Cím: Az 1956. évi Arany Dániel matematikai tanulóverseny (1. közlemény)
Füzet: 1956/szeptember, 11. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Középiskolai Matematikai Lapok Arany Dániel versenye az Oktatásügyi Minisztérium és a Bolyai János Matematikai Társulat támogatásával március 23-án (I. forduló, selejtező) és május 6-án (II. forduló, döntő) került lebonyolításra a szokásos feltételek mellett.
Az I. fordulóban 255 iskolában 5338 tanuló (Budapesten 1887, vidéken 3451) adott be dolgozatot. (Tavaly: 241/5031 ‐ 1487 ‐ 3544 voltak a megfelelő számok.)
A kezdők (I. osztályosok) versenyének I. fordulójában ‐ amelyben a beadott dolgozatok száma 2632 (Budapesten 977, vidéken 1655) ‐ a kitűzött feladatok a következők voltak:
1. Mennyi a %-os alkoholt kell hozzátöltenünk b liter c %-os alkoholhoz, hogy d %-os alkoholt kapjunk ?
2. Szerkesszünk háromszöget, ha ismeretes a kerülete (k), egyik oldala (c), és a másik két oldallal szemközti szögek különbsége (α-β).
3. Vonjuk le egy egész szám utolsó jegyének kétszeresét az utolsó jegy elhagyásával kapott számból (ha az egész szám egyjegyű, akkor 0-ból). Igazoljuk, hogy ha az eredmény osztható 7-tel, akkor az eredeti szám is mindig osztható 7-tel, ha viszont az eredmény nem osztható 7-tel, akkor az eredeti szám sem lehet 7-tel osztható.
A haladók (II. osztályosok) versenyének I. fordulójában ‐ amelyben 2706 (Budapesten 910, vidéken 1796) dolgozatot adtak be ‐ a kitűzött három feladat a következő volt:
1. Valamely iskolában az év elején a lánytanulók létszáma 51-gyel kisebb, mint a fiúké. Év közben kimaradt 19 fiú és 41 lány, aminek következtében az év végén a lányok létszáma az összlétszám százalékaiban kifejezve 4 %-kal kisebb, mint az év elején volt. Hány fiú és hány lánytanuló volt az év elején ?
2. Bizonyítsuk be, hogy

n6-n2
osztható 60-nal, ha n természetes szám.
3. Legyen az ABCD trapéz érintőnégyszög. (AB∥CD). A beírt körhöz az átellenes A és C csúcsból húzott érintőszakaszok hossza legyen u ill. v. Bizonyítandó, hogy
u⋅CD=v⋅AB.

Mindkét versenyen 4 óra munkaidő állt a versenyzők rendelkezésére.
A beadott dolgozatok és a Középiskolai Matematikai Lapok pontversenyén elért eredmény alapján a döntőbe jutott a kezdők versenyén 84 versenyző (Bp. 41, vidék 43), ezek közül a K. M. L. alapján 25 (Bp. 7, vidék 18); a haladók versenyén 103 tanuló (Bp. 52, vidék 51), ezek közül a K. M. L. alapján 20 (Bp. 7, vidék 13).
A II. (döntő) forduló feladatai a következők voltak: Kezdők részére:
1. Bizonyítsuk be, hogy
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
bármilyen pozitív vagy negatív (esetleg 0) számokat jelentsen a, b, c, d. Mikor érvényes az egyenlőség jele ?
2. Szerkesszünk háromszöget, ha adva van a kerülete 2s, a beírt kör sugara ϱ, és egyik szöge α.
3. A községből egy nő 10 óra 31 perckor elindult és egyenletesen haladva 13 óra 43 perckor érkezett B községbe. Ugyanezen a napon B-ből 9 óra 13 perckor indult el egy férfi ugyanazon az úton, és állandó sebességgel 11 óra 53 perckor ért A-ba. Útközben egyszerre értek egy hídhoz, amelyet a nő (miután egymás mellett elhaladtak) 1 perccel később hagyott el, mint a férfi. Mikor értek a hídhoz és hol vannak a híd végpontjai ?
 

Haladók részére:
 

1. Négy egész szám összege 36. Egy bizonyos n egész számot hozzáadva az első számhoz, n-et kivonva a második számból, n-nel szorozva a harmadik számot, és n-nel osztva a negyediket, egyenlő eredményre jutunk. Melyik ez a négy szám, és mekkora n ?
 

2. Egy hatszög minden második szöge 120∘-os, és két-két 120∘-os szöget bezáró oldala egyenlő. Bizonyítandó, hogy a 120∘-os szögek csúcsai szabályos háromszöget alkotnak.
 

3. Hány téglalap látható a sakktáblán ? Ezek közül hány négyzet ?
 

A döntőben 46 iskola 79 kezdő versenyzője és 56 iskola 102 haladó versenyzője adott be dolgozatot.
A kezdők versenyének döntőjéről a központi bizottság május 22-én a következő jelentést fogadta el:
 

,,A bizottság megállapítja, hogy a verseny eredményes volt. A feladatok kiválasztása megfelelő volt, mindegyik feladatot megoldották. Három versenyző oldotta meg mind a három feladatot: Magos András, Molnár Kálmán, Kolonits Ferenc.
Magos András az 1. feladathoz kifogástalan megoldást ad. A legnehezebbnek bizonyult 2. feladatot ügyesen oldja meg egyenlettel és okoskodással is. Molnár Kálmán a 2. és 3. feladatra ad ügyes megoldást. Kolonits Ferencnek az 1. feladatra adott megoldása dicsérhető. Ezek alapján a bizottság ítélete:
 

1. díj (oklevél + 250 Ft)
 

Magos András (Budapest, II. Rákóczi g. ‐ Tanára: Bender Levente).
 

2. díj (oklevél + 150 Ft)
 

Molnár Kálmán (Miskolc, Földes F. g. ‐ Tanára: Szabó Kálmán).
 

3. díj (oklevél + 100 Ft)
 

Kolonits Ferenc (Bp. VIII., Piarista g. ‐ Tanára: Varga László).
 

Három feladat nem teljes megoldásáért, vagy ezzel egyenértékű teljesítményért I. dicséretben részesült 4 tanuló. Két feladat megoldásánál többet nyújtott, és ezért II. dicséretet nyert 4 tanuló, míg lényegében két feladat megoldásáért III. dicséretben 13 versenyző részesült.
 

Név szerint:
 

I. dicséret (oklevél + könyvjutalom):
 

Bender Cecilia (Bp. I., Szilágyi E. lg.)
Istenes Péter (Bp. V., Eötvös g.)
Kisvölcsey Jenő (Bp. VIII., Piarista g.)
Seres Béla (Esztergom, I. István g.)
 

II. dicséret (oklevél + könyvjutalom):
 

Dániel Gábor (Bp. VIII., Piarista g.), Hainzmann János (Bp. XI., József Attila g.), Szász Domokos (Bp. V., Eötvös g.), Tusnády Gábor (Sátoraljaújhely, Kossuth g.).
 

III. dicséret (oklevél):
 

Bartha László (Balassagyarmat, Balassi B. g.), Csanak György (Debrecen, Fazekas g.), Goldperger István (Balassagyarmat, Balassi B. g.), Gyene András (Bp. VIII., Széchenyi g.), Jalsovszky György (Bp. VIII., Piarista g.), Lassányi Ferenc (Bp. VIII., Piarista g.), Madarász Klára (Szeged, Tömörkényi I. lg.), Mosonyi Emil (Bp. II., Rákóczi g.), Náray Miklós (Bp. VIII., Széchenyi g.). Papp Éva (Bp. VIII., Apáczai Csere lg.), Tamás Gyula (Bp. II., Rákóczi g.), Thaisz Kálmán (Bp. VIII., Piarista g.), Török Sándor (Debrecen, Fazekas g.).
 

A haladók versenyének döntőjéről a központi bizottság május 12-i jelentése így számol be:
A bizottság megállapítja, hogy a versenyfeladatok nehezebbek voltak, mint a tavalyiak. Legtöbb helyes megoldás a 3. feladatra érkezett, de ezek között aránylag kevés a szép megoldás. Az 1. feladatot szintén számos versenyző oldotta meg, de kevesen fedezték fel a feladatnak megfelelő mind a 7 értéknégyest, és így a megoldások többsége nem teljes. Aránylag legnehezebbnek bizonyult a geometriai feladat, mégis voltak, akik erre adtak megoldást, és valamelyik másik feladatot nem tudták megoldani.
Számításba véve a kitűzött feladatok nehézségét, a bizottság megállapította, hogy a versenyzők tudásának színvonala a múlt évi versenyhez képest emelkedést mutat.
A beadott dolgozatok között lényeges különbségek mutatkoztak a megoldások szépsége és teljessége tekintetében. Ez a körülmény megkönnyítette a dolgozatok rangsorolását.
Mindhárom feladatot megoldotta 2 tanuló: Szebeni András és Ellmann Gábor.
Szebeni András az 1. feladatra ugyan csak három értéknégyest ad megoldásul, de ezekhez logikus okoskodással jut el. A 2. feladatra szép megoldást ad, a 3. feladatra adott megoldása kifogástalan.
Ellmann Gábor az 1. feladatra csak egy értéknégyest ad meg, és hibás okoskodással kizárja a többi megoldás lehetőségét. A második feladatot szépen oldja meg, a harmadik feladatra helyes megoldást ad.
Az 1. és a legnehezebbnek bizonyult 2. feladatra egyedül Kalmár Ágota adott teljes megoldást. A második feladat állítását egy megjegyzésében konkáv hatszögre általánosítja.
 

Ennek alapján a bizottság döntése:
 

1. díj (oklevél + 300 Ft):
 

Szebeni András (Bp. I., Petőfi g. ‐ Tanára: Szüts Pál).
 

2. díj (oklevél + 200 Ft):
 

Ellmann Gábor (Bp. XII., Arany János g. ‐ Tanára: Bende Sándor).
 

3. díj (oklevél + 100 Ft):
 

Kalmár Ágota (Szeged, Ságvári Endre g. ‐ Tanára: Csuri József).
 

Két feladat helyes megoldásáért a bizottság I. fokozatú dicséretben részesített 4 tanulót. II. fokozatú dicséretet nyert 12 tanuló két feladat lényegében helyes megoldásáért, míg 5 tanuló III. fokozatú dicséretben részesült egy feladatnak teljes megoldásáért és egy másik feladatban elért részeredményért.
 

I. dicséret (oklevél + könyvjutalom):
 

Klopfer Sándor (Bp. II., Rákóczi g.),
Pödör Bálint (Bp. II., Rákóczi g.),
Simon László (Bp. XI., József Attila g.),
Szalay Zsolt (Bp. VIII., Széchenyi g.).
 

II. dicséret (oklevél + könyvjutalom):
 

Böröcz Szilárd (Bp. V., Eötvös g.), Danassy Károly (Mosonmagyaróvár, Kossuth g.), Fanta Katalin (Szombathely, Kanizsai Dorottya lg.), Galambos János (Veszprém, Lovassy László g.), Hank Zsombor (Szolnok, Verseghy Ferenc g.), Holik Katalin (Balassagyarmat, Balassi B. g.), Kecskés András (Szolnok, Verseghy Ferenc g.), Mercz László (Pannonhalma, Bencés g.), Meskó Attila (Bp. VII., Madách Imre g.), Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g.), Stark Gáspár (Bp. VIII., Piarista g.), Várallyay László (Mosonmagyaróvár, Kossuth g.).
 

III. dicséret (oklevél):
 

Gáll Ferenc (Bp. III., Bláthy Ottó ip. t.), Kismarty Lóránd (Pannonhalma, Bencés g.), Kultsár Barnabás (Szolnok, Verseghy Ferenc g.), Szemerédi Endre (Bp. XII., Arany János g.), Széphalmi Géza (Bp. VIII., Piarista g.)
 

Az összehasonlítás lehetővé tételére ‐ az előző évekhez hasonlóan ‐ ez idén is pontoztuk a helyezéseket. Ilyen módon a kezdők versenyén: 6+5+4+4⋅3+ +4⋅2+13⋅1=48 pont, a haladók versenyén 6+5+4+4⋅3+12⋅2+5⋅1=56 pont került szétosztásra.
 

Az eredmény megyék és iskolafajok szerint részletezve a 15. oldalon közölt táblázatban található.
 

A kezdők versenyének döntőjében beadott 79 dolgozat szerzője közül 51 (64,6% ‐ tavaly 29,8%) volt lapunk feladatmegoldója, a kitüntetett 24 tanuló közül 18 (75% ‐ tavaly 48,7%) lapunk munkatársa, akik összesen 33 pontot, azaz az összes pontok 68,8%-át (tavaly 50%) szerezték meg. A döntőben 6 olyan versenyző, aki mint lapunk eredményes feladatmegoldója került a döntőbe, összesen 9 pontot ért el.
A haladók döntőjének 102 versenyzője közül 78 (76,5% ‐ tavaly 48,8%) dolgozott lapunkban, de már a helyezést elért 24 versenyző közül 22 (91,7% ‐ tavaly 81,3%) tartozik lapunk feladatmegoldói közé, akik összesen 50 pontot, az összes pontok 89,3%-át (tavaly 82%) érték el. A K. M. L. alapján döntőbe került versenyzők közül kettő szerzett összesen 4 pontot. (Részletes beszámoló sokféle szempontból a ,,Matematika Tanításá''-ban fog megjelenni.)
 

Felhívjuk a helyezést elért tanulókat, főleg azokat, akik ez ideig nem tartoztak lapunk feladatmegoldói közé, hogy nevezzenek be a jelen számban kiírt 7. pontversenyünkre és rendszeres feladatmegoldói munkával készüljenek a jövő évi versenyekre.
 

A feladatok megoldását az októberi és novemberi számunkban közöljük. Ezeknek alapos áttanulmányozását ‐ esetleg szakköri munkában ‐ nagyon ajánljuk, főleg a versenyben részt vett tanulóknak.
 

Kimutatás az 1956. évi Arany Dániel verseny II. fordulójáról megyék és iskolafajok szerint
 

(Első sor: Kezdők versenye, második sor: Haladók versenye.)


Beadott dolg. számaEredményMegyék és Budapestgimn.ip. t.összesenDíjDicséretPontszámisk.  tan.  isk.  tan.  isk.  tan.  1.  2.  3.  I.  II.  III.
   ipipip‐‐1111‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 1. Baranya.....111223‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐25‐‐25‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 2. Bács-Kiskun.....111122‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐11‐‐11‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 3. Békés.....221133‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐442266‐1‐‐1‐27‐‐27 4. Borsod.....221133‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐331144‐‐‐‐‐111‐‐11 5. Csongrád.....371148‐‐1‐‐‐14‐‐14121325‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 6. Fejér.....23‐‐23‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐11‐‐11‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 7. Győr-Sopron.....311‐‐311‐‐‐‐3127‐‐2724‐‐24‐‐‐‐‐212‐‐12 8. Hajdu-Bihar.....111122‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐11‐‐11‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 9. Heves.....22‐‐22‐‐‐‐1‐12‐‐1222‐‐22‐‐‐1‐‐13‐‐1310. Komárom.....12‐‐12‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐13‐‐13‐‐‐‐‐212‐‐1211. Nógrád.....11‐‐11‐‐‐‐1‐12‐‐12‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐12. Pest.....‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐11‐‐11‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐13. Somogy.....11‐‐11‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐14. Szabolcs.....22‐‐22‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐11‐‐11‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐15. Szolnok.....25‐‐25‐‐‐‐2115‐‐15‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐16. Tolna.....‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐12‐‐12‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐17. Vas.....22‐‐22‐‐‐‐1‐12‐‐1223‐‐23‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐18. Veszprém.....11‐‐11‐‐‐‐1‐12‐‐12‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐19. Zala.....‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐2333572840‐1‐115615‐‐61519.Vidék.....2744673351‐‐1‐92824‐‐82416362318391‐1338733‐‐73320. Budapest.....184259235111‐4339311110323969710467911144131348‐‐1348    Összesen.....458611165610211141251755111856