A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. (A 2. feladat elemzése.)
Előző számunkban foglalkoztunk az 1949. évi Kürschák József matematikai tanulóverseny tételei közül kettővel. A harmadikkal most részletesebben foglalkozunk. Ez a feladat a következő: Egy egyenlőszárú háromszög alapján felvett pontból a szárakkal párhuzamosakat húzunk, ezek a szárakat és pontban metszik. Bizonyítandó, hogy a pontnak a egyenesre vonatkozó tükörképe az egyenlőszárú háromszög köré írt kör kerületén van. E feladatnak több megoldását adjuk, majd a feladat általánosításával is foglalkozunk. I. megoldás. Az egyenlőszárú háromszög csúcsát -val, másik két szögpontját -vel és -vel jelöljük. A pont az száron, az pont az száron van. A pontnak a egyenesre vonatkozó tükörképét jelöli.
Az , , , pontok egy körön vannak, ha Feladatunk megoldása ennek az egyenlőségnek igazolását jelenti. A szerkesztésből következik, hogy a és hasonló az -höz. Tehát ezek is egyenlőszárúak, azaz és . A tükrözés következménye, hogy és . Eredményeinket összevetve és , azaz a és egyenlőszárú. E két háromszög alapjánál fekvő szögek egyenlőségének bizonyítását tűztük ki éppen célunkul. Egyenlőszárú háromszögek alapjánál fekvő szögei egyenlők, ha csúcsuknál lévő szögeik egyenlők. A és csúcsánál fekvő szöge egyenlő, ha mellékszögeik egyenlők: E szögegyenlőséget kell tehát bizonyítanunk. Ezek a szögek az -ben és a -ben szerepelnek. E háromszögeknek -nél lévő szögei csúcsszögek s így egyenlők. A bizonyítandó egyenlőség tehát igaz, ha a háromszögek harmadik szögei egyenlők: E két szög viszont egyenlő, mert mindkettő egyenlő a -gel: az egyik tükörképe, a másik az parallelogrammában vele szemközti szög.
II. megoldás. Ki kell mutatnunk, hogy az négyszög húrnégyszög. Ehhez viszont elég azt belátni, hogy e négyszög szemközti szögeinek összege egyenlő, ábránk esetében: Ugyanis e négy szög összege és így ‐ ha az állított egyenlőség fennáll ‐ az négyszög szemközti szögeinek összege , tehát e négyszög húrnégyszög.
Az egyenlőszárú alapjánál fekvő szögei, ábránk egyíves szögei egyenlők. Az első megoldásból tudjuk, hogy az egyenlőszárú s így az ennek alapjánál fekvő szögek, ábránk kétíves szögei is egyenlők. Az négyszög szimmetrikus trapéz ugyanis átlói egyenlők: (mindkettő egyenlő a távolsággal, egyrészt az paralelogramma szemközti oldalaiként, másrészt a tükrözés folytán), és két szemközti oldala egyenlő (az előbbi indokolás szerint mindkettő egyenlő az távolsággal). Az szimmetrikus trapéz egyik párhuzamos oldalánál fekvő szögei, ábránk három íves szögei tehát egyenlők. Az állított szögegyenlőség mindkét oldala egy-egy egyíves, kétíves és háromíves szög összege. Ezért ez az egyenlőség valóban fennáll. III. megoldás. Az első megoldásnál már beláttuk, hogy és . Tehát a , , pontokon áthaladó kör középpontja , a , , pontokon áthaladó kör középpontja pedig .
E körökre alkalmazzuk a kerületi és ugyanazon íven nyugvó középponti szögek tételét. E tétel szerint:
A jobboldalakon szereplő szögek s a -egyenlők, mert száraik párhuzamosak és egyirányúak. A baloldali szögek összege . Egyenleteink összeadásából tehát adódik s így és ugyanazon a és ponton áthaladó köríven van. IV. megoldás. A második megoldásnál már beláttuk, hogy az négyszög szimmetrikus trapéz. Tehát a pont az pontnak tükörképe a távolság felező merőlegesére vonatkozólag.
A kör kerületének egy pontját egy egyenesre tükrözve újból a kör kerületén lévő pontot kapunk, ha az egyenes áthalad a kör középpontján. Tehát azt kell belátnunk, hogy felezőmerőlegese áthalad az köré írt kör középpontján. Két pont távolságának felező merőlegese akkor halad át egy kör középpontján, ha a két pont a kör középpontjától egyenlő távolságra van. Azt kell tehát igazolnunk, hogy és az köré írt kör középpontjától egyenlő távolságra van. Az köré írt körben, a kör középpontja körül elforgatjuk a húrt, amíg a (vele egyenlő hosszú) húrt nem fedi. E forgatás az pontot a pontba viszi, hiszen , mert a szerkesztés folytán mindkettő egyenlő a távolsággal. A kör középpontja körül való forgatással egymásba átvihető pontok a kör középpontjától egyenlő távolságra vannak. Tehát és valóban egyenlő távolságra van az köré írt kör középpontjától. V. megoldás. Rajzoljuk meg a harmadik megoldásban már szerepelt középpontú kört a , , pontokon át s az középpontú kört a , , pontokon át.
E körök , ill. pontban szerkesztett érintői merőlegesek az , ill. szárra. Tehát ezek az érintők egymást az tükörtengelyén lévő pontban metszik és így . Az pontnak hatványa a szereplő két körre vonatkozólag , ill. négyzete. Ezek egyenlősége folytán rajt van a két kör hatványvonalán. Ez a hatványvonal áthalad a körök metszéspontjain: a ponton s ennek a körök középpontjait összekötő egyenesre vonatkozó tükörképén, a ponton. Tehát , , egy egyenesen helyezkednek el és a hatvány értelmezése szerint: Az előző számunkban a körsorokról írott második cikkben szerepelt az inverzió fogalma. E fogalom felhasználásával megállapításunkat úgy is szövegezhetjük, hogy a pont a pontnak az körül sugárral írt körre vonatkozó inverze. Minthogy a egyenesen van, a pont ennek az egyenesnek inverzén van rajt. Az idézett cikkből tudjuk, hogy egy egyenes inverze egy az inverzió pólusán áthaladó kör. Mivel a és pont önmagának inverze, a egyenes inverze az , , pontokon áthaladó kör. Egy kör közös végpontú húrjainak másik végpontjában emelt merőlegesek a körön metszik egymást. Ezért az , , pontokon áthaladó kör áthalad az és húrok végpontjaiban emelt merőlegesek metszéspontján. Tehát a pont rajt van az , , pontokon áthaladó körön.
Megjegyzés az V megoldáshoz. Ábránkon az pont körül sugárral írt kört is megrajzoltuk. Ezt azért tettük, hogy a bizonyítottaknak érdekes átfogalmazását ugyanazzal az ábrával szemléltessük. Ha az -et érintetlenül hagyjuk, viszont a pont helyzetét változtatjuk, akkor a korábban szerepelt körök s ezek és metszéspontjai is változtatják helyzetüket. E két kör sugarának összege az körül írt kör sugara. A bizonyítottakat így a következőképpen fogalmazhatjuk: Egy körbe két, belülről érintő kört írunk, melyek sugarának összege az első kör sugara. A beírt köröket érintési pontjuk változatlanul hagyása mellett változtatjuk: az egyik sugarát növeljük, a másikét ugyanannyival csökkentjük. E változtatás közben a két kör metszéspontjai közül az egyik az érintési pontokat összekötő szakaszon, a másik az érintési pontokon s az első kör középpontján áthaladó körön mozog. Általánosítás. Ha a feladat állítását egyenlőszárú háromszög helyett általános háromszögre mondanók ki, helytelent állítanánk. Másként kell a feladatot megszövegezni, hogy tartalma általános háromszögre is helyes legyen. Ilyen átfogalmazás a következő: Az háromszög oldalán felvesszük a pontot. A szakasz felezőmerőlegese az oldalt pontban, a szakasz felezőmerőlegese az oldalt pontban metszi. A pontnak a egyenesre vonatkozó tükörképe az háromszög köré írt körön van.
Az olvasó azonnal megállapíthatja, hogy egyenlőszárú háromszög esetében ez az általánosítás a versenyfeladat állítását adja. Érdekes megvizsgálni, hogy a versenyfeladatra adott bizonyításaink közül melyek használhatók fel az általánosítás bizonyítására is. Ennek eldöntését feladatként az olvasóra bízzuk (194. feladat). Külön ki akarjuk emelni az ötödik megoldás átírásánál mutatkozó nehézséget. Ezt az átírást a következő feladat megoldása teszi lehetővé: 195. feladat. Az háromszög oldalán pontot veszünk fel. Megszerkesztjük az háromszög köré írt kört, valamint az ponton áthaladó s az egyenest pontban, ill. az egyenest pontban érintő kört. Bizonyítandó, hogy e három kör egy közös ponton halad át.
Megemlítjük, hogy e feladat állítása a már idézett cikkben szereplő Miquel-tétel határeseteként is felfogható. Ha ugyanis az háromszög oldalán felvett pont -hez, az oldalon felvett pont -hez közeledik s a oldalon felvett pont helyben marad, akkor az kör az köré írt körré válik, a és körök pedig éppen a feladatunkban leírt helyzethez közelednek. E három kör, Miquel-tételének az idézett cikkben kiemelt speciális esete értelmében, egy ponton halad át. Ez áll a mondott határhelyzetre is. Éppen ennek határátmenet nélkül való bizonyítását bíztuk olvasóinkra.
196. feladat. A 195. feladat megoldásának birtokában már könnyű az ötödik megoldás bizonyítását az általánosítás bizonyításává átírni. Ennek kidolgozását is olvasóinkra bízzuk. Leszögezzük, hogy e feladat megoldásával az eredeti versenyfeladatnak a közölt öthöz csatlakozó újabb megoldása adódik.
|
|