A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha , , különböző egész számok, pedig nem negatív egész szám, akkor | | (1) | értéke egész szám.
I. megoldás. Azt fogjuk megmutatni, hogy a kifejezést közös nevezőre hozva a számláló osztható a nevezővel, közelebbről azt, hogy a nevező tényezői kiemelhetők a számlálóból, a visszamaradó tényező , , -nek egész együtthatós polinomja. Így ha , , egész, akkor a kifejezés értéke is egész szám. A közös nevezőre hozott alak | | (2) | Itt -ra a számláló s így a kifejezés értéke. Másrészt ebből Ezt felhasználva a számláló tetszés szerinti -re a következőképpen alakítható: | | Ez -re -t ad, ha pedig , akkor -t, kiemelve a következőt kapjuk:
Itt a szögletes zárójelben , , -nek egész együtthatós polinomja áll állításunknak megfelelően. (Az esetben a szögletes zárójelben csak az utolsó tag, az esetben pedig csak az első kifejezés és az utolsó tag lép fel.)
Megjegyzés. 1. Ha , a szögletes zárójelben egyszerű felépítésű polinom keletkezett: azoknak az , , hatványait tartalmazó szorzatoknak az összege, amelyekben a hatványkitevők összege . 2. Sok versenyző a feladat állítását bizonyítottnak vélte annyit mutatva meg, hogy a (2) alatti kifejezés számlálója osztható külön-külön az , , egészekkel. Ebből azonban csak akkor következtethetnénk arra, hogy ezek szorzatával is osztható a számláló, ha a három különbség semelyik kettőjének nem volna -nél nagyobb közös osztója; ez azonban általában nem teljesül. Helyessé tehető ez az okoskodás, ha a számlálót és nevezőt az , , változók polinomjának tekintjük. Ekkor az , , polinomoknak nincs változót tartalmazó közös osztója, és mindegyik kiemelhető a számlálóban szereplő polinomból. Ebből az egész együtthatós polinomok körében is következik, hogy a három kifejezés szorzata is kiemelhető a számlálóból. Néhány versenyző ezen az úton helyes bizonyítást adott a feladat állítására, ezzel azonban lényegesen mélyebb tételt használt fel bizonyítatlanul, mint a bizonyítandó állítás. Helyessé tehető azonban ez a gondolatmenet a gyöktényezők kiemelésére vonatkozó tételt a következő alakban használva fel: Ha egy polinomnak gyöke a szám, akkor felbontható -nek és egy polinomnak a szorzatára. Ha egész együtthatós, és is egész szám, akkor szorzója is egész együtthatós polinom. Ez könnyen leolvasható a gyöktényező kiemelésére vonatkozó szokásos bizonyításokból például a következő módon: Legyen | | Ekkor
Ha itt az együtthatók és egész szám, akkor nyilvánvalóan egész együtthatós a szögletes zárójelben levő kifejezés is. Ennek alapján a feladat állítása így látható be:
II. megoldás. A (2) kifejezés számlálója , ha értéke vagy . Ha , akkor rendezzük a kifejezés számlálóját hatványai szerint, és végezzük el a kínálkozó kiemelést:
(Itt esetén a szögletes zárójelben az utolsó tag utolsó tényezőjén az számot kell érteni.) Tekintsük ezt most az változó polinomjának, és pedig jelentsenek adott különböző egész számokat. Ekkor (3) bal oldala eltűnik az helyen, így a jobb oldal második tényezője is, mert és különböző. Ez a tényező egész együtthatós és is egész, így kiemelhető az tényező és kiemelése után egy egész együtthatós polinom marad vissza. Ez a polinom eltűnik az helyen, mert (3) bal oldala eltűnik, viszont a jobb oldalon az előző kiemelés után keletkezett szorzat nem tűnik el, mivel és különböző. Így kiemelhető még az tényező is és ismét egész együtthatós polinomja marad vissza. Ha az így átalakított számlálóban helyébe is az adott egész értéket helyettesítjük, azt kapjuk, hogy a számláló az szorzatnak egy egész többszöröse, tehát a (2) kifejezés egész szám.
III. megoldás. Jelöljük az (1) kifejezést -vel. Teljes indukcióval fogjuk bizonyítani, hogy ez az , , változók egész együtthatós polinomja. Az állítás -ra igaz, mert azonosan . Tegyük fel, hogy valamilyen értékre egész együtthatós polinom. Kiküszöbölve -ből és -ből a harmadik tagot a következő azonossághoz jutunk: | | azaz | | (4) | ahol -ra a zárójelben álló összeg -val helyettesítendő. Ebből azonnal következik, hogy -vel együtt is , , egész együtthatós polinomja. Állításunk tehát minden nem negatív egész -re érvényes.
Megjegyzés. A (4) azonosság mindjárt módot is ad a polinomok lépésről lépésre történő ‐ úgynevezett rekurzív ‐ meghatározására. Megkaphatjuk ebből explicit előállítását is, teljes indukcióval bebizonyíthatjuk az I. megoldáshoz fűzött 1. megjegyzés állítását.
IV. megoldás. Az (1) kifejezést tekinthetjük a
kifejezések speciális esetének, ha . Értelem szerint -en -t értjük. Az alábbi meggondolások erre az esetre is érvényesek. Megmutatjuk, hogy ezek a kifejezések minden -ra és tetszés szerinti nem negatív egész -re a változók egész együtthatós polinomjai. A bizonyítás történhetik a változók számára vonatkozó teljes indukcióval. A értékre az változó egész együtthatós polinomja. Tegyük fel, hogy ha valamilyen értékkel egyenlő (ahol ), akkor a változóinak egész együtthatós polinomja. Ekkor képezzük a | | kifejezést. Itt az számlálójú tag mindkét kifejezésben fellép, ha és , a nevezők pedig egyenlővé válnak, ha az első törtet -lel, a másodikat -gyel bővitjük. Ekkor a számlálóban | | lesz, tehát a két tört összevonásával az | | tag keletkezik. Az első, ill. második kifejezés utolsó tagját -lel bővítve így alakítjuk át: | | ill. | | Így a következő azonosságra jutunk, kiemelve a minden tagban közös tényezőt: | | (5) |
Itt a bal oldalon és az indukciós feltevés szerint a változók egész együtthatós polinomja; az utóbbi úgy nyerhető az előbbiből, hogy helyébe -et írunk. Így az egyiket , a másikat hatványai szerint rendezve a két kifejezésben , ill. egyenlő hatványainak megegyezik az együtthatója. A különbségben ezeket a közös együtthatókat kiemelve alakú különbségek lépnek fel. Ezek mindegyikéből, s így (5) bal oldalából is kiemelhető az tényező. A visszamaradó tényező, ami (5) szerint -et adja, az változók egész együtthatós polinomja. Ezzel indukciós bizonyításunkat befejeztük.
Megjegyzések. 1. A bizonyítást lépésről lépésre követve az is könnyen bizonyítható teljes indukcióval, hogy az változók hatványaiból képezett összes olyan szorzatok összege, amelyekben a kitevők összege , ha ; azonosan egyenlő -gyel, ha , ha pedig , akkor -val. 2. Az eddigi bizonyítások mindegyike felhasználta az | | azonosságot. A következő ‐ lényegében Arató Péter dolgozatából származó ‐ megoldásban erre sincs szükség.
V. megoldás. A | | kifejezés, mint polinomja nyilván eltűnik a , , helyeken és ugyanez áll a kifejezés -szeresére is. Így ha az , , akármelyikét jelenti, azonosan teljesül, hogy
(ami különben közvetlenül is könnyen belátható). Jelöljük a feladatban szereplő kifejezést -vel, amint a III. megoldásban is tettük, akkor tagjainak számlálójában felhasználva a (6) azonosságokat, a következő azonossághoz jutunk:
Ebből látjuk, hogy ha kifejezésünk három egymásutáni egész értékére a változók egész együtthatós polinomja, akkor ugyanez áll minden nagyobb egész számra is. Mivel pedig , , így minden nem negatív egész -re az , , változók egész együtthatós polinomja.
Megjegyzés. Az V. megoldás módszerével is bizonyítható a IV. megoldásban szereplő általánosabb állítás tetszés szerinti adott -ra, csak ekkor -re kell meghatározni értékét.
2. feladat. Megmértük egy vízszintes terepen álló antennatorony emelkedési szögét a talppontjától , és távolságból. A három szög összege . Milyen magas a torony?
Igen egyszerű trigonometriai megoldás kínálkozik a feladatra és a versenyzők mind ilyen utat is választottak.
I. megoldás. Jelöljük a torony magasságát méterben mérve -szel, a látószögét , , -ről rendre , , -val, ekkor | | és feltétel szerint , tehát
Innen és mivel gyanánt csak pozitív érték jön számításba, tehát a torony magassága . Megjegyzés. Mint többen észrevették, megoldható a feladat ugyanezzel a gondolatmenettel akkor is, ha tetszés szerinti , , távolságokból mért , , látószögekről tudjuk azt, hogy összegük . Ekkor a torony magassága . Megoldható azonban a feladat lényegesen egyszerűbb összefüggésekre támaszkodva is.
II. megoldás. Sík talajon nem lényeges, hogy milyen irányból mérjük a torony látószögét az adott távolságokból, válasszuk tehát a , ill. távolságra levő , ill. pontokat a toronytól egymással ellentétes irányban, a látószöget pedig szemléltessük úgy, hogy a pontból az egyenesnek a torony csúcsával ellentétes oldalán mérünk fel -re merőlegesen a torony magasságával egyenlő távolságot. Ekkor , mert .
1. ábra A torony talppontja, csúcsa továbbá a és pontok meghatározta négyszög paralelogramma, mert két oldala egymással párhuzamos és egyenlő, tehát a szakaszt felezőpontjában metszi. Eszerint , s így , az háromszög egyenlő szárú. Megállapíthatjuk -nél levő szögének a nagyságát is abból, hogy az négyszög -nál és -nél levő (szemben fekvő) szögeinek összege , a feltétel szerint -ot ad; a négyszög tehát húrnégyszög, és a körülírt kör átmérője, mert a pontból -os szögben látszik. Így az szintén -os, az egyenlő szárú háromszög tehát derékszögű. Ebből adódik, hogy , így az derékszögű háromszög ugyancsak egyenlő szárú, tehát a torony magassága .
III. megoldás. Rajzoljuk meg a tornyot háromféleképpen. Két oldalról egyrészt az és látószögű egyenesekkel, másrészt és , harmadrészt és látószögű egyenesekkel (2. ábra). A keletkező három háromszögben az , , oldalakon levő szögek összege , így a , , -nál levő szögek összege . Mivel még , , , így a három háromszög egy háromszöggé tehető össze. Ennek oldalai , , kielégítik a összefüggést, és ismeretes, hogy ebből következik a háromszög derékszögű volta, (a Pythagorász-tétel megfordítható) derékszöggel az csúcsnál. Így , és ebből következik, hogy a torony magas.
2. ábra Megjegyzés. A II. megoldás lényegesen kihasználja a feladat speciális adatait, a III. azonban csak részben. Ha ugyanis megfigyeljük, hogy az összeillesztésnél a , , egybeesésével keletkező pont az háromszög beírt körének a középpontja, akkor területszámítás segítségével más távolságadatok mellett is meghatározható a torony magassága.
3. ábra 3. feladat. Három fivér egy napon látogatott meg egy beteget. Ugyanazon a napon mindegyiknek a felesége is ott járt. Egyikük sem volt ott aznap többször. Mindhárom fivér találkozott a betegágynál mindkét sógornőjével. Bizonyítandó, hogy valamelyikük a feleségével is találkozott ott.
I. megoldás (Kóta Gábor dolgozata nyomán). Tegyük fel, hogy pl. és -né nem találkozott a betegágynál. Ekkor -né vagy elment, mielőtt férje megérkezett és ez esetben korábban távozott a betegágytól mint két sógornője, hiszen ők találkoztak a betegágynál az -né távozása után érkező -val, vagy pedig -né távozása után érkezett és ekkor későbben érkezett mint két sógornője, hiszen azoknak távozása előtt kellett a beteghez érkezniük. Csak úgy lehet tehát, hogy egy asszony nem találkozott a férjével, ha vagy előbb távozott, mint a két sógornője, vagy később érkezett náluk. Azonban három asszony közül legalább az egyik sem nem érkezett a másik kettő után, sem nem távozott azok távozása előtt, így legalább egynek találkoznia kellett a férjével.
II. megoldás. Indirekt úton bizonyítjuk a feladat állítását. Tegyük fel, hogy egyik házaspár sem találkozott a betegágynál. Ez esetben, ha pl. előbb érkezett -nénél, akkor el is kellett távoznia felesége érkezése előtt. Viszont találkozott -nével, tehát -né előbb érkezett mint -né. -nek felesége távozása után kellett érkeznie, csak így találkozhatott -néval anélkül, hogy feleségével találkozott volna. Ha a felesége után érkezett a betegágyhoz, akkor fenti meggondolásunkban férj és feleség szerepét mindenütt megcserélve szintén azt nyerjük, hogy férj és feleség a házaspárból fordított sorrendben kellett, hogy a betegágyhoz érkezzék, mint az házaspárból. Ugyanezt a meggondolást megismételve egyrészt az és házaspárra, másrészt a és házaspárra azt kapjuk, hogy és -né fordított sorrendben kellett hogy a betegágyhoz érkezzék, mint és -né, de ugyancsak fordított sorrendben, mint és -né. Ez azonban már lehetetlen, tehát legalább egy házaspárnak találkoznia kellett a betegágynál.
Megjegyzés. A most ismertetett meggondolás alkalmas egy általánosabb tétel bizonyítására is. Hogy ezt könnyebben megfogalmazhassuk, előbb átfogalmazzuk az eredeti feladatot. A három házaspár elhelyezkedhet egy kerek asztal körül pl. , -né, , -né, , -né sorrendben (-né másik szomszédja ). Ekkor azt mondhatjuk: a hattagú társaság minden tagja meglátogatott (pl. másnap) egy beteg ismerőst. Mindenki csak egyszer járt ezen a napon a betegágynál és mindenki találkozott ott mind a két előző napi asztalszomszédjával. Ez csak úgy történhetett, hogy valaki házastársával (azaz a vele szemben ülővel) is találkozott. Ez speciális esete a következő általánosabb tételnek: Egy nap házaspár beszélgetett egy asztal körül, ahol úgy helyezkedtek el, hogy mindenki éppen házastársával szemben ült. Elhatározták, hogy másnap mindegyikük meglátogatja egy közös ismerősüket, aki beteg. A látogatás során úgy adódott, hogy mindenki találkozott a betegágynál két előző napi asztalszomszédjával és ezen a napon mindenki csak egyszer járt a betegnél. Ekkor valamelyik házaspár találkozott a betegágynál. Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy egyik házaspár sem találkozott, noha a többi feltételek teljesültek. Az asztalszomszédok legyenek sorra , , , , , itt és , és , , és házastársak. Tegyük fel, hogy a betűzést úgy választottuk, hogy előbb érkezett a betegágyhoz, mint házastársa, (és feltevésünk szerint el is kellett távoznia érkezése előtt). Ekkor , aki találkozott gyel, előbb kellett, hogy érkezzék, mint . Így , aki találkozott -gyel, de feltevésünk szerint nem találkozott házastársával, -vel, csak távozása után érkezhetett. Hasonlóan -nak távozása után kellett érkeznie és így tovább. Így azonban az -edik lépésben azt kapjuk, hogy az -nel találkozó csak azután érkezhetnék a betegágyhoz, miután -nel találkozó házastársa, eltávozott, holott abból indultunk ki, hogy előbb érkezett mint . Nem lehet tehát, hogy egyik látogató se találkozzék a betegágynál a házastársával.
|