A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. (2. befejező közlemény)
Most rátérek Rados elemi geometriai dolgozatainak ismertetésére. Ha adva van pont a síkban, kössük őket minden lehetséges módon össze, amint az ( esetére) az 1. ábrán látható, akkor az ismert ‐ legkülső ‐sokszögön kívül az átlók is meghatároznak egy vagy több -szöget. Ezeket alakjuk miatt csillagsokszögeknek nevezzük. 1. ábra A csillagsokszög, amint neve is mutatja, geometriai fogalom, de pontosan definiálni csak egy fontos számelméleti fogalom segítségével lehet. Nevezzük az pozitív egész számnál kisebb, és hozzá relatív prím pozitív egész számok számát -nek. Ha tehát pl. , akkor a nála kisebb és hozzá relatív prím pozitív egész számok , , , . Összesen ilyen van, tehát . Azonnal belátható, hogy ha valamely törzsszámmal egyenlő, akkor hiszen a törzsszám minden, nála kisebb egész számhoz relatív prím. Hátha valamely törzsszám hatványa? Nyomban látható, hogy -val közös osztója csak a -vel osztható számoknak van, ezek ennélfogva A függvény csak pozitív egész számokra van értelmezve; az ilyen függvényeket számelméleti függvényeknek nevezzük. A számelméleti függvény nevezetes sajátsága, amit itt csak bizonyítás nélkül közlünk, ha és relatív prím számok, akkor Ennek alapján könnyű bármely számra meghatározása, ha törzstényezőre való felbontását ismerjük. Ha ahol , , , különböző prímszámok, akkor
hiszen két különböző prím szám mindig relatív prím. E kis számelméleti kitérés után visszatérünk a geometriai feladatra. Ha a kör kerületét a számokkal jelzett egyenlő részre osztják, szabályos -szöget határoznak meg, ha azonban ezeket a pontokat minden lehetségés módon összekötjük, nemcsak egy, hanem számú szabályos sokszöget kapunk, amint ezt esetében az 1. ábra mutatja. Az ,,átlók''-kal meghatározott, az ábrán kisraffozott sokszögeket hívjuk csillagsokszögeknek, ábránkon a három szabályos hétszög | | (5) | A húr ugyanis egy szabályos -szög oldala, ha , de mivel a és húrok ugyanazt a sokszöget határozzák meg, azért számuk, amint már említettük, . Az (5) sorozatban tehát az első az ismert közönséges, szabályos sokszög, a másik kettő pedig a csillagsokszög. Maga a csillagsokszög egy, az adottal koncentrikus kör körül írt érintősokszög, mert a húrok egy-egy kör érintői. Radoss a következő kérdésből indul ki: Osszuk fel a kör kerületét egyenlő részre, akkor, amint az a 2. ábráról közvetlenül leolvasható, a beírt és a körülírt háromszög területeinek aránya 2. ábra Ez racionális szám. Ha jelenti a beírt, a körülírt szabályos háromszög területét ‐ és általában a beírt és a körülírt szabályos -szög területét ‐ akkor A beírt és körülírt négyzetek területeinek arányára is hasonló tétel érvényes, mert, amint ez a 3. ábrából közvetlenül világos tehát szintén racionális. 3. ábra A szabályos hatszögre szintén racionális, de ennek bizonyítása valamivel bonyolultabb (4. ábra). 4. ábra Legyen a kör középpontja, a beírt hatszög valamely oldala és a körülírt hatszögnek és közé eső csúcsa, az egyenlőoldalú háromszög középpontja . Minthogy az , , egyenesek egyszersmind szögfelezők, azért az négyszög a négy egybevágó , , , háromszögekre bomlik szét. Ennélfogva és ebből következik a fenti egyenlőség. Ha azonban a kör kerületét , , , , , egyenlő részre osztjuk, ez az arány sohasem racionális. Radosnak mégis sikerült általánosítani a , , és -szög esetében fennálló tételt a következő módon: Ha a körbe írt számú szabályos sokszög területeinek összege , és a kör körül írt szabályos oldalú sokszög területe , akkor az hányados mindig racionális és értéke ahol egyenlő -val, ha -nek van az -től különböző teljes négyzet osztója; ha nincs, akkor egyenlő vagy , aszerint, amint különböző prím számtényezőinek száma páros vagy páratlan. Az eddigi , , -ra bizonyított tételek csakugyan ennek a tételnek speciális esetei, mert mindhárom esetben , így csak egy-egy szabályos sokszög van, továbbá , , , és így , a kívánt , , értékeket adja. Rados tételének bizonyítása aránylag elemi, és főleg a figyelembe veendő területek meghatározásából áll, ami elemi trigonometriai úton lehetséges, de egy lényeges helyen igénybe vett felsőbb segédeszközöket, úgy, hogy ismertetésétől el kell tekintenem. Rados még egy további dolgozatában foglalkozik a szabályos sokszögekkel. Itt is a , , és oldalú sokszögön tapasztalt törvényszerűséget, terjeszti ki szellemesen, a csillagsokszögek segítségével tetszőleges oldalú szabályos sokszögre. Az egységsugarú, körbeírt szabályos -szög oldalát -nel jelölve, amint azt jót tudjuk,
Eszerint Szabályos 5-, 8- és 12-szögre már nem adódik ilyen egyszerű eredmény: | |
Rados azonban ügyes fordulattal számbaveszi a csillagsokszögeket is. Ezekből , és oldalú csak egy-egy van. Ezek , , ill. oldalaira | | és így | | Ebből Rados a következő általános tételt olvassa le, és be is bizonyítja: Az egységkörbe írható különböző szabályos -szögek (betudva a csillagsokszögeket is) oldalai mérőszámainak négyzetével alkotott szorzat -vel egyenlő, ha az egyetlen prímszám, amellyel osztható és -gyel egyenlő, ha egynél több prímszámmal osztható. A bizonyítás ismertetésére itt szintén nem térek ki. Rados egész elemi geometriai problémákkal is foglalkozott. Ő is adott például egy bizonyítást arra az ismert tételre, hogy a hegyesszögű háromszögbe beírt háromszögek közül (amelyeknek egy-egy csúcsa az adott háromszög egy-egy oldalán van) a magassági talppontok háromszögének van a legkisebb kerülete. Teljesen az elemi analitikus geometriához tartozik Radosnak a következő öregkori vizsgálata a kör egyenletéről. Ha pont koordinátái , , akkor könnyen látható, (a bizonyítást az olvasóra bízom), a ponton átmenő kör egyenlete a következő alakban írható: | | hacsak a determináns első sorának elemeihez tartozó aldeterminánsak nem mindannyian a -sal egyenlők, amikor az egyenlet a semmitmondó azonosságba megy át. Rados kimutatja, hogy ez az eset akkor és csak akkor következik be, amikor a kör meghatározására megadott 3 pont közül legalább kettő összeesik, minden egyéb esetben (6) valóságos egyenlet. A bizonyítást bemutatom, hasznos gyakorlat lesz a determinánsokkal való számolásban. Ha a determináns első sorához tartozó aldeterminánsok mindannyian -sal egyenlők, akkor persze az első sor első eleméhez tartozó aldetermináns is , tehát | | Ez geometriailag azt jelenti, hogy a három pont ugyanazon az egyenesen fekszik. Ha a három pont egybeesik, nincs mit bizonyítanunk, ha van köztük két különböző, akkor a kérdéses egyenesnek egyenlete alakú, ahol és közül legalább az egyik nem . Ha pl. , akkor az egyenlet a alakban is írható. (Ha , akkor csak és szerepét kell megcserélni.) Mivel (6)-ban az első sor minden eleméhez tartozó aldetermináns, így a harmadik elemhez tartozó is, vagyis ‐ tekintetbe véve, hogy a pontok koordinátái kielégítik a (7) egyenletet ‐ azt kapjuk, hogy | | vonjuk le a második oszlop. -szeresét és a harmadik -szeresét az elsőből. Tudjuk, hogy ezáltal a determináns értéke nem változik. Ekkor az első oszlop minden elemében szereplő tényező a determináns elé kiemelhetjük, és azt kapjuk, hogy | | ami csak úgy lehet, ha a determináns értéke . A determináns azonban alakban is írható. (A bizonyítást az olvasóra bízom.) Így a fenti összefüggés azt jelenti, hogy van a pontok között kettő, amelynek az abszcisszája egyenlő. Mivel pedig mindkettő koordinátási kielégítik a (7) egyenletet, ezért ordinátáik is megegyeznek, s így a két pont egybeesik. Ezt kellett bizonyítanunk. Rados hasonló tételt mond ki és bizonyít be a gömbre is. További eredményei közül még csak egyet említek. A
alakú kifejezéseket trigonometrikus polinomoknak nevezzük. Rados róluk a következő tételt bizonyította be. Ha az
együtthatók mindannyian egész számok, ha továbbá a trigonometrikus egyenlet összes gyökei valós számok, akkor ezek mindannyian a π-nek (Ludolf-féle szám) racionális többszörösei (a szöget ívmértékben mérve). Radosnak a felemlítetteken kívül is számos dolgozata van, de tárgyuk kívül esik ifjú olvasóink érdeklődési körén. Az eddigiekben mindig csak a matematikusról volt szó, aki még késő aggkorában is dolgozott; bemutatott analitikus geometriai tételét a kör és gömb egyenletéről 79 éves korában közölte. A róla alkotott kép nem lenne teljes, ha meg nem emlékeznénk tudományos életünkben betöltött szerepéről, szervező képességeiről és a kiváló tanárról. Nagy tekintélyét ismételten felhasználta arra, hogy a mindinkább terpeszkedő fasizmus tudományellenes intézkedései ellen tiltakozzék, pl. az ún. ,,zsidótörvény'' ellen a magyar értelmiség színe-java tiltakozott, a nyilatkozat aláírói között találjuk Rados Gusztávot is. Mint a Matematikai és Fizikai Társulat elnöke szinte tüntetésképpen választtatta meg a mind jobban térthódító fasizmus elől külföldre távozott két fiatal elsőrangú magyar matematikust (Radó Tibort az Ohio állambeli Columbus egyetem és Neumann Jánost, a hírneves princetoni egyetem világhírű tanárait) a Társulat tiszteletbeli tagjainak. Szólnom kell még a nagyszerű tanárról. Említettem már, hogy egész pályafutása alatt mint a műegyetem tanára működött. Világos, jól érthető előadása a hallgatóság sorában igen kedvelt volt, és nagyban hozzájárult a matematika népszerűsítéséhez a magyar mérnöki karban, egyben jelentékenyen emelte a mérnökök tudományos színvonalát. A mai idősebb mérnöknemzedék (az építészek és vegyészek kivételével) mind az ő tanítványa volt. Az idősebb középiskolai matematikai tanárok is tőle tanulták a számelmélet és a funkcionális algebra elemeit. Meg vagyok győződve, hogy minden volt tanítványa ‐ számuk tízezrekre rúg ‐ szeretettel gondol rá. Rados Gusztávban tehát az akkor virágzóban levő matematikai élet egyik kiváló egyéniségével ismerkedtünk meg. RADOS G.: Adalék a szabályos sokszögek elméletéhez. Math. és Termtud. Ért. 22., 1904. 66‐68 old. ‐ Beitrag zur Theorie der regulären Vielecke. Math. u. natw. Berichte aus Ungarn, 22. 1904. 1‐12. old. ‐ Ugyanez franciául: Rados G.: Contribution a la théorie des polygones réguliers. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 49., 1925. 1‐4. old. A tételt azonban már ezen közlései előtt ismerte. E sorok írója az 1900/01 tanévben hallgatta Rados számelméleti előadását, melyben a csillagsokszögekről szóló, a szövegben tárgyalt tételeket is előadta.RADOS G. Adalék a szabályos sokszögek elméletéhez. Math. és Termtud. Ért. 41., 1924., 109‐114. old. ‐ Contribution a la théorie des polygones réguliers. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 49., 1925. 1‐4. old. főleg a 3. és 4. oldalán.RADOS G.: Egy minimum-probléma elemi tárgyalása. Math. és Phys. Lapok 2., 1893. 109‐117. old. ‐ Ld. még a következő cikket: BERKES JENŐ: A talpponti háromszögről. Lapunk XII., 1956. 66‐72. old.RADOS G.: Három pontjával meghatározott kör és négy pontjával meghatározott gömb egyenletéről. Mat. Termtud. Ért. 60., 1941., 1‐8. old.RADOS G.: Egész együtthatós trigonometrikus polynomok egy nevezetes tulajdonsága. Math. és Phys. Lapok 28., 1922., 27‐29. old. ‐ Ugyanez franciául: Sur une propriété remarquable des polynomes trigonométriques a coefficients entiers. Rendiconti del Corcolo Matematico di Palermo. 47., 1923., 62‐64. old. |
|