Kezdőlap


Cím:	Az ellipszis és hiperbola egyenletének egy szimmetrikus levezetése
Szerző(k):	Szőkefalvi Nagy Gyula
Füzet:	1951/március, 252 - 254. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $r_{1}$ ill. $r_{2}$ jelöli a síkban egy $P$ pont távolságát az $F_{1}$ ill. $F_{2}$ ponttól, akkor azoknak a $P$ pontoknak geometriai helye, amelyekre

\begin{matrix} r_{1} + r_{2} = állandó = 2 a, \end{matrix}

(1)

egy ellipszis. Azoknak a

P

pontoknak geometriai helye pedig, amelyekre

\begin{matrix} | r_{1} - r_{2} | = állandó = 2 a, \end{matrix}

(2)

tehát vagy

r_{1} - r_{2} = 2 a

, vagy

r_{2} - r_{1} = 2 a

, egy hiperbola. E két utóbbi egyenletnek eleget tevő

P

pontok a hiperbola két ágán vannak.
Ha

P

F_{1} F_{2}

egyenesen kivül fekszik, akkor a

P F_{1} F_{2}

háromszög oldalai között a

\begin{matrix} P F_{1} + P F_{2} > F_{1} F_{2}, P F_{1} - P F_{2} < F_{1} F_{2}, P F_{2} - P F_{1} < F_{1} F_{2} \end{matrix}

egyenlőtlenség áll fenn. Ha

2 c

jelöli az

F_{1} F_{2}

szakasz hosszát, akkor ezeket

\begin{matrix} r_{1} + r_{2} > 2 c, r_{1} - r_{2} < 2 c, r_{2} - r_{1} < 2 c, F_{1} F_{2} = 2 c \end{matrix}

(3)

alakban írhatjuk.
Ezeket az egyenlőtlenségeket az ellipszis, ill. hiperbola (1) ill. (2) egyenletével egybevetve következik, hogy

a

-nak ugyanahhoz az értékéhez tartozó ellipszis és hiperbola közül csak az egyik létezik. Ha ugyanis

a > c

, akkor nincs olyan

P

pont, amelyre a (2) egyenlőség érvényes lenne. Ha pedig

a < c

, akkor nincs olyan pont, amelyre (1) fennállana. Ha tehát van olyan

P

pont a síkban, amelyre az (1) vagy (2) egyenlet közül az egyik érvényes, akkor nincs olyan pont, amelyben a másik egyenlet áll fenn, föltéve, hogy

a \neq c

. (Az

a = c

esetben az (1) ill. (2) egyenletnek az

F_{1} F_{2}

egyenesnek azok a pontjai tesznek eleget, amelyek az

F_{1} F_{2}

szakaszra ill. azon kívül esnek. Az

F_{1}

és

F_{2}

pont mindkét egyenletnek eleget tesz.)
Ha tehát van az

F_{1}

F_{2}

egyenesen kívül olyan pont, amelyre az (1) és (2) egyenlet közül az egyik érvényes, akkor nincs olyan pont, amelyben a másik teljesül. Az

\begin{matrix} (r_{1} + r_{2} - 2 a) (r_{1} - r_{2} - 2 a) (- r_{1} + r_{2} - 2 a) \end{matrix}

szorzat a síknak csak olyan

P

pontjaiban tűnhetik el, ahol valamelyik tényezője eltűnik. Ha

a > c

, akkor azok a

P

pontok, amelyekben az első tényező eltűnik, az (1) ellipszisen vannak. Ekkor azonban nincs olyan

P

pont, amelyben második vagy a harmadik tényező eltűnik. Ha pedig

a < c

, akkor azok a pontok, amelyekben a második vagy a harmadik tényező eltűnik a (2) hiperbolán vannak, de nincs olyan

P

pont, amelyben az első tényező eltűnik.
A kifejezést szimmetrikusabbá tehetjük azáltal, hogy megszorozzuk a

- r_{1} - r_{2} - 2 a

tényezővel, mely a sík egyetlen pontjában sem válik

0

-vá, s így az

\begin{matrix} S = (r_{1} + r_{2} - 2 a) (- r_{1} - r_{2} - 2 a) (r_{1} - r_{2} - 2 a) (- r_{1} + r_{2} - 2 a) & (4) \end{matrix}

szorzatra is érvényes mindaz, amit elmondtunk.
Azok a pontok tehát, amelyekben

S = 0

, ellipszis ill. hiperbola pontjai a szerint, amint

a > c

, ill.

a < c

.
Két tag összege és különbsége szorzatára vonatkozó azonosság szerint

\begin{matrix} S & = [4 a^{2} - {(r_{1} + r_{2})}^{2}] [4 a^{2} - {(r_{1} - r_{2})}^{2}] = \\ = (4 a^{2} - r_{2}^{1} - r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2}) (4 a^{2} - r_{1}^{2} - r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2}) = \\ = (4 a^{2} - r_{1}^{2} - r_{2}^{2}) - 4 r_{1}^{2} r_{2}^{2} = 16 a^{4} - 8 a^{2} (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) + \\ + r_{1}^{4} + 2 r_{1}^{2} r_{2}^{2} + r_{2}^{4} - 4 r_{1}^{2} r_{2}^{2} = 16 a^{4} - 8 a^{2} (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) + \\ + {(r_{1}^{2} - r_{2}^{2})}^{2} . \end{matrix}

Abban a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek kezdőpontja az

F_{1} F_{2}

szakasz felezőpontja és amelyben az

X

-tengely az

F_{1} F_{2}

egyenes,

F_{1} = (- c, 0)

F_{2} = (c, 0)

r_{1}^{2} = {(x + c)}^{2} + y^{2}

r_{2}^{2} = {(x - c)}^{2} + y^{2}

, ennélfogva

\begin{matrix} r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = 2 (x^{2} + y^{2} + c^{2}) és r_{1}^{2} - r_{2}^{2} = 4 c x . \end{matrix}

Helyettesítsük ezeket

S

legutolsó alakjába:

\begin{matrix} S = 16 a^{4} - 16 a^{2} (x^{2} + y^{2} + c^{2}) + 16 c^{2} x^{2} = - 16 [(a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} - a^{4} + a^{2} c^{2}] = \\ = - 16 a^{2} (a^{2} - c^{2}) [\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} - 1] . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} - 1 = 0 \end{matrix}

egyenlet tehát az (1) ellipszis ill. a (2) hiperbola egyenlete a szerint, amint

a > c

ill.

a < c

. Ha tehát az első esetben

a^{2} - c^{2} = b^{2}

, a második esetben

a^{2} - c^{2} = - b^{2}

-et írunk, akkor az ellipszis ill., hiperbola egyenletét

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1, ill. \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

alakban írhatjuk.

Feladat:
257. Írjuk fel annak a görbének az egyenletét, melynek pontjaira a

(- 2

0)

ponttól vett távolságnak és az

(1

0)

ponttól vett távolság kétszeresének az összege állandó.