Kezdőlap


Cím:	Az 1951. évi Arany Dániel matematikai tanulóverseny
Füzet:	1951/augusztus, 49 - 51. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Lapunk szerkesztősége a Bolyai János Matematikai Társulat megbízásából idén is megrendezte országos középiskolai matematikai tanulóversenyét. Elhatározta a választmány, hogy a versenyt a lapok megalapítójáról, Arany Dánielről nevezi el, aki a lap megindításával felbecsülhetetlen szolgálatot tett a természettudományos gondolkozásra nevelés érdekében. ^{$^{*}$}
Elhatározta a választmány a múltbeli tapasztalatokon okulva, hogy a verseny komolyságának megóvására a Szovjetunió gyakorlatát fogja követni és a versenyt két fordulóban rendezi meg. A lebonyolításra bizottságot küldött ki. Tagjai Hajós György és Kárteszi Ferenc egyetemi tanárok, Lőrincz Pál és Neukomm Gyula tanulmányi felügyelők, Varga Tamás középiskolai tanár és Surányi János felelős szerkesztő mint előadó.
A versenyt, a Közoktatásügyi Minisztérium komoly erkölcsi és anyagi támogatásban részesítette. Ennek és a Társulat jó előkészítő munkájának köszönhető, hogy a verseny soha nem remélt sikert hozott.
Az első forduló április 21-én folyt le több mint 70 helyen az országban. Egyedül a budapesti központi helyen közel 900 versenyző jelent meg. Országszerte közel 1500 versenyző adott be dolgozatot. ^{$^{*}$} Az indulók száma ezt a számot még messze felülmúlta. A második forduló május 20-án zajlott 7 központi helyen.
A verseny feladatai a következők voltak:

I. forduló. Kezdők feladatai

1. Hozzuk a lehető legegyszerűbb alakra a következő kifejezést:

\begin{matrix} \frac{{(x + y)}^{5}}{x y (x^{2} + x y + y^{2})} - \frac{x^{4}}{y (x^{2} + x y + y^{2})} - \frac{y^{4}}{x (x^{2} + x y + y^{2})} \end{matrix}

(A)

2. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög magasságpontjának az oldalak felezőpontjára vonatkozó tükörképei a háromszög köré írt körön vannak.
3. Az

a

b

c

d

számok milyen értékei mellett van megoldása, és hányféle megoldása van az

\begin{matrix} x + y = a, z + u = c \\ (B) \\ y + z = b, u + x = d \end{matrix}

egyenletrendszernek?

Haladók feladatai

1. Oldjuk meg a

\begin{matrix} \frac{2^{{(x + 1)}^{2}}}{2^{{(x - 1)}^{2}}} = 4^{x^{2}} \end{matrix}

(C)

egyenletet.
2. Egy egyenlőszárú trapéz párhuzamos oldalainak a hossza 15,3 és 25,2 cm. A hosszabbik párhuzamos oldal végpontjaiból a rövidebbik, olyan szög alatt látszik, amelynek tangense 0,75. Számítsuk ki a trapéz területét.
3. Egy számtani sorozat elemei egész számok és egyik eleme négyzetszám. Bizonyítsuk be, hogy akkor bármeddig folytatva a sorozatot, elemei közt újra és újra fordulnak elő négyzetszámok.

II. forduló. Kezdők feladatai

1. Hozzuk a lehető legegyszerűbb alakra az

\begin{matrix} \frac{1}{(x - 1) (x - y) (x - z)} + \frac{1}{(y - x) (y - 1) (y - z)} + \frac{1}{(z - x) (z - y) (z - 1)} & (D) \end{matrix}

kifejezést.
2. Az

n

szám mely pozitív egész értékeire osztható és melyekre nem osztható

2^{7} - 2

-vel az

\begin{matrix} n^{7} - n \end{matrix}

kifejezés?
3. Rajzoljunk egy kört, húzzunk egy egyenest és tűzzünk ki az egyenesen két pontot. Szerkesszük meg az egyenesen azt a pontot, amely körül elforgatható az egyenes úgy, hogy mindkét kitűzött pont egyidejűleg a körre kerüljön.

Haladók feladatai

1. Legyenek

m

és

n

adott, nullától különböző pozitív számok. Oldjuk meg az

\begin{matrix} x^{y} = y^{x} \\ (E) \\ x^{m} = y^{n} \end{matrix}

egyenletrendszert.
2. Szorozzuk meg egy téglatest egyes oldallapjainak területét a kerületükkel. Bizonyítsuk be, hogy az így keletkező hat mennyiség összege legalább akkora, mint a test térfogatának 24-szerese.
3. Melyek azok az

n

egész számok, amelyekhez található olyan konvex síklapokkal határolt test, melynek

n

éle van?

A második fordulóban az első fordulón elért eredmények alapján a kezdők versenyében 71 tanuló, a haladókén pedig 88 tanuló vehetett részt.
Az első fordulóval kapcsolatban két szempontra hívjuk fel olvasóink figyelmét. Bár a beérkezett jelentések majdnem kivétel nélkül a verseny mintaszerű lefolyását jelentették, a dolgozatok néhány iskolában még mindig feltűnő egyezést mutattak. Több durva hibát ismételtek meg egész egyformán a versenyzők. Már a múltévi díjak odaítélése is mutatja, hogy az ilyen közös munka nem erősíti, hanem csak rontja a versenyzők esélyeit. Viszont az is előfordult, hogy beszélgető versenyzőket kizártak a versenyből. Az ilyen eljárás helyett lehetőleg elégedjünk meg a szétültetéssel.
Felhívjuk olvasóink figyelmét arra, hogy a bizottság elhatározta, hogy a jövőben az előző versenyek helyezettjei, továbbá a lapok pontversenyében az első helyekre kerülő tanulók jogot fognak szerezni arra, hogy a második fordulóba kerüljenek. Nekik tehát nem kell részt venniök a jövőben az első fordulóban.
A második forduló eredményéről és a verseny lefolyásáról következő számunkban közlünk részletes beszámolót.

^{$^{*}$}További részletre nézve lásd Obláth Richárd: A középiskolai matematikai lapokról és matematikai versenyekről II. évf. 1. sz. 3‐7. old.

^{$^{*}$}Összehasonlításul: A tavaly beérkezett 656 dolgozat is már ugrásszerű emelkedés volt az előző évekhez képest.