A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kezdők (I. osztályosok) versenye. 1. feladat: Bontsuk fel -ot minden lehetséges módon három olyan pozitív tört összegére, amelyeknek a számlálója 1. Megoldás: Olyan , , természetes számokból álló hármast kell keresnünk, amelyre Feltehetjük, hogy a legkisebb, a legnagyobb nevező a hármasban (egyenlőség persze nincs kizárva), vagyis Eszerint reciprok értékeik közül a legnagyobb és a legkisebb: Tájékozódjunk nagyságáról. Evégett (1) jobb oldalán a második és harmadik tagot (3) alapján előbb a nem kisebb -val, majd a biztosan kisebb -val helyettesítjük; így olyan két egyismeretlenes egyenlőtlenséget kapunk, melyeknek a nagyobb, ill. a kisebb oldalán áll:
Ezek szerint -ra három lehetőség van: , , vagy . 1. Keressünk először -hez megfelelő -t és -t. (1)-ből A fenti meggondolás első felét -re ismételve (3) alapján | | Másrészt most (2) szerint is legalább , tehát , vagy . Ezekkel (4)-ből , ill. adódik, de az utóbbi nem egész szám. ‐ Eszerint mellett egy felbontást kapunk: 2. Legyen most . Ekkor (1) így alakul innen a fentiekhez hasonlóan | | eszerint most a , , és lehetőségek jönnek szóba. A megfelelő -értékek (5)-ből: , , , ill. . Csak a második és a negyedik érték természetes szám, így két felbontást kapunk: | | (II, III) |
3. Végül az esetben (1)-ből Itt alkalmas átalakítással közvetlenül áttekinthetjük az összes , értékpárokat. Távolítsuk el a törteket, gyűjtsünk minden tagot az egyenlet jobb oldalára, és igyekezzünk a kifejezést szorzattá alakítani: | | Eszerint -et kell minden lehető módon két egész tényezőre bontani. A tényezőkre (2) folytán , másrészt nem lehet a két tényező negatív, mert akkor a kisebbre , adódnék. Így a lehetséges felbontások:
és ezekből a következő felbontások adódnak:
Mindezek szerint -ra az előírt alakban a fenti hét (I)‐(VII) felbontás lehetséges. Megjegyzés. Az esetben adódott felbontás mutatja, hogy ha elejtjük a pozitívság követelményét, akkor a feladatnak több megoldása van. A fentihez hasonló gondolatmenettel további ilyen felbontást találunk:
2. feladat: Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük egy oldalát (a), az ezzel szemközti szöget , és annak a szakasznak a hosszát, amely az szög csúcsát a háromszög beírt körének középpontjával összeköti. I. megoldás: Gondoljuk a feladatot megoldottnak, legyen a keresett háromszög , ebben , és ‐ -val a beírt kör középpontját jelölve az adott szakasz.
Legyenek továbbá -nak az oldalakon levő érintési pontjai , , és sugara . Az háromszögben | | Eszerint csak azon az , körívpáron lehet, amelynek ( és -től különböző) pontjaiból az adott szakasz a megszerkeszthető szögben látható. Másrészt megszerkeszthetjük -t, mert az derékszögű háromszög alakját a átfogó és az hegyesszög meghatározza, ‐ és evvel még egy mértani helyet kapunk -ra, ugyanis csak a -től távolságban fekvő , párhuzamos egyeneseken lehet. Ezek alapján a szerkesztés a következő. Felvesszük a szakaszt és kijelöljük, hogy a háromszöget a egyenessel létrejött és félsíkok közül -en kívánjuk kapni. -en fekszik is, elég lesz tehát az -et és -et megszerkesztenünk. -re a csúcsban mindkét félsíkon felmásoljuk az szöget, a szárak , , megszerkesztjük -nek felező merőlegesét, majd és -nek metszéspontja körül sugárral megrajzoljuk -et. -et pedig úgy kapjuk, hogy -re -ből felmérjük -t, és ennek végpontján át -vel párhuzamost húzunk. és közös pontja , ennek vetülete -re és , ezek alapján megrajzoljuk a kört. Most már az csúcsot a és -ből -hoz húzott második érintők metszéspontja adja. (Ezek céljára , -t a körül , ill. körül sugárral írt körrel metszhetjük ki.) Szerkesztésünk helyes, mert a egyenlő szárú háromszög -nél levő szöge kétszerese pótszögének, azaz , ez egyben a középpont körül sugárral írt kör -beli ívéhez tartozó középponti szög. Így a kör -beli ívéhez nagyságú középponti szög tartozik, tehát a kerületi szög ennek fele: . Most már a és szögek összege kétszerese az és szögek összegének, a szög kiegészítő szögének, -nek, azaz -val egyenlő, tehát a szerkesztett érintők -nál valóban szöget zárnak be (az a szögük ekkora, amelynek terében a szakasz van). felezi az -ból -hoz húzott érintők szögét, ezért , továbbá -nek -n levő vetületét -vel jelölve az és derékszögű háromszögekben , így e két háromszög egybevágó, tehát . A szerkesztés lépései előkészítéséig egyértelműen végrehajthatók ( nyilván és közti szög, így fele hegyesszög). és közös pontjainak száma szerint -ra , , pontot kapunk, és ezekből ugyanennyi háromszöget, mert a további lépések ismét egyértelműek. Ha megoldás adódik, ezek egybevágók, mert egymásnak -re nézve tükrös párjai, így a feladatnak lényegében legfeljebb megoldása van. II. megoldás: Az adott szög az oldal látószöge az csúcsból, ennek alapján ismert módon megszerkeszthetjük a keresett háromszög körülírt körét.
A szög felezője -ot másodszor az -t nem tartalmazó ívnek felezőpontjában metszi, mert a kerületi szögek tétele szerint , tehát a háromszögben , és e húrokhoz egyenlő ívek tartoznak. Másrészt felezi az szöget, ezért az háromszögben . Ekkora a szög is, mint az háromszög külső szöge, tehát a háromszög egyenlő szárú: . Így -nak -től való távolsága . Ezek alapján a szerkesztés a következő. -ban a -re merőleges átmérőnek az a végpontja , ahonnan látószöge . (Ez is mutatja, hogy azonos az I. megoldásban használt -vel.) A szakasznak -n túli meghosszabbítására rámérjük -t. A körül sugárral leírt kör -ból kimetszi -t. Aszerint, hogy a szakasz kisebb, ill. nagyobb átmérőjénél, ill. éppen egyenlő vele, , , ill. megoldást kapunk. ‐ Szerkesztésünk helyessége bizonyításául csak azt kell megmutatnunk, hogy a kapott pontot -vel összekötő szakasznak -tól távolságra, azaz -től távolságra fekvő pontja azonos az háromszögbe írt kör középpontjával. Valóban, a háromszög egyenlő szárú, és benne , így , ennélfogva , vagyis felezi a -nél fekvő szöget. Másrészt az -nál fekvő szög felezőjén is rajta van, tehát . III. megoldás: Az előbbi háromszöggel egybevágó háromszöget szerkesztve megkapjuk -t, az -ból -hoz húzható érintőszakaszt. Erről ismeretes, hogy egyenlő -val, ahol a háromszög kerületének fele. Ebből (a szokásos jelölésekkel) alapján előállíthatjuk az csúcsból kiinduló oldalak összegét, ezzel pedig a feladatot visszavezettük a háromszögnek az , , adathármasból való ismert szerkesztésére: az csúcsú szög egyik szárára felmérjük -t, ennek végpontjából sugarú körívvel a másik szárból kimetsszük -t, majd felező merőlegesével az első szárból -t.
A körívnek a szög szárával , , közös pontja, egyszersmind ennyi megoldás van. Két metszéspont esetén mindkettő -nak ugyanazon oldalára esik (különben volna), ezért és az szakaszra esnek. Az így adódó és háromszögek egybevágók. Ugyanis az és egyenlő szárú háromszögek külső szögeként , másrészt . jelöléssel , így . Ámde a háromszög egyenlő szárú, ezért , tehát . Így a kérdéses háromszögek egy oldalban és két megfelelő szögben megegyeznek, valóban egybevágók. IV. megoldás: és ismeretében megszerkeszthető , és szárainak az érintési pontig terjedő szakasza: . Ezzel egyúttal is ismert, a csúcstól ekkora távolságban érinti szárait az oldalt kívülről érintő hozzáírt kör, így ez is megszerkeszthető.
Most már és közös belső érintőinek az szög szárai közé eső szakasza az oldal. 3. feladat: Bizonyítsuk be, hogy ha
akkor
Megoldás: A (2) feltételi egyenlőség négyzete alkalmas rendezéssel így írható:
A második zárójelbeli kifejezésben ráismerünk (1) bal oldalára, amely -val egyenlő. Ennek figyelembevételével kapott egyenlőségünk azonos (3)-mal, a bizonyítandó állítással. Az (1) és (2) feltevéseknek csak úgy van értelmük, ha az , , , , , számok -tól különbözők, így pedig az alkalmazott átalakítások megengedett azonos átalakítások voltak. Megjegyzés. A látottaknál valamivel több ismeret felhasználásával az állítás így is bizonyítható. , , -t , , -vel jelölve ezek -tól különböző valós számok, feltételeink szerint | | (4) | és -et kell meghatároznunk. (4) első és harmadik kifejezése együtthatóként szerepel a kifejezésnek hatványai szerint rendezett polinomalakjában, eszerint -t -vel jelölve | | (5) | Hozzuk most két módon polinomalakra a szorzatot. Egyrészt | | ahol annak a kifejezésnek -szerese, amely -ből -nek -vel való helyettesítésével áll elő; ennélfogva , és így . Másrészt az (5)-höz hasonló kifejtéssel | | A két polinomalakból az egyező fokú tagok együtthatóinak összehasonlításából kapjuk a bizonyítandó | | egyenlőséget, továbbá leolvashatjuk az | | (6) | összefüggést is. Ebből az is látszik, hogy , , közül kettő pozitiv és egy negatív kell hogy legyen. Ez valóban leolvasható a (4) feltételi egyenletekböl is: a második szerint nem lehet mindhárom egyező előjelű; ha pedig kettő, pl. és negatív, akkor az első egyenlet szerint mindkettő abszolút értéke kisebb, mint -é, tehát kisebb és -nél, így negatív, és ez méginkább áll -re. A (6) azonosság közvetlenül is nyerhető a feltételi egyenletekből: . |