Kezdőlap


Cím:	A várható érték
Szerző(k):	Prékopa András
Füzet:	1954/november, 78 - 81. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/november: 236. matematika gyakorlat, 1954/november: 643. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma a várható érték. Több más elnevezése is használatos: matematikai remény, átlag, átlag-érték, közép-érték, ezek azonban mind egyetlen egy fogalmat jelentenek. Keletkezési ideje körülbelül megegyezik a valószínűség fogalma kialakulásának a korszakával; először Huygens (ejtsd: hajhensz; holland matematikus és fizikus 1629‐1695) használta 1657-ben a >>Szerencsejátékkal kapcsolatos számításokról<< című értekezésében.
Hogy a gyakorlati jelentőségéhez közelebb férkőzzünk, vizsgáljunk meg először egy egyszerű példát. Péter és Pál kockázik. Ha 6-ost dobnak, Péter kap Páltól 5 forintot. ha pedig a többi öt számjegy valamelyike az eredmény, akkor Pál kap Pétertől 1 forintot. Kérdés, hogy ha nagyon sokszor dobják fel egymás után a kockát, melyikük számára lesz előnyös a játék ? A problémát könnyű eldönteni. Elég, ha Péter pénzét vizsgáljuk, mert hiszen amennyit ő nyert, ill. vesztett, annyit vesztett, ill. nyert Pál. Annak a valószínűsége, hogy egy dobás alkalmával Péter nyerjen $\frac{1}{6}$ , hogy veszítsen $\frac{5}{6}$ . Ha tehát igen sok, mondjuk $n$ dobást végeznek egymásután, akkor a nagy számok törvénye értelmében Péter kb. $\frac{n}{6}$ esetben nyer, $\frac{5 n}{6}$ esetben veszít. $n$ dobás után tehát kb.:

\begin{matrix} \frac{n}{6} \cdot 5 - \frac{5 n}{6} \cdot 1 = 0 \end{matrix}

forinttal változott meg a pénze. A játék tehát egyikükre nézve sem előnyös, de nem is hátrányos. Ha egy 6-os dobással Péter nem 5, hanem pl. 6 forintot nyerne, akkor

n

dobás után (feltéve, hogy

n

elég nagy szám), nyereségre számíthat, mégpedig a nyeremény összege kb.:

\begin{matrix} \frac{n}{6} \cdot 6 - \frac{5 n}{6} \cdot 1 = \frac{n}{6} > 0. \end{matrix}

Ha ezt a nyereményt elosztjuk

n

-nel, megkapjuk az egy játékra eső nyeremény-összeget, amely a mi esetünkben

\frac{1}{6}

Ft. Péter számára tehát ez a játék előnyös volna, Pál számára hátrányos.
Általában, ha

v_{1}

annak a valószínűsége, hogy Péter nyerjen, mégpedig

a

forintot, és

v_{2}

, hogy veszítsen

b

forintot, akkor

n

számú játék esetében (feltéve, hogy

n

elég nagy) Péter pénze kb.

\begin{matrix} n v_{1} a - n v_{2} b \end{matrix}

forinttal fog megváltozni. Ebből egy játékra

\begin{matrix} v_{1} a - v_{2} b \end{matrix}

összeg esik. Hogy a játék melyikükre nézve előnyös, az attól függ, hogy az összeg pozitív, vagy negatív, és hogy mennyire előnyös, azt ennek az összegnek a nagysága mutatja. Ha

\begin{matrix} v_{1} a - v_{2} b = 0 \end{matrix}

akkor a játék méltányos, egyikükre nézve sem előnyös.
Tehát, ha csak kétféle eredményről lehet szó (

A

nyer

B

-től

a

forintot

v_{1}

valószínűséggel, vagy

B

nyer

A

-tól

b

forintot,

v_{2}

valószínűséggel), akkor a játék igazságos, ha

\begin{matrix} v_{1} a = v_{2} b, vagyis \frac{a}{b} = \frac{v_{2}}{v_{1}} . \end{matrix}

a

tulajdonképpen

B

-nek a tétje,

b

pedig

A

-nak a tétje, és a fenti azonosság azt fejezi ki, hogy a játék vagy fogadás igazságos, ha a tétek aránya egyenlő a megfogadott események valószínűségének arányával.
Tegyük fel most, hogy megváltoztatják a játékszabályokat a következő módon: ha a dobás eredménye 1 vagy 2, Péter nyer 1, ha 4, 5, vagy 6, ugyancsak ő nyer 2 forintot, míg ha 3-ast dobnak, veszít 5 forintot. Az előbbi módon eljárva azt kapjuk, hogy Péter pénze megváltozásának egy játékra eső része

\begin{matrix} \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{8}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ebben az esetben a játék Péterre előnyös, mert átlagban játékként

\frac{1}{2}

forintot nyer, ami azt jelenti, hogy pl. 100 játék esetén kb. 50 forint nyereségre számíthat.
Tekintsük Péter veszteségét negatív nyereségnek (

- 5

Ft), a játszmát pedig nevezzük el kísérletnek, akkor tehát a kísérletnek három lehetséges eredménye van. Az eredményeket számszerűleg, az

1

2

- 5

számok fejezik ki, amelyek rendre

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{1}{6}

valószínűségekkel következnek be.
Általában, ha egy kísérlet lehetséges eredményét az

\begin{matrix} x_{1}, x_{2}, ..., x_{N} \end{matrix}

számok jelzik¹, melyek rendre

\begin{matrix} v_{1}, v_{2}, ..., v_{N}, (v_{1} + v_{2} + ... + v_{N} = 1) \end{matrix}

valószínűséggel következnek be, az

\begin{matrix} M = v_{1} x_{1} + v_{2} x_{2} + ... + v_{N} x_{N} \end{matrix}

értéket várható érteknek nevezzük. Gyakorlati jelentősége: nagyszámú kísérlet esetén a kapott összeredménynek egy kísérletre eső része. Ugyanis ha

n

kísérletet végezünk, ahol

n

elég nagy szám ahhoz, hogy a nagy számok törvénye értelmében

\begin{matrix} v_{i} \approx \frac{k_{i}}{n} i = 1, 2, ..., N \end{matrix}

legyen (ahol

k_{i}

jelenti azt a számot, amely mutatja, hogy az

i

-edik esemény hányszor következik be

n

kísérlet közül;

k_{1} + k_{2} ... + k_{N} = n

), akkor

\begin{matrix} M \approx \frac{k_{1}}{n} x_{1} + \frac{k_{2}}{n} x_{2} + ... + \frac{k_{N}}{n} x_{n} = \frac{k_{1} x_{1} + k_{2} x_{2} + ... + k_{N} x_{N}}{n} . \end{matrix}

M

várható értek mindig az

x_{1}, x_{2}, ..., x_{N}

értékek legkisebbike és legnagyobbika közé esik. Ugyanis, ha az

\begin{matrix} M = v_{1} x_{1} + v_{2} x_{2} + ... v_{N} x_{N} \end{matrix}

kifejezésben

x_{i}

helyett ezek legnagyobbikát,

{max}_{1 \leq i \leq N}^{} x_{i}

teszünk, akkor az összeget nem csökkentettük, ha pedig mindenütt

{min}_{1 \leq i \leq N}^{} x_{i}

írunk, akkor nem növeltük. Mivel továbbá

v_{1} + v_{2} + ... + v_{N} = \sum_{i = 1}^{N} v_{i}

²=1, azért

\begin{matrix} {min}_{1 \leq i \leq N}^{} x_{i} = {min}_{1 \leq i \leq N}^{} x_{i} \sum_{i = 1}^{N} v_{i} \leq M \leq {max}_{1 \leq i \leq N}^{} x_{i} \sum_{i = 1}^{N} v_{i} = {max}_{1 \leq i \leq N}^{} x_{i} . \end{matrix}

n M

tehát az

n

kísérlet során kapott összeg. Ez azonban csak akkor áll fenn, a gyakorlat csak akkor igazolja, ha

n

elég nagy szám. Nem lehet tehát azt mondani, hogy mivel

n M

n

kísérlet során kapott összeg, azért

n

helyébe

1

-et téve,

M

nem más, mint az egy kísérlet által kapott érték. Mégis abban az esetben, ha az

x_{1}, x_{2}, ..., x_{N}

számok egy valamilyen érték körül tömörülnek oly módon, hogy az ettől az értéktől távoleső

x_{k}

tagokhoz tartozó

v_{k}

valószínűségek nagyon kicsinyek, más szóval, ha az

x_{1}, x_{2}, ..., x_{N}

értékeknek az előbbi értelemben vett >>szórása<< kicsi, akkor egy kísérlet esetében is a kísérlet eredménye nagy valószínűséggel közel fog esni

M

értékéhez. Ennek a bizonyítására azonban már nem térünk ki, csak megjegyezzük, hogy egyetlen kísérlet esetében mindig meg kell vizsgálnunk, hogy a szórás milyen, tehát gyakorlatilag csak akkor alkalmazhatjuk sikerrel a várható érték fogalmat.
Végül meg kell említenünk, milyen nagy hasonlóság van a mechanikai tömegközéppont és a várható érték fogalma között. Ha a számegyenesen az

x_{1}

x_{2}

...

x_{N}

pontokba rendre elhelyezzük a

v_{1}, v_{2}, ..., v_{N}

tömegű pontokat, akkor ezek tömegközpontjának a helye megegyezik várható érték helyével a számegyenesen.
Nézzünk most néhány példát.
1. Valakinek annyi forintot ígérnek, ahányszor az első dobástól kezdve egymás után csupa írást dob egy pénzdarabbal, legfeljebb

N

dobásból. Mennyi a nyeremény várható értéke ?

Megoldás: Annak valószínűsége, hogy pontosan

k

-szor dob egymás után írást, nem más, mint az

I_{}^{} I_{}^{} ... I_{}^{} F_{}^{}

sorozat valószínűsége, vagyis

{(\frac{1}{2})}^{k + 1}

. Tehát

1

forintot

{(\frac{1}{2})}^{2}

valószínűséggel nyer, 2 forintot

{(\frac{1}{2})}^{3}

valószínűséggel stb. A várható érték tehát

\begin{matrix} M = 1 \cdot \frac{1}{2^{2}} + 2 \cdot \frac{1}{2^{3}} + ... + N \cdot \frac{1}{2^{N + 1}} = \sum_{k = 1}^{N} k \frac{1}{2^{k + 1}} . \end{matrix}

Pl., ha

N = 5

, akkor a várható érték

\begin{matrix} M = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \frac{5}{64} = \frac{57}{64} . \end{matrix}

2. Két csapat röplabdázik. Annak valószínűsége, hogy az

A

csapat nyer egy játszmát

v_{A}

, hogy a

B

csapat nyer egy játszmát,

v_{B} (v_{A} + v_{B} = 1)

. A mérkőzést az a csapat nyeri, amelyik előbb nyer három játszmát. Mennyi a lejátszandó játszmák várható száma ?

Megoldás: Legalább 3 és legfeljebb 5 játszmát kell játszani. Jelöljük a megfelelő valószínűségeket

v_{3}

v_{4}

ill.

v_{5}

-tel

(v_{3} + v_{4} + v_{5} = 1)

.
3 játszmával akkor ér véget a mérkőzés, ha vagy az

A

, vagy a

B

csapat nyer 3 játszmát egymásután, tehát

\begin{matrix} v_{3} = v_{A}^{3} + v_{B}^{3} . \end{matrix}

4 játszma esetén az egyik fél nyer hármat, a másik 1-et, de az utóbbi lehet az első, második, vagy harmadik játszma, tehát

\begin{matrix} v_{4} = 3 v_{A}^{3} v_{B} + 3 v_{A} v_{B}^{3} = 3 (v_{A}^{3} v + v_{A} v_{B}^{3}) . \end{matrix}

Hasonló meggondolással

\begin{matrix} v_{5} = (\binom{4}{2}) (v_{A}^{3} v_{B}^{2} + v_{A}^{2} v_{B}^{3}) . \end{matrix}

A várható érték tehát

\begin{matrix} M = 3 v_{3} + 4 v_{4} + 5 v_{5} . \end{matrix}

Numerikus példa: Legyen

v_{A} = \frac{2}{3}

v_{B} = 1 - v_{A} = \frac{1}{3}

\begin{matrix} v_{3} & = {(\frac{2}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{8}{27} + \frac{1}{27} = \frac{9}{27}, \\ v_{4} & = 3 (\frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{27}) = \frac{8}{27} + \frac{2}{27} = \frac{10}{27}, \\ v_{5} & = 6 (\frac{8}{27} \cdot \frac{1}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{27}) = \frac{16}{81} + \frac{8}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} M = 3 \cdot \frac{9}{27} + 4 \cdot \frac{10}{27} + 5 \cdot \frac{8}{27} = \frac{107}{27} \approx 3, 96. \end{matrix}

¹Bennünket most csak olyan kísérletek érdekelnek, amelyek eredményei számszerű adatok. Ha azt a kérdést vizsgáljuk, hogy egy kártyacsomagból milyen színű kártyát húzunk ki, ezzel a problémával kapcsolatban nincs értelme várható értékről beszélni.

²Olvasd:szumma $v_{i}$ ,i=1-tőlN-ig.