A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 2. Egyenlőtlenségek átalakítása Mielőtt egyenlőtlenségekkel foglalkoznánk, először tisztáznunk kell, hogyan lehet egyenlőtlenségeket átalakítani, belőlük újabb helyes egyenlőtlenségeket nyerni. Legyen és két valós szám. ugyanazt jelenti, mint hogy az különbség pozitív. (Jelben így is írhatjuk: ). Az első közleményben a két szám számtani és mértani közepe közt fennálló egyenlőtlenséget is úgy sikerült bizonyítani, hogy különbségük előjelét állapítottuk meg. Hasonlóan bizonyíthatunk más egyenlőtlenségeket is. Tegyük fel, hogy (azaz, hogy pozitív). a) Ekkor is pozitív, tehát b) Másrészt pozitív, ha pozitív, de negatív, ha negatív, tehát ha pozitív, ; ha negatív . c) Vizsgáljuk most és hatványait. , és általában bármely pozitív egész -re . Az első tényező feltétel szerint mindig pozitív. A második tényező előjeléről biztosat tudunk mondani, ha is, is pozitív. Ekkor biztos, hogy a második tényező és vele együtt a szorzat is pozitív, tehát ha és is is pozitív, akkor , , általában . d) Mit tudunk mondani és reciprokáról? Ha ismét is is pozitív, akkor a nevező is pozitív, feltevés szerint a számláló is pozitív, így a tört negatív az előtte álló előjel miatt, tehát Általában . Ha pozitív egész és is is pozitív számok, akkor a nevező pozitív, a számláló viszont a föntebb végzett átalakítások szerint negatív, így a tört értéke is, tehát (Ez a c) pont alapján következik az éppen bebizonyított egyenlőtlenségből is.) e) Legyen most és , vagyis is, is pozitív. Ekkor mindig pozitív is, tehát f) Próbáljuk meg -t is és segítségével kifejezni. E különbségeket rövidebb írás kedvéért -vel és -vel jelölve , . Így ( és jelentését beírva könnyen látható az azonosság helyessége). Ha itt is is pozitív, akkor az utolsó kifejezés is, tehát is. A feltételből természetesen az is következik, hogy a -nél nagyobb is és a -nél nagyobb is pozitív, tehát ha , és , , , pozitív számok akkor Ezt az egyenlőtlenséget bebizonyíthattuk volna már előbb helyesnek bizonyult átalakítások segítségével is. Ugyanis b) szerint ha és pozitív, akkor . Hasonlóan, ha és pozitív, akkor is fennáll. Viszont általában ha , , és három olyan szám, amelyekre is fennáll, mert és a jobboldalon mindkét kifejezés feltétel szerint pozitív. Így az előbb nyert egyenlőtlenségekből következik a bizonyítandó egyenlőtlenség. Itt az egyenlőtlenségekben szereplő mennyiségekre bizonyos feltételeknek kell teljesülniök, hogy az egyes következtetéseket levonhassuk. Kérdés azonban, hogy nem teljesül-e valamelyik egyenlőtlenség akkor is mindig, ha a feltételek valamelyikét elhagyjuk? Figyeljük meg pl. az f) esetre adott kétféle bizonyítást. Az elsőből szükségesnek látszott -ről is, -ről is feltenni, hogy pozitívok. A második bizonyításban viszont csak annyit használtunk fel, hogy és pozitív. Az előbbivel együtt pozitívnak kell lennie -nak is, de előjelére nem következik ebből semmi és valóban igaz is, hogy az egyenlőtlenség helyes akkor is, ha a kiinduló egyenlőtlenségeken kívül csak , és -ről tudjuk, hogy pozitív, azonban negatív. Ennél többet azonban nem lazíthatunk a feltételeken. Ha pl. a két jobboldal negatív, akkor a , egyenlőtlenségpár jobb- és baloldalainak szorzata közt a egyenlőtlenség áll fenn, viszont a , egyenlőtlenségpár jobb- és baloldalainak szorzata közt a egyenlőtlenség. Így, ha mindkét jobboldal negatív, akkor azt sem állíthatjuk, hogy mindig a baloldalak szorzata a nagyobb, de azt sem, hogy mindig a jobboldalaké, mert mindkét esetben van olyan ,,ellenpéldánk'', amiben nem ez az eset következik be. Mivel , -ből , de viszont , -ből , tehát akkor sem vonhatunk általános következtetéseket, ha az egyik egyenlőtlenség mindkét oldala negatív. Ha a két egyenlőtlenség három tagja negatív, akkor a b) értelmében -gyel szorozva az egyenlőtlenségeket és az egyenlőtlenségjeleket az ellenkező értelművel cserélve fel, a már bebizonyított esetekre jutunk. Alkalmazásban azonban legtöbbször csak az f) alatt kimondott esetre lesz szükségünk. A c) pontban ha pozitív, negatív, akkor semmit sem mondhatunk, mert pl. , , . Az első esetben , a másodikban , a harmadikban . Ha is, is negatív, akkor -ből a b) pont szerint , vagy következik s így a c) pont szerint . Ebből, ha páros, azt kapjuk, hogy , ha páratlan, akkor viszont , , tehát egyrészt a c) pontban szereplő egyenlőtlenségre egész általánosan csak pozitív és mellett következtethetünk, másrészt a további eseteket erre vissza tudjuk vezetni. Teljesen hasonló a helyzet és előjelével a d) pontban is. A másik feltevés a c) és d) pontban az, hogy az hatványkitevő pozitív egész szám. A következtetés azonban helyes marad, minden pozitív (nem egész) kitevőre is. Ha , pozitív egész, és pozitív és , akkor nem lehet , mert ekkor volna. Ha állna fenn, akkor -adik hatványra emelve a c) pont szerint következnék, hogy , tehát csak az lehet, hogy . Ebből c) szerint az is következik, hogy ha pozitív egész szám, akkor Rajzoljuk most meg az és görbét.
Minden tört számmal fel nem írható -hez akármilyen közel találunk tört számot. Ezekben mindig az első görbe van magasabban, mint a második, a görbék pedig összefüggő vonallal rajzolhatók meg, így az pontban is az első görbe lesz magasabban. Teljesen hasonlóan okoskodhatunk a pontban is. Az e) és f) pontban azt is felvethetnénk, hogy hogyan változik a helyzet, ha az egyik egyenlőtlenség helyett a két mennyiség egyenlőségét tudjuk. Legyen most pl. és , akkor mivel és az a) pont szerint , vagyis . Ha pedig (és vele együtt is) pozitív, akkor a b) pont szerint áll fenn. Miután két mennyiség és közt három kapcsolat állhat, fenn: vagy vagy , így gyakran előfordul, hogy ezek közül csak az egyiket akarjuk kizárni. Az jelöléssel már ebben a cikkben is találkoztatok. A többi esetben a fennmaradó két lehetőséget szoktuk felírni jelben. Például azt, hogy nem lehet kisebb -nél, így írjuk: , és úgy olvassuk: ,, nagyobb -nél, vagy egyenlő vele''. Akkor az f) alatti és a most nyert eredményt (abban -t és -t felcserélve) így egyesíthetjük: ha | | akkor Ugyanezen feltétel mellett Azt figyeljük meg, hogy ha csak az egyik feltételben is nem szerepel az egyenlőségjel, akkor már a következményben sem állhat egyenlőség. Ha az első egyenlőtlenség helyett is állna, akkor már a következményben is -t kellene írnunk, de még mindig azzal a megszorítással, hogy a következményben csak akkor áll fenn egyenlőség, ha mind a két feltételben az egyenlőség áll fenn.
3. Konvex függvények. Első közleményünkben bebizonyítottunk egy egyenlőtlenséget a számtani és mértani közép között és alkalmaztuk geometriai szélsőértékfeladatok megoldásában. A 252. feladat II. megoldásában (75‐76. old.) egy másik egyenlőtlenséget használtuk geometriai szélsőértékfeladat megoldásában. Ezt az egyenlőtlenséget következő alakjában bizonyítottuk be: ha pozitív számok, akkor a számtani közép négyzete és az ú. n. négyzetes közép közt a következő egyenlőtlenség áll fenn: Ezt felfoghatjuk úgy, hogy az függvényt ábrázoló görbe egy tulajdonságát fejezi ki. Rajzoljuk fel a görbét és az és abszcisszájú pontokat. Ezek ordinátái és . Így az e két pontot összekötő húr felezőpontjának az ordinátája. E pont abszcisszája így a görbe ugyanilyen abszcisszájú pontjának az ordinátája. Az egyenlőtlenség tehát azt fejezi ki, hogy a görbe bármely húrjának a felezőpontja a görbe fölött van. Ez szemléletesen világos is, mert a görbe alulról nézve domború, vagy idegen szóval konvex, s így egy húr minden pontja a görbe fölött van.
Ezek szerint hasonló egyenlőtlenséget nyerhetünk, ha ábrázolunk függvényeket és megnézzük, hogy az őket ábrázoló görbék alulról nézve domborúak-e vagy sem. Ezt ránézésre is könnyen eldönthetjük, ha a görbe elég egyszerű. Legfeljebb akkor merül fel kétség, ha a görbe ilyen alakú:
tehát egy darabja nem is homorú, nem is domború, hanem egyenes. Az ilyen görbéket is nevezhetjük konvexnek (alulról) akkor a konvexség tágabb értelmezéséhez jutunk. Egyezzünk meg abban, hogy a jövőben ha görbék domborúságáról beszélünk, azt mindig alulról nézve gondoljuk. Továbbá, ha röviden konvexet (domborút) mondunk, akkor mindig a szűkebb értelemre gondolunk tehát olyan görbére, amelyben nincs egyenes rész. Ellenkező esetben mindig jelezni fogjuk, hogy tágabb értelemben konvex görbéről van szó. Ha egy függvényt konvex görbe ábrázol, akkor a rövidség kedvéért a függvényt is konvexnek nevezzük. Hasonlóan, ha egy függvény görbéje alulról homorú (konkáv), akkor a függvényt is konkávnak nevezzük. Ha a görbe konvex, ill. konkáv, de előfordulhat benne egyenes rész is, akkor tágabb értelemben konvexnek, ill. tágabb értelemben konkávnak nevezzük és ugyanígy a függvényt is, amelyet ábrázol. Aki már ábrázolta az függvényt, emlékszik rá, hogy ennek a görbének az tengelytől jobbra eső darabja alulról domború, az tengelytől balra eső része viszont alulról homorú.
Ilyenkor a függvényről is azt mondjuk, hogy a megfelelő szakaszon konvex, ill. konkáv; tehát pl. az függvény pozitív értékeire konvex, negatív értékeire pedig konkáv. 311. Ábrázoljuk a
függvényeket és állapítsuk meg a rajz alapján, hogy mely értékeire konvexek, mely értékeire konkávok ezek a függvények. Milyen különleges tulajdonsága van ezek közül az utolsó kifejezéssel jellemezhető függvényeknek konvexség szempontjából? Van-e más hasonló tulajdonságú függvény is?
* Nem nagyon megbízható dolog azonban egy függvény tulajdonságait az őt ábrázoló görbéről olvasni le, mert ezt a görbét nem tudjuk pontosan megrajzolni. Csak egyes pontokban számíthatjuk ki a függvényértéket és azoknak az ábrázolásánál is követhetünk el hibát, de különösen az függ egyéni megítélésünktől, és kézügyességünktől, hogy hogyan húzzuk a görbét a kijelölt pontok között. Az ábra magában például már arra sem volna teljesen megbízható, hogy megkeressük az függvénynél azt a pontot, ahol a görbe (alulról nézve) konvexből átfordul konkávba. Mikor mégis természetesnek vesszük, hogy ez a pont a , akkor beleszámítjuk azt is, hogy a pontnak bizonyos központi helyzete van ennél a görbénél. Valóban minden értékre . Ez geometriailag azt jelenti, hogy a görbe és abszcisszájú pontjai egymás tükörképei a pontra nézve. A pontnak ezt a tulajdonságát azonban nem a grafikonról könnyű leolvasni, hanem a függvény matematikai kifejezéséből. Ha megpróbáljátok az görbét ábrázolni, az a helyen átmegy domborúból homorúba, de ezen kívül negatív -ekre is, pozitívokra is egy helyen átfordul homorúból domborúba. Ezeknek a fordulópontoknak a helyét már nehéz volna rajzról kielégítő pontossággal leolvasni, mert a közelükben nagyon kevéssé görbül a görbe. Az is előfordulhat, hogy a görbe oly kis darabon hajlik át homorúból domborúba és vissza, hogy azt rajzolás közben észre sem vesszük. Szükségünk van tehát a grafikus ábrázolásnál biztosabb eszközre ahhoz, hogy eldöntsük egy függvényről, hogy konvex-e egy darabon vagy sem. Az erre kínálkozó út az, hogy keresünk olyan geometriai tulajdonságokat, amik teljesen kifejezik azt, hogy a görbe konvex, de emellett arra is alkalmasak, hogy ábrázolás nélkül, kizárólag a függvénnyel felírhatók legyenek. Sok ilyen tulajdonság van. Ezek közt az egyik legegyszerűbbet már meg is fogalmaztuk éppen akkor, amikor egyenlőtlenségek és a függvénygörbe domborúsága közt találtunk kapcsolatot: (alulról) domború görbének egy, húr végpontjai közti íve teljesen a húr alatt van. Megfordítva is: ha egy görbedarabnak bármely húrja a megfelelő ív felett van, akkor a görbedarab konvex. Próbáljuk meg ezt a geometriai tulajdonságot a függvény segítségével felírni. 312. Legyen az tengely két adott pontjának koordinátája és . Mutassuk meg, hogy bármely köztük levő pont alkalmas pozitív és számokkal felírható alakban. Áttekinthetőbbé válik a kifejezés, ha -t -gyel -t vel jelöljük. Ekkor a pont így is írható: ahol és pozitív és . Hogyan írható fel egy függvény görbéjének és abszcisszájú pontjai közötti húrján (B) ill. (B) abszcisszájú pont ordinátája? Írjuk le a konvexséget kifejező fenti tulajdonságot a függvényre vonatkozó egyenlőtlenség alakjában. A nyerendő egyenlőtlenséget nevezik Jensen-egyenlőtlenségnek. Ha ebben ill. , akkor kapjuk a szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenséget. 313. Hogyan szól a megfelelő egyenlőtlenség-konkáv, tágabb értelemben konvex, ill. tágabb értelemben konkáv függvényekre? 314. A 312. feladat eredményét felhasználva döntsük el, hogy az , , , függvények hol konvexek, hol konkávok. 315. Legyen és pozitív szám, , (tehát ). Nevezzük az , számok és , ill. és súlyokkal súlyozott számtani-, négyzetes-, illetőleg harmonikus közepének sorra a
kifejezéseket. Bizonyítsuk be, hogy a súlyozott harmonikus közép nem lehet nagyobb, mint a súlyozott számtani közép, ez pedig nem nagyobb a súlyozott négyzetes középnél. Mikor lehetnek egyenlők? Írjuk fel a megfelelő egyenlőtlenségeket, ha , .
* A ,,súlyozott'' jelző a fizikára emlékeztet. Mindjárt meglátjuk, mi indokolja ezt az elnevezést. 316. Az -tengelynek az pont és pont közti szakaszát képzeljük el súlytalan rúdként a koordináta-síkból kivágva; helyezzünk el az végpontban súlyt, az végpontban súlyt. Az tengely melyik pontjában lesz a rúd súlypontja? Helyezzünk el az görbén fekvő pontban , súlyt, az pontban pedig súlyt. Ha ezeket képzeljük el súlytalan rúddal összekötve, akkor hol lesz most a rúd súlypontja? (Mi lesz az abszcisszája és mi lesz az ordinátája?) Mit jelent a Jensen-egyenlőtlenség ,,fizikailag''? Mi van ha és súlyok egymással egyenlők? Ebből a fizikai értelmezésből a Jensen-egyenlőtlenség egy általánosításához jutunk, ha kettő helyett több súlyt helyezünk el a görbe különböző pontjaiban: Három pont súlypontját úgy határozhatjuk meg, hogy az első két pont súlypontjába a két pont egyesített súlyát helyezzük, majd képezzük az így keletkezett pontnak és a harmadik pontnak a súlypontját és ugyanígy vesszük sorra hozzá a további pontokat. 317. Számítsuk ki az pontokban rendre elhelyezett súlyok súlypontjának abszcisszáját és ordinátáját. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen sorrendben is vesszük a pontokat a fenti eljárásban, ugyanazt a súlypontot kapjuk. Ugyanezt a számot kapjuk-e akkor is, ha a pontokat csoportokra választjuk és az egyes csoportok súlypontjainak számítjuk ki a súlypontját? Bizonyítsuk be a 312. feladat alapján, hogy egy függvény akkor és csak akkor konvex, ha minden -ra és minden pozitív -ra
vagy minden pozitív -ra melyek összege , | | (D) | Mikor állhat fenn egyenlőség? (Mi az egyenlőtlenség fizikai értelme?) Ez a ,,többtagú (-tagú) súlyozott Jensen-egyenlőtlenség''. Hogy szól a -tagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség? Látszólag semmire sem jutottunk. Azzal a céllal fordultunk a geometriához, hogy innen kapjunk segítséget újabb egyenlőtlenségek felkutatásához. Végül a fordított feladatra jutottunk s éppen geometriai tulajdonságok szigorú bizonyításához volt szükségünk egyenlőtlenségek bebizonyítására. Az utolsó feladatban azonban már láttunk példát arra, hogy bizonyos egyenlőtlenségek ismeretében a geometriai szemlélet rávezetett arra, hogy további egyenlőtlenségek helyességére tudjunk következtetni. További feladatunk az lesz, hogy olyan, lehetőleg egyszerű tulajdonságokat keressünk, amelyekből már a függvény konvex voltára következtethetünk, amelyekből tehát a konvexséget kifejező további egyenlőtlenségek helyessége már levezethető.
Ezzel teljes megoldását adtuk a 285. feladatnak. Megoldotta: Dursi E., Kántor S., Kovács L., Villányi O., Zobor E. Részben: Rédly E., Reichlin V., Tornyos F., Zatykó L.Pozitív szám tört hatványán (valamilyen gyökén) mindig ennek a pozitív értékét értjük.Ezzel a 286. feladatnak adtuk megoldását. Megoldotta: Kántor S. Részben: Rédly E., Zobor E., Zatykó L.Ezzel a 287. feladatnak adtuk megoldását. Megoldotta: Durst E., Kántor S., Kovács L., Reichlin V., Villányi O., Zatykó L., Zobor E. Részben: Rédly E.Valóban a két oldal különbsége | |
|