Cím: Egy geometriai transzformáció
Szerző(k):  Surányi János 
Füzet: 1952/december, 135 - 136. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 1952/november: 23. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(Megjegyzés a 23. sz. gyakorlathoz.)
 

Lapunk 111. oldalán szerepel a következő gyakorlat megoldása: >>Adva egy A pont és két egyenes: b és c. Szerkesztendő ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög, amelynek egyik csúcspontja az adott A pont, a derékszög csúcspontja C a c egyenesen, a B pont a b egyenesen fekszik.<<
A feladat I. és II. megoldása egyaránt egy mértani helyet jelöl ki a B vagy C csúcs számára és rejtve ez történik a III. megoldásban is. (A IV. megoldás egyszerűbb gondolattal hasonló ábra megszerkesztésére vezeti vissza a feladatot.) Ezt a mértani helyet mutatjuk be az alábbiakban még egy újabb megvilágításban, amelyben már eltűnnek a szereplő szögek ‐ látszólag lényeges ‐ speciális értékei (45∘, 90∘) és így egy újabb, hasznos szerkesztési módszerhez jutunk.
 
 

Próbálkozzunk a mértani helyek módszerével a következő módon. A B csúcs számára egy mértani helyet ad a b egyenes. Egy újabb mértani helyhez juthatunk, ha éppen arról a feltételről mondunk le, hogy a B csúcs a b egyenesre kerüljön. Ekkor a c egyenes minden C pontjához ABC derékszögű egyenlő szárú háromszöget kell rajzolnunk, melynek a C csúcsban van a derékszöge. Kérdés mi lesz a B csúcsok mértani helye?
A C csúcs minden helyzetéhez két ilyen háromszög rajzolható. Válasszuk ki az egyiket mindig úgy, hogy csupa egyező körüljárású háromszöget kapjunk. Több háromszöget megrajzolva egyenes látszik kialakulni. (Ábránkon a körüljárás iránya az óramutató járásával ellenkező. A b egyenest fel sem tüntettük.) Ez természetes is, hiszen a C1 pontból eljuthatunk a következő módon is a B1-hez: a C1 pontot elforgatjuk A körül 45∘-kal a C'1 helyzetbe és az AC'1=AC1 távolságot még meg is nyújtjuk a 2-szeresére. (Az ábrán a forgatás mindig az óramutató járásával egyező irányban történt.) Ha ezt a c egyenes minden pontjával megtesszük, akkor ismét egyenest kapunk, mert az egyenes egyenes marad, ha a síkot A körül elforgatjuk és ha A-ból kiindulva az elforgatott c' egyenes minden pontjának A-tól való távolságát ugyanolyan arányban nyújtjuk vagy összehúzzuk. Az új egyenes a régivel akkora szöget zár be, amekkora szöggel az elforgatás történt (esetünkben 45∘ az óramutató járásával egyező irányban) és távolsága A-tól, a forgatás középpontjától, úgy aránylik az eredeti egyenes A-tól mért távolságához, mint a nyujtás (összehúzás) aránya. Ezek után könnyű az új mértani helyet megszerkeszteni.
Mint már más esetben is láttuk, itt is a mértani hely egy geometriai transzformációhoz vezetett, amit >>forgatva nyújtás<<-nak nevezhetnénk (jobb név híján). Mint a neve is mutatja két transzformáció egymásutáni alkalmazásából tehető össze, de számunkra éppen azzal vált használhatóvá, hogy a két transzformációt egyidejűleg hajtottuk végre: forgattunk A körül és közben meg is nyújtottunk minden A-tól mért távolságot egy megadott arányban.
Nyilvánvaló, hogy ebben az átalakításban sem a 45∘-os szögnek, sem a 2-es nyújtási aránynak nem volt különleges szerepe, ugyanígy végezhetünk forgatva nyújtást tetszőleges szöggel és aránnyal is. Ennél a transzformációnál egyenes megfelelője mindig egyenes, általában ez a transzformáció minden idomot hozzá hasonló (és egyező körüljárású) idomba visz át. Így például körből forgatva nyújtással mindig kör keletkezik.
A 23. gyakorlat I. megoldásában e és f a b egyenesnek 45∘-kal elforgatott és 12 arányban összehúzott képe és azt bizonyítottuk, hogy a speciális adatok mellett mindkettő az A-ból bocsátott merőleges T talppontján megy át. A II. megoldásban lényegében c 45∘-kal elforgatott és 2-szörösére nyújtott képéről láttuk be (szintén a speciális értékek kihasználásával), hogy A-nak c-re vonatkozó tükörképén haladnak keresztül, a III. megoldásban pedig utóbbi egyenesek c-vel való metszéspontját határoztuk meg, természetesen szintén a speciális adatok kihasználásával.
Alkalmazásul oldjuk meg (lehetőleg más módszerrel is) a jelen számunkban kitűzött 500* és 501. számú feladatokat.