Kezdőlap


Cím:	1959. évi fizika OKTV feladatainak megoldása
Szerző(k):	Párkányi László
Füzet:	1959/október, 76 - 79. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első forduló feladataiból

A

pontból

45^{\circ}

-os szög alatt

v

kezdősebességgel elindított lövedék

B

pontot találna el. A

B

pontból lövedéket indíthatunk

2 v

kezdősebességgel. Az

A

pontból egyidőben indítva

B

ponttól milyen maximális távolságra lehet a második lövedéket lelőni?

Magos András, a budapesti II. Rákóczi Ferenc gimnázium IV. o. tanulójának megoldása:
Ha az

A

pontból indított lövedék kezdősebessége

v

és a hajítási szög

α

, akkor a kezdő sebesség vízszintes összetevője

\begin{matrix} v_{A x} = v \cdot cos α \end{matrix}

függőleges összetevője

\begin{matrix} v_{y} = v \cdot sin α . \end{matrix}

Esetünkben

\begin{matrix} v_{A x} = v_{y} = \frac{v}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

A hajítási távolság

\begin{matrix} L = \frac{v^{2}}{g} . \end{matrix}

A két lövedék összeütközéséhez szükséges, hogy mindkettő kezdősebességének függőleges összetevője egyenlő legyen. (Ekkor a repülés minden pillanatában egyenlő magasságban vannak.) Mivel a vízszintes és függőleges összetevők derékszöget zárnak be, a

B

pontból indított lövedék vízszintes sebességösszetevője

\begin{matrix} v_{B x} = \sqrt[]{{(2 v)}^{2} - v_{y}^{2}} = \sqrt[]{\frac{7}{2}} \cdot v . \end{matrix}

Találkozzék a két lövedék elindításuk után

t

másodperccel. A hajítási távolságot a két lövedék elmozdulása vízszintes irányú összetevőinek összege adja meg:

\begin{matrix} t \cdot v_{A x} + t \cdot v_{B x} = t \cdot \frac{v}{\sqrt[]{2}} + t \cdot \frac{v \cdot \sqrt[]{7}}{\sqrt[]{2}} = \frac{v^{2}}{g}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} t = \frac{\sqrt[]{2} \cdot (\sqrt[]{7} - 1)}{6} \cdot \frac{v}{g} . \end{matrix}

B

pontból indított lövedéknek az ütközésig vízszintes irányban megtett útja:

\begin{matrix} s_{B x} = v_{B x} t = \frac{\sqrt[]{7} \cdot (\sqrt[]{7} - 1)}{6} \cdot \frac{v^{2}}{g} . \end{matrix}

A függőleges irányban megtett út

\begin{matrix} s_{y} = v_{y} \cdot t - \frac{g}{2} \cdot t^{2} = \frac{v^{2} \cdot (4 \sqrt[]{7} - 7)}{18 g} . \end{matrix}

Tehát az összeütközés pontjának

B

-től való távolsága:

\begin{matrix} x = \sqrt[]{s_{B x}^{2} + s_{y}^{2}} = 0, 755 \frac{v^{2}}{g} . \end{matrix}

Vermes Miklós megjegyzése:
Ha a két lövedék egyszerre indul el, akkor a találkozásig függőlegesen mindegyik ugyanannyit esik le. Ezért mindkét lövedéknél eltekinthetünk a szabadesés törvénye szerint megtett függőleges távolságtól (mintha eső koordináta-rendszerből figyelnénk a jelenséget).

A

-ból és

B

-ből

α

és

β

szögekkel egyeneseket rajzolunk és azt vizsgáljuk, hogy az ezeken

v_{1}

és

v_{2}

állandó sebességgel mozgó lövedékek milyen feltételek mellett találkoznak.

Ha megvan találkozásuk

C

pontja és

t

ideje, akkor függőlegesen le kell bocsátani a

C D = \frac{1}{2} g t^{2}

távolságot, és

D

-ben megtaláljuk a találkozás tényleges helyét. Ez a módszer bárhonnan, bármilyen sebességgel és szöggel egyszerre indított lövedék esetében alkalmazható.

0 C^{\circ}

-on egyenlő hosszúságú vékony sík réz- és invarlemezből bimetallt készítünk úgy, hogy a lemezek végig pontosan összeilljenek. Így a két lemez középvonalának távolsága

d = 0, 5

mm. A két lemez egyik végét rögzítjük, a másikra mutatót szerelünk. Mekkora hosszúságúra válasszuk

0 C^{\circ}

-on a lemezeket, hogy

10 C^{\circ}

hőmérsékletemelkedésnek a mutató

1^{\circ}

-kal való elfordulása feleljen meg? A réz vonalas hőkitágulási együtthatója

17 \cdot 10^{- 6} / C^{\circ}

, az invaré

1 \cdot 10^{- 6} / C^{\circ}

. A lemez elhajlása körívben történik.

Magos András, a budapesti II. Rákóczi Ferenc gimnázium IV. o. tanulójának megoldása:
A mutató elfordulási szögét

α

-val jelöljük. Mivel a mutató az érintő irányába mutat, a szalag által meghatározott ívhez tartozó középponti szög és a mutató elfordulási szöge merőleges szárú szögek, tehát egyenlők. Ha az invar lemez középvonalához tartozó sugarat

r

-rel jelöljük, akkor a rézlemez középvonalához tartozó sugár:

r + 0, 5 mm

.
Így a két középvonal hossza melegítés után:

\begin{matrix} i_{i} = \frac{2 r π}{360} és i_{r} = \frac{2 (r + 0, 5 mm) π}{360} . \end{matrix}

A kettő különbsége:

\begin{matrix} i_{r} - i_{i} = \frac{π}{360} mm . \end{matrix}

Ha a bimetall‐szalag hossza

0 C^{\circ}

-on

x

, akkor

10 C^{\circ}

-os melegítéskor a rézszalag megnyúlása

\begin{matrix} l_{r} = 17 \cdot 10^{- 5} \cdot x \end{matrix}

az invar szalag megnyúlása

\begin{matrix} l_{i} = 10^{- 5} \cdot x . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} i_{r} - i_{i} = l_{r} - l_{i} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{π}{360} mm = 16 \cdot 10^{- 5} \cdot x . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x = 54, 68 mm . \end{matrix}

A bimetall szalag hossza

0 C^{\circ}

-on

5, 468 cm

3a Tengeralattjárót felderítő hadihajó tengeralatti hangforrással rendelkezik. A hajóhoz ismeretlen sebességgel tengeralattjáró közeledik, ugyanakkor pedig a hajó

70

km/óra sebességgel halad a tengeralattjáró felé. Mekkora a tengeralattjáró sebessége, ha a tengeralattjáróról visszaverődő hang frekvenciája a hajón levő felfogó készüléken

4 %

-kal magasabb a hajó által kiadott hang frekvenciájánál? A hang terjedési sebessége a vízben

1500

m/sec.

Sólyom Jenő, a budapesti Vörösmarty Mihály gimnázium IV. o. tanulójának megoldása:
Meg kell vizsgálnunk a Doppler‐hatást abban az esetben, amikor a hangleadó és a hangfelvevő is mozog, és közben a hang mozgó tárgyról verődik vissza.

1. A hajó

f

frekvenciájú hangot ad le, ennek hullámhossza

λ = \frac{c}{f}

(

c

a hang terjedési sebessége a vízben) lenne, ha a hajó állna. A hajó azonban

v_{1}

sebességgel halad, tehát a hullám rövidebb úton alakul ki. Az új hullámhossz

(λ_{1}) v_{1} \cdot T

-vel rövidebb, mint az eredeti:

\begin{matrix} λ_{1} = λ - v_{1} \cdot T . \end{matrix}

A frekvencia tehát

\begin{matrix} f_{1} = f \frac{c}{c - v_{1}} . \end{matrix}

2. Ha a tengeralattjáró állna, akkor egy másodperc alatt

f_{1}

frekvenciát fogna fel. Mivel a tengeralattjáró

v_{2}

sebességgel mozog a hajó felé, tehát a hangforrás felé, a tengeralattjárót

\frac{v_{2}}{λ_{2}}

-val több hullám éri, tehát a tengeralattjárón észlelt frekvencia:

\begin{matrix} f_{2} = f \frac{c + v_{2}}{c - v_{1}} . \end{matrix}

3. A tengeralattjáró ezt a frekvenciájú hangot veri vissza. De mivel a tengeralattjáró

v_{2}

sebességgel halad a megfigyelő felé, az álló megfigyelő

\begin{matrix} f_{3} = f \frac{c \cdot (c + v_{2})}{(c - v_{1}) \cdot (c - v_{2})} \end{matrix}

frekvenciájú hangot észlelne.
4. De mivel az észlelő hajó

v_{1}

sebességgel halad a hangforrás ‐ jelen esetben a tengeralattjáró ‐ felé, a hajón észlelt frekvencia:

\begin{matrix} f_{4} = f \frac{(c + v_{1}) \cdot (c + v_{2})}{(c - v_{1}) \cdot (c - v_{2})} . \end{matrix}

Ha a frekvencianövekedés

4 %

-os, akkor

f_{4} / f = 1, 04

\begin{matrix} v_{1} = 70 km/óra \\ c = 1500 m/sec = 5400 km/óra \end{matrix}

adatok helyettesítésével a tengeralattjáró sebessége

\begin{matrix} v_{2} = 35, 9 km/óra \sim 36 km/óra . \end{matrix}

Kísérlet

Tartsd a tenyeredet néhány

c m

-re asztali villanylámpa körtéje elé. Gyújtsd meg a lámpát. Amikor a tenyereden már ,,jól'' érzed a lámpa melegét, oltsd el a lámpát. Fogd meg a lámpa körtéjét. Azt teljesen hidegnek találod. Mivel magyarázod a jelenséget?

Közli: Párkányi László