Cím: A tetraéder nevezetes pontjairól (2. befejező közlemény)
Szerző(k):  Molnár Ferenc 
Füzet: 1958/február, 33 - 38. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. Lényeges eltérést tapasztalunk a háromszögektől a tetraéder magasságvonalainak (a tetraéder csúcsaiból a szemközti lapokra bocsátott merőleges egyeneseknek) vizsgálatánál. Míg a háromszög magasságvonalai mindig egy pontban (a háromszög magasságpontjában) metszik egymást, a tetraéder négy magasságvonala általában nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Sőt általában még az sem teljesül, hogy a tetraéder két magasságvonala metszi egymást. Bebizonyítjuk ugyanis a tetraéder magasságvonalainak következő tulajdonságát: A tetraéder két csúcsából kiinduló magasságvonalak akkor és csak akkor metszik egymást, ha a csúcsokat összekötő él merőleges a szemközti élre.

 

Bizonyítás. Jelöljük A'-vel, ill. B'-vel az A, ill. B csúcsból kiinduló magasságvonalak talppontját a szemközti lapon (8. ábra).
 
 
8. ábra
 

Ha AA' és BB' metszik egymást, akkor egy síkban vannak; ez a sík merőleges a BCD, ill. ACD síkokra, hiszen tartalmazza az ezekre merőleges AA', ill. BB' egyenest; tehát merőleges a BCD és ACD síkok CD metszésvonalára is; mivel pedig tartalmazza az AB egyenest, kapjuk, hogy
ABCD
(ugyanis ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor a sík minden egyenesére merőleges).
Megfordítva, tegyük fel, hogy AB és CD merőlegesek egymásra. Mivel az AA' magasságvonal merőleges a BCD síkra, tehát merőleges CD-re is. Innen adódik, hogy CD merőleges az ABA' síkra, hiszen két egyenesére merőleges. Hasonlóan kapjuk, hogy CD merőleges az ABB' síkra is. Mivel pedig az AB egyenesen keresztül egyetlen CD-re merőleges sík fektethető, az ABA' és ABB' síkok azonosak, vagyis AA' és BB' egy síkban vannak, tehát metszik egymást (párhuzamosak nem lehetnek, mert egymással nem párhuzamos tetraéderlapokra merőlegesek).
A fenti tételből közvetlenül adódik a tetraéder magasságvonalainak a következő tulajdonsága:
Ha a tetraéder két magasságvonala metszi egymást, akkor a másik kettő is metszi egymást.
Ha pl. az A és B pontokból kiinduló magasságvonalak metszik egymást, akkor az AB él merőleges a CD élre. De ekkor egyúttal a CD él is merőleges az AB élre, ez pedig az előző tétel értelmében biztosítja a C és D csúcsokból kiinduló magasságvonalak metszését. Ha e két metszéspont egybeesik, akkor a tetraéder négy magasságvonala egyetlen közös ponton megy át; ezt a pontot a tetraéder magasságpontjának nevezzük. A két metszéspont azonban általában különböző; a magasságpont létezésére a következő szükséges és elégséges feltétel mondható ki:
A tetraédernek akkor és csak akkor van magasságpontja, ha a szemközti élek páronként merőlegesek egymásra.
A feltétel szükségessége nyilvánvaló. Ha ugyanis van magasságpont, akkor mindegyik magasságvonal metszi mindegyiket ugyanabban a pontban, tehát a magasságvonalakra vonatkozó első tételből adódik, hogy bármelyik él merőleges a szemköztire.
Megfordítva, ha a szemközti élek merőlegesek egymásra, akkor bármely két magasságvonal metszi egymást. Ekkor viszont egy térbeli egyenesekre vonatkozó általános tételből következik (l. a 471. gyakorlatot), hogy a magasságvonalak vagy mind egy síkban vannak, vagy egy ponton mennek át. De egy síkban nem lehetnek, mert akkor a tetraéder csúcsai is egy síkban lennének, tehát egy ponton mennek át, és így van magasságpont.
Megemlítjük, hogy a tétel kimondásánál túl sokat követeltünk meg. Elég annyit feltenni, hogy a tetraéder három szemközti élpárja közül kettő merőleges egymásra, ebből a harmadik szemközti élpár merőlegessége már következik.
Legyen pl.
ABCDésBCAD.
A magasságvonalakra vonatkozó első tétel bizonyításánál láttuk, hogy AB és CD merőlegességéből következik az is, hogy CD merőleges az ABA' síkra, tehát merőleges ezen síknak a BCD síkkal alkotott BA' metszésvonalára is. A BA' egyenes tehát a BCD háromszög egyik magasságvonala (9. ábra).
 
 
9. ábra
 

Hasonlóan adódik BC és AD merőlegességéből, hogy DA' is magasságvonal a BCD háromszögben, amiből következik már, hogy A' a BCD háromszög magasságpontja. Ekkor viszont CA'BD, és mivel AA'BD, következik, hogy BD merőleges az ACA' síkra, tehát merőleges az ezen síkban fekvő AC egyenesre is, és ezt akartuk bizonyítani.
 

A magasságponttal rendelkező tetraédert ortocentrikus tetraédernek nevezzük (ortocentrum=magasságpont). A fenti bizonyításból kiolvashatjuk az ortocentrikus tetraédernek azt a tulajdonságát, hogy csúcsainak a szemközti lapokon levő merőleges vetületei a lapok magasságpontjai. Ezt figyelembe véve könnyű megadni olyan tetraédert, melynek egyik szemközti élpárja merőleges egymásra, de nincs magasságpontja. Ilyen pl. az a tetraéder, melynek alapja a (nem derékszögű, de különben tetszőleges) BCD háromszög, negyedik csúcsának, A-nak a szemközti lapon levő merőleges vetülete megegyezik a BCD háromszög valamelyik csúcsával, pl. B-vel. Ennél a tetraédernél nyilván AB merőleges CD-re, de a többi szemközti élek nem merőlegesek egymásra, tehát nincs magasságpont.
Az ortocentrikus tetraéder nemcsak a szemközti élek merőlegességével jellemezhető. Fennáll ugyanis a következő tétel:
A tetraéder akkor és csak akkor ortocentrikus, ha a szemközti éleinek felezőpontjait összekötő egyenesszakaszok (a tetraéder éltengelyei) egyenlők.
 

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az ABCD tetraéder ortocentrikus. Jelöljük az élek felezőpontjait a 10. ábra szerint F1, F2, F3, F4, F5, F6-tal.
 
 
10. ábra
 

Tudjuk, hogy a szemközti élek felezőpontjait összekötő egyenesszakaszokat, pl. F1F2-t és F3F4-et a súlypont felezi, amiből következik, hogy F1F3F2F4 parallelogramma, melynek középpontja S.4 Mivel a tetraéder ortocentrikus, szemközti élei, pl. BC és AD merőlegesek egymásra. De BC és AD merőlegességéből következik a velük párhuzamos F1F3 és F3F2 oldalak merőlegessége is, amiből viszont adódik, hogy F1F3F2F4 téglalap. Mivel pedig a téglalap átlói egyenlők, kaptuk, hogy F1F2=F3F4. Hasonlóan adódik, hogy F3F4=F5F6, amiből már következik, hogy az ortocentrikus tetraéder mindhárom éltengelye egyenlő hosszúságú.
Megfordítva, tegyük fel, hogy a tetraéder éltengelyei egyenlő hosszúságúak. Ez azt jelenti, hogy pl. az F1F3F2F4 parallelogramma átlói egyenlők, amiből következik, hogy az téglalap. De ekkor F1F3 és F3F2, és így a velük párhuzamos BC és AD élek is merőlegesek egymásra. Hasonlóan kapjuk, hogy a tetraéder másik két szemközti élpárja is merőleges egymásra, tehát a tetraéder ortocentrikus.
Megemlítjük a kapott tételnek egy érdekes következményét. Mivel az ortocentrikus tetraéder éltengelyei egyenlő hosszúságúak, és a súlypont az éltengelyeket felezi, a súlypont egyenlő távol van a tetraéder élfelezőpontjaitól. Más szóval, ortocentrikus tetraédernél a hat élfelezőpont egy gömbön helyezkedik el, melynek középpontja a súlypont. Ezt a gömböt nevezzük az ortocentrikus tetraéder második Feuerbach-gömbjének. (Az elnevezés indokolását lásd később.)
4. Ismeretes a háromszögnek az a nevezetes tulajdonsága, hogy a magasságpont, a súlypont és a körülírt kör középpontja egy egyenesen van, mégpedig a súlypont a másik kettő által meghatározott szakasznak a körülírt kör középpontjához közelebbi harmadolópontja. Ezt az egyenest a háromszög Euler-egyenesének nevezzük. A tetraéder fenti nevezetes pontjai is rendelkeznek hasonló tulajdonsággal. (A következőkben feltesszük, hogy a tetraédernek van magasságpontja, vagyis ortocentrikus.)
Ortocentrikus tetraédernél a magasságpont (M), a súlypont (S) és a körülírt gömb középpontja (O) egy egyenesen van; a súlypont a másik kettő által meghatározott szakasz felezőpontja. Ezt az egyenest a tetraéder Euler-egyenesének nevezzük.
A bizonyításnál fel fogjuk használni a háromszög Euler-egyenesére vonatkozó tételt. Jelöljük a tetraéder magasságpontjának merőleges vetületét a tetraéder valamelyik, pl. BCD lapján M1-gyel, a körülírt gömb középpontjának merőleges vetületét ugyanezen a lapon O1-gyel. A magasságpontnak és a körülírt gömb középpontjának vizsgálatánál láttuk, hogy M1 a BCD háromszög magasságpontja, O1 a körülírt kör középpontja. Az O1M1 egyenesen, a BCD háromszög Euler-egyenesén rajta van a háromszög S1 súlypontja. Mivel továbbá az M1 pont egyúttal a tetraéder A csúcsának is merőleges vetülete a BCD lapon, a tetraéder AS1 súlyvonala, és így az ezen levő S súlypont is az O és M pontokkal együtt benne van az O1M1 egyenesen átmenő, a BCD síkra merőleges síkban (11. ábra).
 
 
11. ábra
 

Tudjuk, hogy az S súlypont az AS1 súlyvonalat negyedeli, az S1 pont pedig az O1M1 egyenest harmadolja, következésképpen S-nek a BCD lapon levő merőleges vetülete az O1M1 egyenesszakasz felezőpontja (F1) (l. az ábrát). Kaptuk tehát, hogy az M, S, O pontoknak a tetraéder tetszőleges lapján levő merőleges vetületei egy egyenesbe esnek, mégpedig az S pont vetülete a másik két vetületi pontot összekötő szakasz felezőpontja. Ebből viszont már következik, hogy az M, S, O pontok is egy egyenesbe esnek és S az OM szakasz felezőpontja. (Ehhez elég lenne annyit tudni, hogy az M, S, O pontok vetületei két tetraéderlapon egy egyenesbe esnek, ebből már következik, hogy rajta vannak a vetületekben állított merőleges síkok metszésvonalán.) Ez az egyenes éppen a tetraéderlapok Euler-egyeneseiben ezekre a lapokra állított merőleges síkok közös egyenese, más szóval a tetraéder Euler-egyenesének merőleges vetületei a tetraéderlapok Euler-egyenesei.
 

5. Végül vizsgáljuk a háromszög Feuerbach-körének (az oldalfelezőpontokon átmenő körnek) megfelelőjét a tetraédernél. A Feuerbach-kör fogalmát kétféleképpen is általánosíthatjuk ortocentrikus tetraéderre. Ha figyelembe vesszük, hogy a háromszög oldalfelezőpontjai az oldalak súlypontjai, akkor ezeknek megfeleltethetjük a tetraéder lapsúlypontjait. Így a Feuerbach-kör első általánosításaként adódik a tetraéder lapsúlypontjai által meghatározott gömb. Ezt a gömböt a tetraéder első Feuerbach-gömbjének nevezzük. A háromszög oldalfelezőpontjainak másrészt megfeleltethetjük a tetraéder éleinek felezőpontjait is. Így a Feuerbach-kör második általánosításaként adódik az ezek által meghatározott gömb. Ezzel a gömbbel már találkoztunk, és éppen ezt neveztük második Feuerbach-gömbnek. Az elnevezést az indokolja, hogy ez a gömb a Feuerbach-kör egyik általánosítása.
Ismeretes, hogy a háromszög Feuerbach-köre a következő tulajdonságokkal rendelkezik: középpontja az Euler-egyenesen a körülírt kör középpontja és a magasságpont által meghatározott szakasz felezőpontja, sugara a körülírt kör sugarának fele, átmegy a magasságvonalak talppontjain, valamint a magasságpontot a háromszög csúcsaival összekötő szakaszok felezőpontjain. A háromszög Feuerbach-körének ezen tulajdonságait a tetraéder első Feuerbach-gömbje örökli, ami mutatja, hogy ez a gömb a Feuerbach-kör közvetlen megfelelője (ez indokolja az első elnevezést is). Bebizonyítjuk ugyanis, hogy az első Feuerbach-gömb a következő tulajdonságokkal rendelkezik: középpontja az Euler-egyenesen az OM szakasz M-hez közelebbi harmadolópontja, sugara a tetraéder köré írt gömb sugarának harmada, átmegy a tetraéder magasságvonalainak talppontjain (a lapok magasságpontjain), végül a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszokat a magasságponthoz közelebbi harmadolópontokban metszi. Mivel az első Feuerbach-gömb ezen utóbbi nyolc ponton kívül definíció szerint tartalmazza a négy lapsúlypontot is, szokás ezt a gömböt a tizenkét pont gömbjének nevezni.
A bizonyításnál hasonló módon járhatunk el, mint a háromszög Feuerbach-körére vonatkozó tétel egyik bizonyításánál. Az első Feuerbach-gömb a lapsúlypontok által meghatározott S1S2S3S4 tetraéder köré írt gömb. Mivel az S súlypont a tetraéder súlyvonalait negyedeli, kapjuk, hogy az S1S2S3S4 tetraéder az ABCD tetraédernek az S középpontból történő egyharmadára való zsugorításával és S-re való tükrözésével keletkezik. Ebből következik, hogy a Feuerbach-gömböt az ABCD tetraéder köré írt gömbnek S-ből történő egyharmadára való zsugorításával és S-re való tükrözésével kapjuk, tehát középpontja (F) rajta van az OS egyenesen, mégpedig az egyenesnek S-től számítva O-val ellentétes oldalán, és SF=13OS. Innen OS=SM felhasználásával adódik, hogy
FM=12OF,
vagyis F az OM szakasz harmadolópontja. Ugyancsak közvetlenül adódik az egyharmados zsugorításból, hogy a Feuerbach-gömb sugara a tetraéder köré írt gömb sugarának harmada. Annak belátására, hogy a gömb tartalmazza a magasságvonalak talppontjait, elegendő igazolni, hogy az egyik, pl. az AM magasságvonal M1 talppontját tartalmazza, hiszen a magasságvonalak között egyik sem játszik kitüntetett szerepet. Ez következik abból, hogy FM=12OF miatt F rajta van az S1M1 szakasz felezőpontjában a BCD síkra állított merőlegesen, tehát
FS1=FM1.
De S1 rajta van a Feuerbach-gömbön, és így az F középponttól ugyanolyan távolságra levő M1 pontnak is szükségképpen rajta kell lennie (12. ábra).
 
 
12. ábra
 

Végül a tételben kimondott utolsó tulajdonság igazolásához elegendő ismét az M pontot az egyik, pl. A csúccsal összekötő szakasz M-hez közelebbi M'1 harmadolópontjáról kimutatni, hogy a Feuerbach-gömbön van. Ennek igazolásához jelöljük az SM szakasznak az M-hez közelebbi harmadolópontját H-val. Mivel az AMS háromszögben M'1H az AM és SM oldalak harmadolópontjait köti össze, kapjuk, hogy
M'1H=13AS=SS1,
valamint M'1H és SS1 párhuzamosak, tehát HM'1SS1 parallelogramma, melynél az S1M'1 átló felezőpontja megegyezik az SH átló F felezőpontjával. Következésképpen
FS1=FM'1,
tehát M'1 rajta van a Feuerbach-gömbön, mégpedig az S1 ponttal átellenes pont. Ezzel az első Feuerbach-gömb összes kimondott tulajdonságát igazoltuk.
 

Befejezésül megemlítjük a tetraéder második Feuerbach-gömbjének egy tulajdonságát. Mivel a tetraéder bármelyik lapját határoló élek felezőpontjai a második Feuerbach-gömbön vannak, az illető háromszöglap síkja a gömböt a háromszög Feuerbach-körében metszi. Ebből viszont, figyelembe véve a háromszög Feuerbach-körének tulajdonságait, következik, hogy a második Feuerbach-gömb átmegy a tetraéderlapok magasságvonalainak talppontjain, valamint bármelyik lap magasságpontját az illető lap csúcsaival összekötő szakaszok felezőpontjain.
4Az a tény, hogy F1F3F2F4 parallelogramma, következik abból is, hogy F1F3 az ABC háromszögben, F2F4 a DBC háromszögben a BC oldallal párhuzamos középvonal, és így
F1F3F2F4,valamintF1F3=F2F4=12BC.