfok
μ=2M+m(n-1)2(n⋅m+M).

Ez mindig kisebb, mint 1, mert az egységet levonva belőle, negatív eredményt kapunk.
Az energia megmaradása elve alapján a láncok kifeszítésére fordított energia
L-Em=P⋅(l-l0)n⋅m⋅(n+1)2(n⋅m+M)

 

3b. Egy 10cm és egy 40cm gyújtótávolságú homorú gömbtükröt a közös fénytani tengelyen egymástól 110cm távolságban egymás felé fordítva helyezünk el. Melyik az a két pont a két tükör között, amelynek a tükörben keletkezett összes képei ebben a két pontban vannak? Mekkorának kell lennie a két tükör egymástól való távolságának, hogy ez a két pont egybeessék?
 

Tusnády Gábor a sátoraljaújhelyi Kossuth Lajos gimnázium IV. o. tanulójának megoldása:
 

Ha a pont I. tükörben (10cm fókusztávolságú) alkotott valódi képe a II. tükör (40cm fókusztávolságú) tárgyául szolgálva olyan képet ad, amely egybeesik az eredeti tárggyal, a pont helyzete megfelel a feltételnek. Legyen a tárgy az I. tükörtől t1cm-re, képe az I. tükörtől k1cm-re, akkor a feltétel szerint ugyanez a II. tükörtől t2cm-re és ennek a II. tükörben keletkezett képe (egybeesik az eredeti tárggyal) a II. tükörtől k2cm-re van, akkor fennáll a következő négyismeretlenes egyenletrendszer:
t1+k2=at2+k1=a1t1+1k1=1f11t2+1k2=1f2,
ahol a a két tükör fénytani középpontjának távolsága, f1 az I. és f2 a II. tükör fókusztávolsága. Az egyenletrendszert átalakítva t1-re másodfokú egyenletet kapunk:
t12⋅(a-f1-f2)-t1⋅(a-2f2)⋅a+(a-2f2)⋅a⋅f1=0
a=110cm, f1=10cm, f2=40cm értékeket helyettesítve: t1=13,14cm, 41,86cm.
 

A feladat második kérdésére a megoldást Papp Éva, a budapesti Ságvári Endre gimnázium IV. o. tanulójának dolgozatából közöljük: A két pont a két tükörnek azon távolságánál esik egybe, amelyre az előbbi másodfokú egyenlet diszkriminánsa 0:
a2⋅(a-2f2)2-4(a-f1-f2)⋅(a-2f2)⋅a⋅f1=0
f1=1dm és f2=4dm értékeket helyettesítve:
a2⋅(a-8)2-4(a-5)(a-8)⋅a=0.
Ennek megoldásai: a=0
a-8=0,ebbőla=8dm,a2-12a+20=0,ebbőla={10dm2dm
A három utolsó a reális megoldás. Ha a két tükör közti távolság 10dm, akkor a két tükör kétszeres gyújtópontja egybeesik, és a tárgy a kétszeres gyújtópontban van.
Ha a két tükör távolsága 2dm vagy 8dm, akkor a tárgy az első, illetve a II. tükör kétszeres gyújtótávolságában van, és ugyanott van a másik tükör fénytani középpontja.