|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az 1958. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny II. fordulóján kitűzött 2. feladat a következő volt:
Legyen és egész szám. Bizonyítandó, hogy csak akkor állíthat elő végtelen sok egész értékre négyzetszámot, ha a kifejezés egy elsőfokú polinom négyzete.
Mind a két közölt megoldás lényegesen kihasználja, hogy a polinom másodfokú. Adható azonban a feladatnak olyan megoldása is, amelyikben a polinom fokszáma nem játszik lényeges szerepet, s így alkalmas a következő lényegesen általánosabb tétel bizonyítására:
Ha egy -ed fokú egész együtthatós polinomban a legmagasabb fokú tag együtthatója és a polinom értéke végtelen sok egész helyen egész szám -edik hatványa, akkor a polinom egy egész együtthatós elsőfokú polinom -edik hatványa.
2. Azt fogjuk megmutatni, hogy ha a tétel állítása nem teljesül, akkor egy megadható korlát fölött minden egész helyen a polinom értéke két szomszédos egész szám -edik hatványa közé esik, így nem lehet egész szám -edik hatványa.
Ennek bizonyítása a következő megjegyzésen fog alapulni: Minden | |
polinomhoz megadható egy korlát úgy, hogy minden -nál nagyobb értékre már olyan előjelű, mint .
Állításunk magától értetődő, ha , azaz állandó. Ha , akkor biztosan teljesül az állítás, ha pozitív és abszolút értéke nagyobb, mint a többi tagok összegének az abszolút értéke, ez pedig nem nagyobb, mint a tagok abszolút értékének összege: | |
Ha csak -nél nagyobb értékekre szorítkozunk, tehát értéke legalább , akkor ezt az összeget tovább növeljük (vagy legalább is nem csökkentjük, ha ugyanis ) minden együttható szorzójául -t írva. Biztosan teljesül tehát állításunk, ha az így növelt összegnél is nagyobb, azaz ha | |
azaz, ha | |
Ha tehát gyanánt az itt nyert szám és közül a nagyobbat választjuk, akkor teljesül állításunk.
3. A bizonyítandó állításban alakú kifejezés -edik hatványáról van szó. Ezt a hatványt polinom alakba írva a legmagasabb fokú tag lesz; az -ed fokú tagot úgy kapjuk, ha az | |
szorzatban minden lehető módon egy tényezőből a -t, a többiből az -et szorozzuk össze; mivel -féleképpen választhatjuk azt a tényezőt, amelyikből -t vesszük ki, így a polinom -ed fokú tagja : (A további tagok együtthatója is könnyen megadható volna, de erre nem lesz szükségünk.)
4. Legyen most már egy egész együtthatós polinom. Megmutatjuk, hogy ha ez nem egy elsőfokú egész együtthatós kifejezés -edik hatványa, akkor legfeljebb véges sok egész helyen lehet az értéke egész szám -edik hatványa.
Legyen az az egész szám, amelyre . ekkor | |
egy legfeljebb -ed fokú polinom (lehet, hogy az -ed fokú tag együtthatója és esetleg néhány további együttható is ), de nem tűnhet el minden együttható, ha .
Tegyük fel először, hogy legmagasabb fokú ténylegesen fellépő tagjának az együtthatója pozitív, akkor képezzük az | |
polinomot. Itt megválasztása szerint az -ed fokú tag együtthatója negatív, és ez a tag a polinom legmagasabb fokú tagja.
A 2. pontban bizonyított segédtétel szerint van olyan és állandó, hogy | |
Jelöljük és közül a nagyobbat -val, akkor minden -nál nagyobb -re | |
azaz
Így a most tárgyalt esetben minden -nál nagyobb egész értékre két egymás utáni egész szám -edik hatványa közé esik, tehát nem lehet egész szám -edik hatványa.
5. Ha legmagasabb fokú tagjának az együtthatója negatív, akkor az | |
polinomot képezzük, ebben a legmagasabb az -ed fokú tag és ennek az együtthatója megválasztása szerint pozitív.
Így az előbbi meggondoláshoz hasonlóan meg tudunk ebben az esetben egy olyan értéket adni, amelynél nagyobb -értékekre | |
tehát Ebben az esetben sem lehet tehát a -nál nagyobb egész értékekre értéke egy egész szám -edik hatványa.
Azt nyertük tehát, hogy értéke nem lehet végtelen sok pozitív egész értékre egész szám -edik hatványa, kivéve, ha és .
6. Végül a negatív egész értékek esetét visszavezethetjük a már tárgyalt esetre. Ugyanis negatív helyen vett értékei megegyeznek az polinom pozitív helyen felvett értékeivel és ha ezek valamelyike egész szám -edik hatványa; akkor ugyanez áll az | |
polinomra is. Megfordítva, ha valamilyen értékre egy egész szám -edik hatványa; akkor ugyanez ájl az polinomra is.
Az előbbi meggondolás szerint értéke nem lehet végtelen sok egész helyen egész szám -edik hatványa, kivéve, ha és .
Ebben az esetben | |
Az előző bekezdés végén megfogalmazott következtetésünk így pozitív egész értékek helyett mindén egész értékre érvényes. Ezzel bebizonyítottuk az 1. pontban kimondott tételt.
Középiskolai Matematikai Lapok, új sorozat 17 (1958), 68‐69 old. |
PDF | MathML